四方山話 (EPR 論文の再解釈)(2023年3月8日)
- もう一年以上も前、21年12月22日から何回かに分けて、アインシュタインと二人の共同研究者による1935年の論文「物理的実在の量子力学的記述は完全と考えられ得るか？」の内容を紹介した。ただその時、「物理的実在の要素」等という難解な言葉を使ってしまい、もう少し分かりやすい言葉で理解できないものか、ずっと疑問に思ってきた。今回少し改善できそうなので、もう一度、従って内容は同じなのだが、書いてみようと思う。-
ある原子の場合、二つの光子を放出し、しかもそれら光子の偏極の方向が常に直交する。左へ飛んだ光子がもし水平方向の偏光板を通過するのであれば、右へ飛んだ光子は必ず垂直方向の偏光板を通過する。このことは水平と垂直を入れ替えても成立する。これは水平と垂直方向に限られることではない。左へ進んだ光子が、例えば水平方向から $+30$ 度の方向へ偏極して検出されるのであれば、右へ進んだ光は必ず $+120$ 度の方向の偏光板を通過する、という具合である。
この状況を正確に理解しておくために下図の装置を考える。
中央には件の原子の塊があり、適当な時間間隔をもって左右へ光子が放出されるよう調節済みである。左右へ飛ぶ光子はその通路上に置かれた方解石を通過し、その先の検出器によって、水平（$x$ 軸方向）、もしくは垂直（$y$ 軸方向）のどちらの方向へ偏極したかを測定される。上で述べた『対を成す二つの光子の偏極の方向が互いに直交する』とは、左の検出器の「水平」を示すブザーが鳴る時には、右の検出器の「垂直」を示すブザーが必ず鳴る、水平と垂直を入れ替えても同じであることを意味する。
この図では水平方向と垂直方向の偏極を測るよう左右の方解石を置いた。しかし $z$ 軸の周りにそれぞれを少し回転させ、例えば $x$ 軸から$+30$ 度の方向と $+120$ 度の方向の偏極を測るようにもできる。この場合は、左の光子が $+30$ 度の方向へ偏極していることを知らせるブザーが鳴る度に、右のブザーは $+120$ 度の偏極を知らせる。
件の原子から放出される光子の内片方の光子の行く手にはA君が、もう片方の行く手にはB君が、それぞれ待っていて、自分の下へやって来る光子の偏極方向を測るとする。二人は水平あるいは垂直方向の偏極を測る装置と、もう一つ、例えば $30$ 度方向あるいはそれに直交する $120$ 度方向の偏極を測る装置を用意しているとしよう。簡単の為に前者を水平偏光子、後者を $30$ 度偏光子と呼ぶ。A君は二つの装置の内片方を自由に選んで測定するとする。
さて、二人の位置を十分離しておけば、A君の行為、たとえば二つの装置の内どちらを選ぶか、ということ、あるいはどんな測定結果を得るかということが、B君の光子に影響を及ぼすことはないと考えられる。B君のもとへやって来る光子は、それから空間的に遠く離れた場所で行われることとは独立した存在であると、おそらく我々の全部が信じているからである。
ただ、実はこの信念はわれわれの勝手な思い込みに過ぎないこと、自然はそのようには振る舞わないことが、「ベルの不等式」と呼ばれている数式と、それを検証した実験によって証明された。以下の議論はその顛末である。
さて、A君が彼の下へやって来る光子を水平偏光子に通し、もし水平に偏極して通過したことを確認したとすると、B君のもとへ行く光子が垂直の方向に偏極してB君の装置を通過することをA君は確実に断言できる。垂直に偏極して通過したことを確認した時には、B君のもとへ飛ぶ光子が水平方向に偏極してB君の装置を通過することを間違いなく予言できる。従って、B君のもとへ向かう各光子にとって、A君が測定を終えた時点では、B君の測定装置を水平に偏極して通過するか垂直に偏極して通過するかが決まっていることになる。
問題はこの決定がいつ行われたかである。A君が測定を実行した時点であろうか。もしそうであるなら、B君の光子の性質がA君の測定行為によって影響を受けたことになる。先に述べたように、それはわれわれの信念に反する、非常に考えずらいことである。従ってこの決定は、A君の測定とは関係なしに、おそらく、二つの光子が十分離れて相互に何の作用も及ぼさなくなり、互いに独立な存在になった頃になされたと思うのが妥当であろう。念のためにもう一度繰り返す：B君のもとへやって来る各光子は、B君が水平偏光子を使う場合、それをどの向きに偏極して通過するかを、あらかじめ知っている。
以上の結論はA君が水平偏光子を選ぶとして得たものだが、例えば $30$ 度偏光子を選ぶとしても同様な結論が得られる。つまり、B君が $30$ 度偏光子を使う場合、B君のもとへ進む各光子にとって、それをどの向きに偏極して通過するかはあらかじめ決定されている事項なのである。
更にまた、A君が水平偏光子から $30$ 度偏光子に取り換えたからと言って、B君の光子がその性質を変えることはないはずであり、B君の水平偏光子をどの方向に偏極して通過するかについて決定事項はゆるぎない。つまり、水平偏光子と $30$ 度偏光子のどちらをB君が使うとしても、それらをどの方向へ偏極して通過するかは、B君のもとへ向かう光子にとって既に既知の事柄なのである。
となると、同じ結論がすべての偏光子について成り立つことは自明であろう。つまり、B君がどんな向きの偏光子を選んで光子を待ち受けたとしても、各光子はそれに突入する前に、その装置をどの方向へ偏極して通過するか既に知っていることになる。
B君のもとへやって来る光子の状態がこのような状態にあるとすると、それを量子力学の考えに従ってベクトルで表すならばどう表されるであろうか：まずA君が水平偏光子を使っているとしてみる。すると、B君のもとへ向かう光子の半数については、必ず水平に偏極して検出されることが、残りの半数については必ず垂直に偏極して検出されることが、それぞれ予測できる。従って前者に属する光子の状態はベクトル
$${\bf b}=\pmatrix{ 1 \cr 0}$$で、後者に属する光子の状態はベクトル
$${\bf b}'=\pmatrix{ 0 \cr 1}$$で、それぞれ表されることになる。
では、A君がもし $30$ 度偏光子の装置に光子を通すとすると、B君のもとへ飛ぶ光子の状態はどう表されるであろうか。推論を繰り返す必要はないと思うが、半数は
$${\bf c}=\pmatrix{ {\sqrt 3}/2 \cr 1/2}$$で、残りの半数は
$${\bf c}'=\pmatrix{ -1/2 \cr {\sqrt 3}/2}$$で表されることになる。
量子力学の立場から言うと、これは明らかに矛盾を含んでいる：何故なら
$${\bf b}\not= {\bf c}, \hskip 2mm {\bf b}\not= {\bf c}'$$であり、かつ
$${\bf b}'\not= {\bf c}, \hskip 2mm {\bf b}'\not= {\bf c}'$$であるからである。言い換えれば、一つの光子の状態を二つの相異なるベクトルで表すことになってしまうのである。偏光子の傾け方は任意であり、従って一つの状態を無数のベクトルで表すことにもなる。偏極方向に関する状態は唯一つのベクトルによって表されるというのが量子力学の考え方であった。ここで起きている状況はこれに矛盾する。
量子力学と折り合いを付けるためには、『B君のもとへやって来る光子は、それから空間的に遠く離れた場所で行われることとは独立した存在である』という信念を捨てる必要がある。量子力学では、A君の測定結果が出ると同時にB君の光子の状態が決まると考える。A君が彼の光子の偏極方向を測定する時までは、B君の光子の状態をそれ単独に云々することはできない。対を成す光子がいくら遠く離れたとしても、それぞれを独立した二つの存在として考えてはいけないのであって、A君の測定がなされる時に初めて、その瞬間に、B君の光子は単独の光子となり、一つのベクトルで表される状態を有する物質になる、と量子力学では考えるのである。
A君の測定結果によって予測できるB君の光子の状態が、A君のなす行為の影響で生じたものであるはずがない、という見解がもとになって、同じ光子が無数の状態ベクトルで表されるという矛盾に至った。従って、この見解を捨て去って、A君の測定行為のたびごとにB君の光子の状態が決まると考えれば、量子力学とのこの矛盾は避けることができる。A君が水平偏光子を用いて彼の光子の偏極方向を測っている限り、B君の装置に飛び込む光子の半数は水平に、残りの半数は垂直に偏極した状態で飛び込む。しかし、A君が彼の装置を取り換えて、例えば $30$ 度偏光子を使って測定を始めると、その途端に、それまでの水平と垂直方向への偏極の状態は失われ、新たに $30$ 度方向に偏極した状態か、あるいは $120$ 度方向に偏極した状態のどちらかを取るようになる。
従って、こう考えることによって量子力学との矛盾はなくなる。ただしかし、このような考え方を受け入れることは、おそらく多くの人にとって極めて困難なことであろう。
アインシュタインも「自伝ノート」（アインシュタインが六十七歳の時書いた自伝。訳は東京図書から出版されている）の中で次のように述べている（上記訳書 pp.109-10）：われわれが観測する時刻 $t$ には、系は二個の部分系 $S_1$ と $S_2$ とからなり、その時刻には空間的に離れており、著しい相互作用はしていないとする。・・・私の意見では、われわれは、系 $S_2$ の実在の状態が、それから空間的に離れている系 $S_1$ でなされることとは独立であること、という一つの仮定を無条件に固持しなければならない。・・・したがって、$S_2$ の同一の実在の状態に対して、$S_1$ についての測定の選択によって異なる、いくつかの $\psi $ 関数が得られることになる（「いくつかのベクトルによって表される」と同じ内容）。この結論から逃れるには、$S_1$ の測定がテレパシーのように $S_2$ の実在の状態を変えると仮定するか、空間的に互いに離れている物には（「物であっても」が妥当と思われる）独立な実在の状態を認めないとするしかない。この両者とも私にはまったく受け入れ難いように思われる。
ここで「テレパシー」という言葉でアインシュタインは「離れた二地点間を瞬時に伝わる信号」を意味している。特殊相対論を打ち立てる過程で『どんな影響や信号も、光速を超える速さで伝わることはない』という原理を打ち立てたアインシュタインにとっては、「テレパシー」を受け入れるわけにはいかないのである。
ただ、量子力学を正しいとしてそれをもとに考える限り、この件に関して「テレパシー」を心配する必要はない：A君が水平偏光子から、例えば $30$ 度偏光子に取り変えると、その瞬間に、B君のもとへ向かう光子の状態は、半数が ${\bf b}$、残りの半数が ${\bf b}'$ である状況から、半数が ${\bf c}$、残りの半数が ${\bf c}'$ である状況へ変わる。もしこの変化が $B$ 君によって検出可能であれば、この変化を利用して「テレパシー」を構成できる可能性が生まれる。しかしこの変化をB君がまったく検出できないのであれば、「テレパシー」の存在を心配する必要はない。一体どちらであろうか。
例えば、B君が水平方向の偏光板を用意し、やって来る光子をそれに通し、通過するかどうかを調べる実験をするとしよう。やって来る光子が ${\bf b}$ の状態であればそのまま通過し、${\bf b}'$ の状態の光子であれば一切通過しない。つまり、A君が水平偏光子を使って測定している間は、B君の偏光板を半数の光子は通過するが残りの半数は通過しない。
さて、では ${\bf c}$ と ${\bf c}'$ が半数づつやって来る状況に変わると、B君にとって何か変化が起きるであろうか。例えば、それまで二回に一回の頻度で鳴動していたブザーが、三回に一回の頻度で鳴動するようになれば、『あ、A君が測定装置を入れ替えた』とB君は気付く。従ってこれは、A君からB君へ瞬間的に信号を送る手段として使えそうである。
状態 ${\bf c}$ の光子が水平方向の偏光板に入射しそれを通過する確率は
$$\vert ({\bf b}, {\bf c})\vert ^2={3\over 4}$$であり、${\bf c}'$ の光子であればそれを通過する確率は
$$\vert ({\bf b}, {\bf c}')\vert ^2={1\over 4}$$である。従って、B君のもとへやって来る光子がB君の偏光板を通過しそれを知らせるブザーを鳴らす頻度は
$${1\over 2}\cdot {3\over 4}+{1\over 2}\cdot {1\over 4}={1\over 2}$$である。つまり、A君が装置を水平偏光子から $30$ 度偏光子に変えたとしても、その変化にB君が気付くことは、この実験をしている限りない。
では別の方向の偏光板を用いてはどうだろうか。実は任意の方向の偏光板について、${\bf b}$ と ${\bf b}'$ の状態の光子であろうが、${\bf c}$ と ${\bf c}'$ の光子であろうが、常にブザーの鳴動する頻度は $1/2$ で変わりがないことが証明できる。
${\bf b}$ と ${\bf b}'$ の状態の光子が半々やってくる場合と、それが ${\bf c}$ と ${\bf c}'$ に変化する場合とでは、何か違いが検出できるはずだと、普通は誰でも思う。それを検出できる実験は本当にないのだろうか。光子の偏極方向に関する事柄だから、偏光板や方解石の通過の仕方に違いを見つける以外ないと考えられる。
電話や電報、光の信号など、他の手段を補助的に使うのであれば違いを見つけることはできるだろう。しかしそれでは、そう言った手段の伝播は光速度以下だから、瞬間的に遠方に情報を伝えることにはならない。
もしA君が自分の光子の偏極方向を制御できれば話は違ってくる。もしそれができれば、B君のもとへ向かう光子の状態が、例えば ${\bf b}$ と ${\bf b}'$ を交互に繰り返す、あるいは ${\bf c}$ と ${\bf c}'$ を交互に繰り返すようにできる。この時B君は、水平方向の偏光板を持って、やって来る光子の通過の仕方を見ていればよい。通過したりしなかったりが交互に規則正しく繰り返されていたものが、急に乱れる時が現れ、その時がA君が測定装置を取り換えた時である。
しかし、もともとの原子から放出される光子対の片方が、A君の測定装置をどちら向きで通過するかは、量子力学によればまったくの偶然によって決まり、従ってA君にその向きを制御できる可能性はない。
${\bf b}$ と ${\bf b}'$ の状態の光子が半々に、しかしでたらめにやってくる場合と、それが ${\bf c}$ と ${\bf c}'$ に入れ替わる場合との違いを実際に検出できる実験方法は、どうもなさそうである。文章で表せば明らかに違う、しかしその違いを物理的現象として表すことができないのである。
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