前回、ローレンツ変換
$$ct'={{ct-(v/c)x}\over {\sqrt {1-(v/c)^2}}}, \hskip 2mm x'={{x-vt}\over {\sqrt {1-(v/c)^2}}}$$を紹介した。その折少し言葉足らずであったので捕捉しておく：アインシュタインが描いたように、軌道堤（つまり一つの直線、$x$ 軸とみなす）を一秒間に $v {\rm km}$ の速さで進む列車を考える。ローレンツ変換は各出来事について、軌道提を基準にして見る場合と列車を基準にして見る場合との間の変換式である。
出来事はいろんな属性を備えているけれども、ここでは最も基本的な「いつどこで」にだけ着目し、他の属性には注意を払わない。従って、だれかと誰かの運命的な出会いも、二つの電子の衝突も、時刻と位置さえ一致していれば、まったく同じ出来事として扱う。時刻を定めるには時計が、位置を定めるためには基準点と目盛りの打たれた長い物指が、それぞれ必要になる。『軌道提を基準にして見る』とは、軌道堤に固定された時計と物指を使うことを意味し、一方で『列車を基準にする』時とは、列車に固定された時計と物指を使うことを意味する。
軌道堤を基準にする時の基準点は、イメージを浮かべやすいように、どこかの駅のプラットホームに立つ駅長さんの位置とし、そこを原点とする長く伸びた物指の座標を $x$ で、駅長さんの持つ時計の目盛りを $t$ で、それぞれ表す。同様に、列車の基準点は最後尾に位置する車掌席に座る車掌さんの位置とし、そこから列車の床を（あるいはその延長を）前方に向けて伸びる物指の座標を $x'$ で、車掌さんの持つ時計の目盛りを $t'$ で表す。駅長さんと車掌さんがすれ違う時があるはずだが、その時二人の時計は共に同じ時刻 $0$ を指したと仮定する（そのように時計を起動させればよい）。つまり、二人がすれ違うという出来事が、それぞれにとって $(t, x)=(0, 0)$ と $(t', x')=(0, 0)$ に起きるということ。
われわれは普通、『時間の進み方は誰にとっても同じである』と考えている。その常識に従うなら、あらゆる出来事について
\begin{equation} t'=t \label{eq:tdashgat} \end{equation}のはずである（駅長さんと車掌さんがすれ違う瞬間に両者の時計は $0$ を指していたことに注意）。一方、軌道提の物指と列車の床の物指とは、車掌さんや駅長さんにとって $t'=0$ と $t=0$ の瞬間に一致し、それ以後は速さ $v$ でずれていくはずである。よって、すべての出来事について
\begin{equation} x'=x-vt \label{eq:xdashgaxmai} \end{equation}のはずである。常識からは、これら二つの等式 (\ref{eq:tdashgat}) と (\ref{eq:xdashgaxmai}) がどうしても従う。
常識に従えば必然的に思えるこれらの変換式はガリレイ変換と呼ばれているが、光の速さが常に一定の $c=30 万キロ/秒$ であるという実験事実に矛盾する結果が、この変換式からは生じる：駅長と車掌がすれ違うその瞬間に駅長さんがフラッシュをたいたとしよう。するとそこから発した光は四方八方に進むけれども、軌道提の座標 $x$ の位置に到達する時刻を $t$ とすると、光の速さは誰にとっても $c$ だから、
$$x=ct$$の関係がある。『座標 $x$ の位置に光が到達する』という出来事が列車を基準にしてみて、時刻 $t'$ に位置 $x'$ で起きたとすると、車掌さんにとっても光の速さは $c$ なのだから
$$x'=ct'$$でなくてはいけない。ところがガリレイ変換によれば
$$x'=x-vt=ct-vt=(c-v)t'$$であり、$v=0$ でない限り $x'=ct'$ ではあり得ない。
従って、光源と観測者の間の運動関係がどうであろうが、常に光の速さは一定値 $c$ であるという実験結果と、われわれの常識とは相いれないことになる。しかしもちろん、実験結果が正しいのであり、常識、あるいはそこから導いたガリレイ変換の方が間違っていることになる。そこで正しい変換式として得られたのがローレンツ変換
\begin{equation} ct'={{ct-(v/c)x}\over {\sqrt {1-(v/c)^2}}}, \hskip 3mm x'={{x-vt}\over {\sqrt {1-(v/c)^2}}} \label{eq:Lorentzhenka} \end{equation}である。
一見、随分複雑な形をしていて、常識から得たガリレイ変換とはまったく違うものであるかのように思える。しかし、実はそうではない。前回 $v$ をたとえば新幹線の速さとすれば $v/c$ は一千万分の三程度であることを述べた。従って、われわれが普通に扱う速度の範囲で考える限り、$(v/c)^2$ は $1$ と比べれば極端に小さな数であり、ローレンツ変換の分母に現れる平方根の中身は $1$ と実質的に区別がつかない。よってローレンツ変換の片割れ
$$x'=\left( x-vt\right) /{\sqrt {1-(v/c)^2}}$$は
$$x'=x-vt$$に帰着する。
もう一方の片割れ
$$ct'=\left( ct-(v/c)x\right) /{\sqrt {1-(v/c)^2}}$$も、$x/t$ が $c$ と比べて十分小さな現象を扱う限り、
$$ct'=ct$$に帰着する。つまり、近似的にガリレイ変換に帰着する。その意味でわれわれの常識と全くかけ離れた話をしているわけではない。
しかも、ローレンツ変換は光速度不変の原理と矛盾しない：先に述べたように、駅長と車掌がすれ違う瞬間にその場所を発した光が座標 $x$ の位置に時刻 $t$ に達したとし、車掌にとっては $x'$ の位置に時刻 $t'$ に到達したとする。この時光速度不変の原理からどうしても
$$x=ct, \hskip 3mm x'=ct'$$の双方が成り立たねばならない。ガリレイ変換では満たされなかったこの要請が、ローレンツ変換では満たされる：
$$ct'=\left( ct-(v/c)x\right) /{\sqrt {1-(v/c)^2}}, \hskip 5mm x'=\left( x-vt\right) /{\sqrt {1-(v/c)^2}}$$に $x=ct$ を代入すると
$$ct'={{ct-(v/c)x}\over {\sqrt {1-(v/c)^2}}}={{1-(v/c)}\over {\sqrt {1-(v/c)^2}}}ct$$ $$x'={{x-vt}\over {\sqrt {1-(v/c)^2}}}={{1-(v/c)}\over {\sqrt {1-(v/c)^2}}}ct$$であり、確かに $x'=ct'$ が成立している。なお、すぐ気付くことだが、この要請を満たすだけであるなら、変換式の分母に現れる妙な因子 ${\sqrt {1-(v/c)^2}}$ はなくてもよい。しかしこの因子があるお陰で、等式
$$(ct')^2-x'^2=(ct)^2-x^2$$がすべての $t, x$ について成り立つ。
$(t_1, x_1)$ と $(t_2, x_2)$ で表される二つの出来事に対して
$$\Delta t=t_2-t_1, \hskip 3mm \Delta x=x_2-x_1$$と置く。$\Delta t'$ と $\Delta x'$ についても同様に定めると、従って
$$(c\Delta t')^2-(\Delta x')^2=(c\Delta t)^2-(\Delta x)^2$$が成り立つ。よって
$$(c\Delta t)^2-(\Delta x)^2$$は、観測者によらない不変な量であり、従って時間と空間自体が備えている、あるいはその構造を決めている量だと考えられる。たとえば平面上でユークリッド幾何学を考える時、任意の二点
$$(x_1, y_1), \hskip 3mm (x_2, y_2)$$に対し
$$\Delta x=x_2-x_1, \hskip 3mm \Delta y=y_2-y_1$$と置いて
$$(\Delta x)^2+(\Delta y)^2$$をこれら二点間の距離（の二乗）と定めた。ユークリッド幾何学では勿論、この距離が基本的な役割を演じる。
同じような重要な役割を不変量
$$(c\Delta t)^2-(\Delta x)^2$$が演じるであろうことは、容易に想像がつく：たとえば、車掌さんの持つ時計が時刻 $0$ を指すという出来事と、少し後の時刻 $t'$ を指すという二つの出来事を考えてみる。
$$\Delta t'=t'$$は彼の時計の指す時刻の差である。また、車掌さんにとってはそれらの出来事は自分の席で起きるのだから、その位置は共に $x'=0$ であり、よって $\Delta x'=0$ である。
さてそれら二つの出来事を駅のホームに立つ駅長さんにとっても二つの出来事であって、それぞれに $t$ と $x$ が対応する。最初の出来事は彼ら二人がすれ違う瞬間に起きる出来事だから $t=0, x=0$ が対応するが、後の出来事には別の $(t, x)$ が対応する。
$$\Delta t=t, \hskip 3mm \Delta x=x$$はそれぞれ、駅長さんにとっての、二つの出来事の間の経過時間と車掌さんの移動距離である。当然
$$\Delta x=v\Delta t$$である。
ここで上に述べた不変性を考慮すると
$$\Delta t'=\Delta t{\sqrt {1-\left( {v\over c}\right) ^2}}$$が得られる。
最後の等式は意味深なことを言っている：車掌さんの時計の進み方を駅長さんが自分の時計の進み方と比較して見ると、相手の時計の進み方がゆっくりしている。何故ならば
$${\sqrt {1-(v/c)^2}} < 1$$だから。つまり『動く時計はゆっくり進む』と言える。念のために強調しておかねばならないが、これは時計が狂うという意味ではない。等速で直線運動をする乗り物（地球もある程度短い時間間隔でならその範疇に入ると思ってよい）の中で起きる出来事を観測する限り、その速さを特定することはできない。出来事はすべて同じように推移する。特に、時計を狂わせるような原因が生じるとは思えない。
ただここで少し注意を要する：駅長さんは車掌さんの時計の針の進み方を直接自分の眼で追って見るわけではない。車掌さんは位置を変えるので、その時計を発した光が駅長さんの眼に飛び込むまでの時間ロスが生じ、例えば二番目の出来事が起きた時刻を正確に測定できない。正確な測定のためには、たくさんの助手にそれぞれ時計を持たせ軌道堤に沿って隙間なく立たせる必要がある。もちろん彼らの時計と駅長さんの時計は、同時に同じ時刻を指すよう調節しておくとする。二番目の出来事がすぐ目の前で起きる助手が一人いるはずだが、その助手の時計がその瞬間に指す時刻が、駅長さんにとって二番目の出来事が起きた正確な時刻である。
さて、準備が長くなったが、「観測の理論」という有名な本の中に議論されている、「われわれが苦闘しなければならない謎」について紹介したい：ローレンツ変換によれば $\Delta t=0$ であっても、
$$c\Delta t'={{-(v/c)\Delta x}\over {\sqrt {1-(v/c)^2}}}$$の $\Delta t'$ の値は $v$ の符号によって正にも負にもなり得る。つまり、二つの出来事が駅長さんにとっては同時に起きた出来事であったとしても、車掌さんにとっては同時ではなく、後にも先にもなり得る。このことが「謎」のそもそもの原因である。
あるタイプの原子は一組の光子を放出しそれらの偏極方向が常に直交している。ある方向（$z$ 軸方向とする）へ飛ぶ光子がA君の偏光板を水平方向（$x$ 軸方向）に偏極して通過するのであれば、反対方向へ飛ぶ光子はB君の偏光板を必ず垂直方向へ偏極して通過する。両者の偏光板を $z$ 軸を中心に任意の角度傾けても同様のことが言える。
光子対のこの状態が
$$a={1\over {\sqrt 2}}\left( {\bf c}_A\otimes {\bf c}'_B-{\bf c}'_A\otimes {\bf c}_B\right) $$によって表されることは以前確かめた。${\bf c}$ は $x, y$ 平面のある単位ベクトル、${\bf c}'$ はそれに直交する単位ベクトルを、それぞれ表す。${\bf c}_A\otimes {\bf c}'_B$ はA君の光子が ${\bf c}$ の方向に偏極し、B君の光子が ${\bf c}'$ の方向に偏極していることを表す。方向を交換した状態が ${\bf c}'_A\otimes {\bf c}_B$ である。光子対の状態 $a$ はこれら二つの状態に同時に居ることを表す。
電子が二つの穴に向けて打ち込まれる時、どちらを通過したかの検出が行われない限り、両方の穴を通過したと考えなくてはいけない、あるいは、光子が方解石の結晶を通過する時、どちらの方向に偏極して通過したかの検出がなされない限り、二つの偏極方向の両方にあったと考えなくてはいけないことは、われわれは既に知っている。
まったく同様に、今考えている光子対の状態 $a$ も、${\bf c}_A\otimes {\bf c}'_B$ と ${\bf c}'_A\otimes {\bf c}_B$ の双方に同時に居ることを表している。『実際はどちらか一方に居るのだが、どちらなのかがわれわれにわからない』ということではなく、両方に居るのである。両方の穴を通過する状態と片方だけを通過する状態とは干渉のありなしで区別できたと同じように、$a$ の状態に居る光子対と、${\bf c}_A\otimes {\bf c}'_B$ かあるいは ${\bf c}'_A\otimes {\bf c}_B$ かのどちらか一方に居る状態とは、相異なる現象を引き起こすことによって区別できる。
さて、$a$ の状態の光子対の一方がA君の測定装置に飛び込んで ${\bf c}$ もしくは ${\bf c}'$ に転移すると同時に、状態 $a$ は ${\bf c}_A\otimes {\bf c}'_B$ かあるいは ${\bf c}'_A\otimes {\bf c}_B$ かの一方へ転移する（観測の理論ではこのような転移を「波束の収縮」と呼ぶ）。転移する前と後とは、実際の物理的現象によって区別できるのであるから、たとえば、分からなかったことがわかるようになった、というような観測者の側だけの何らかの変化（たとえば知識の増加）としてではなく、現実の物理的な変化としてこの転移を捉えるべきである。
ただ、ここに悩ましい問題が生じる：この転移はA君とB君を含む空間のある領域で起きる物理的な変化であって、しかもそれがA君の測定行為によって引き起こされるのである。B君が彼の光子について測定を行う時には、既に転移の起きた状態に対して彼の測定を行うことになる。
ところが、先に考えた車掌さんのような立場の観測者を考えると、その人にとってはB君の測定の方がA君の測定より早く（前の時刻に）起きる。いわば原因よりも結果が先に起きてしまうのである。「観測の理論」の p.91 の一部を書き写しておく： ・・・波束の収縮を純粋に主観的な現象、すなわちわれわれの知識の単なる増加と解釈することはできない。他方われわれが今到達した結論は、その反対の方向に、すなわち収縮過程を狭い素朴な意味での物理的なものとする解釈にあまり進み過ぎてもいけないことを示している。
何故ならば、空間的に広がった系の中で物理的な過程がある一つの領域で始まったとすれば、これは客観的事実であって、使う座標系によることはあり得ないからである。・・・
目次を表示