四方山話 (EPR 論文の再解釈 - 相対論的側面)(2023年3月22日)
量子力学の基礎について色々思索している有名な本に、「量子力学における観測の理論」（デスパーニア著、訳書は町田茂訳で岩波書店から）がある。その中に「相対論的側面」という一節があって、「われわれが苦闘しなければならない謎」としてある興味ある論理が展開されている。これについて紹介する（ただ、本論は次回になり、今回は準備だけ）：
まず「同時性」について認識を共有するために少し準備する。離れた二地点で起きる二つの出来事は、それらがある人にとって同時に起きたとしても、その人に対して動いている人にとっては同時ではない場合がある、片方が他方より先に起きたり、あるいは後に起きたりする。このことの説明にアインシュタインは次の図を用いた。アインシュタインが一般向けに書いた相対論の本としてはほとんど唯一である「特殊および一般相対性理論について」（訳本は白揚社から金子務訳で出版されている）に載っている。
アインシュタインの言葉遣いは何となく味があるので、少し長くなるが一ページ分ほど書き写す：
『-- さて、いまレールの上を非常に長い列車が、一定速度 $v$ で図に示す方向に動いているとする。この列車に乗って動いている人は、座標系として列車を使うのが便利である。すなわちすべての事象を列車に照らして見るのである。レールに沿って起こるすべての事象は、従ってまた列車の特定の点に起きることとなる。列車を基準とする同時性の定義もまた、軌道堤に準拠させた時とまったく同様にして得られる。しかし、こうなると当然の結果として、次の問いが生じる。
二つの事象（たとえば二つの落雷 $A$ と $B$）があって軌道堤を基準にして同時であるならば、列車を基準にしてもまた同時であるだろうか？
その答えがどうしても否定的になることを、直ちに示そう。
落雷 $A$ と $B$ が軌道堤に関して同時であるという時には、雷光のあった場所 $A$ と $B$ から出た光線が軌道堤の線分 $A-B$ の中点 $M$ で出会う、という意味である。列車上の点 $A$ と $B$ もまた、事象 $A$ と $B$ に一致する。走行中の列車の長さ $A-B$ の中点を $M'$ としよう。この点 $M'$ は、確かに落雷の瞬間（軌道堤から判断して）には点 $M$ と一致するが、図にあるように列車の速度 $v$ で右方向へ動いている。列車の中で点 $M'$ の所に座っている観測者がこの速度を持たないとすれば、$M$ にいつまでもとどまっていることになり、とすれば、落雷 $A$ と $B$ からの光線が彼の所に同時に到達することになろう。すなわち、この二つの光線はちょうど彼のところで出会うのである。しかし実際には（軌道堤から判断して）、彼は $B$ からくる光に向かって急行していくのであるが、$A$ からの光よりも先行してその光に後から追いつかれるのである。従って観測者は、$A$ からくる光よりも先に $B$ からの光を認めるであろう。列車を基準体として用いる観測者は、落雷 $B$ が落雷 $A$ よりも先に起こっている、という結論になるに違いない。こうしてわれわれは以下の重要な結論に達する --。
軌道堤を基準として同時である事象は、列車を基準とすると同時ではない、そしてまた逆も真である。』
この推論を展開する前段階で、いわゆる「光速度不変の原理」が強調されている。光の速さは光源と観測者の運動関係がどうであっても、この場合は列車の乗客にとっても軌道堤に静止している観測者にとってもだが、一定不変の秒速３０万キロである。つまり、レールの脇に立っている地上の観測者にとって落雷 $A$ と $B$ から伝わる光は四方八方に一秒間に３０万キロ進む。のみならず、列車の乗客にとってもそれらの光は四方八方に同じ速さで伝わる、但し、光が進む距離を測るために彼が使う物差しは、彼にとって静止している物差し（例えば列車の床に固定された巻き尺）であり、彼が使う時計は彼にとって静止している時計（例えば彼の腕に巻かれた腕時計、あるいは列車に固定された時計）である。
この原理の大事な点は、光源に対して観測者がじっとしていようが動いていようが、それに関係なく、それぞれの観測者が持つ物差しと時計で測って一秒間に３０万キロを光は進む、という点である。光以外の、例えば銃から発せられた弾丸の速さは、その源である銃と観測者の運動の関係によっていろいろ変わる。たとえば列車の乗客が撃つ場合には、どちら向きに撃たれた弾丸であっても、乗客たちにとって速さは同じ。この場合には観測者である乗客にとって銃は静止している。そうではなく、銃を撃つ人が地上に立っている人である場合、列車の進行方向と弾丸の進行方向とが逆向きの時と同じ向きの時とでは、乗客たちにとって速さが違う。（新幹線に乗っていて隣のレールを走る他の新幹線がある時、前からやって来てすれ違う場合の速さが非常に速いという経験は誰でも持っているはずである。）この場合には観測者である乗客たちにとって、銃は動いている。
光だけはこういうことがない、光源と観測者の間の運動の関係がどうであっても、それぞれの観測者の持つ時計と物差しを用いて測る時、常に秒速３０万キロが記録される。だからこそ、落雷のあった $A, B$ の中間点 $M'$ に座っている乗客の眼には、もし落雷が（彼にとって、あるいは乗客たちにとって）同時であるなら、二つの光は同時に飛び込まなければならない。でもしかし、実際には $B$ からやってくる光が先に飛び込む。ということは、この観測者と乗客たちにとって $B$ で起きた落雷の方が先の時刻に起きたことを、$A$ での落雷は少し遅れて起きたことを意味する、という訳である。
軌道堤を基準にする観測者にとって同時に起きる出来事は、列車の乗客にとっては車両の前部で起きる出来事の方が先に起こる、車両の後部での出来事は遅れた時刻に起きる、ということになる。もちろん逆も言える。乗客たちは自分たちはじっとしていて軌道堤が動いていると考えてもいいわけで、従って乗客たちにとって同時に起きる出来事は、軌道堤に立つ人にとっては列車の後部で起きる出来事の方が先に起きる
何がどうなっているのかすぐにはわからない、しかし「時空図」が少しは助けになる。時空図というのはすべての出来事を「どこでいつ」という属性だけに着目して図に書き込んだもの。ここでは直線状の軌道堤の近辺で起きる出来事だけを考えることにして、軌道堤のどこかに設けた基準点から測って距離 $x$ の場所で、そこに静止している人の腕時計で測って時刻 $t$ に起きた出来事を、図の最も上に位置するバツ印によって表す。
従って、軌道堤に立つ人にとって同時に起きた落雷 $A, B$ は、この時空図では水平な一つの直線に乗る。車内の乗客にとって同時に起きる出来事は、軌道堤に立つ人にとっては、列車の後部で起きる出来事の方がより先に起きる。ということは、そのような出来事の任意の二つを $A, C$ で表すなら、$A, C$ を通る直線が右上がりの傾いた直線であることを意味している。
われわれは暗黙の裡に、誰にとっても「同時」は同じだと思っている。時空図の言葉を使うならば、地上に立つ人にとっての「同時」を表す時空図の切り口は、列車の乗客にとっての「同時」の切り口に一致すると、普通考えている。万人が同じ時間を共有していると、普通考えていることがその理由だと思われる。しかし、アインシュタインが気づかせてくれたように、実際はそうではない。乗客たちにとっての同時の切り口（図では、一つの点線上に並ぶ出来事の全体）は、軌道堤に立つ人にとってのたくさんの「同時」の中に分散して入り込んでいる。もちろん逆も真である。
では何故、アインシュタインが現れるまでの何千年もの間、誰一人このことに気づかなかったのか？日常生活でわれわれが経験する速さが、光の速さに比べて極端に遅いことが第一の理由だと考えられる。たとえばわれわれにとって速いと思われる新幹線の速さでも、毎時 $v=300 {\rm km}$ であり、秒速に直すと
$$v=0.08 {\rm km}$$である。光速 $c$ との比は
$${v\over c}={{0.08}\over {300,000}}=2.7\times 10^{-7}$$つまり一千万分の三程度である。実はローレンツ変換と呼ばれる変換式を、光速度不変の原理などからごく容易に導くことができる。ある出来事が軌道堤に立つ人にとって場所 $x$ で時刻 $t$ に起きたとし、同じ出来事が列車に乗っている観測者にとって場所 $x'$ で時刻 $t'$ に起きたとすると、その間に
$$ct'={{ct-(v/c)x}\over {\sqrt {1-(v/c)^2}}}, \hskip 5mm x'={{x-vt}\over {\sqrt {1-(v/c)^2}}}$$の関係がある。この変換式を認めるならば、上に書いた時空図で点 $B$ が乗っている点線の方程式は
$$t=(v/c^2)x$$である。従って、点 $B$ の $x$ 座標がたとえ $30$ 万キロであったとしても、その時間座標は一千万分の三秒程度ということになる。これはわれわれの五感にかかるようなものではない。つまり、点線が傾いていることを五感で感じるような状況に、何千年もの間、われわれはおそらく一度も遭遇してこなかったのである。
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