四方山話 (EPR 論文の再解釈 - その弐)(2023年3月14日)
前回の最後に、- ${\bf b}$ と ${\bf b}'$ の状態の光子が半々に、しかしでたらめにやってくる場合と、それが ${\bf c}$ と ${\bf c}'$ に入れ替わる場合との違いを実際に検出できる実験方法は、どうもなさそうである。文章で表せば明らかに違う、しかしその違いを物理的現象として表すことができないのである - と書いた。この違いを実際に検出できないことの厳密な証明、もちろん量子力学の論理にのっとった証明だが、それはできる。アインシュタインもこんな証明があることぐらいはもちろん知ってたはずだが、彼にとっては何の意味もないことだったと思われる。とにかく、量子力学が微視的世界の現象を記述する物理理論として完全なものであるとは、１９５５年に没するまで認めようとしなかった：
量子力学では物理的世界で測定できる量はすべて「自己共役な演算子」と呼ばれるもので表される。ここで演算子とは、任意のベクトルに対して何らかのベクトルを対応させる規則であって、線型性の条件
$$O({\bf x}+{\bf y})=O{\bf x}+O{\bf y}$$ $$O(\alpha {\bf x})=\alpha O{\bf x}$$を満たす $O$ を言う。但し、${\bf x}, {\bf y}$ は任意のベクトル、$\alpha $ は任意の複素数とする。
例えばあるベクトル ${\bf a}$ に対し
\begin{equation} O{\bf x}=({\bf x}, {\bf a}){\bf a} \label{eq:Onoteigi} \end{equation}と置けば、$O$ は演算子である。勝手なベクトル ${\bf x}$ を ${\bf a}$ 方向に射影する操作が $O$ である。
演算子が自己共役であるとは
$$(O{\bf x}, {\bf y})=({\bf x}, O{\bf y})$$がすべてのベクトル ${\bf x}, {\bf y}$ について成り立つ時を言う。例えば (\ref{eq:Onoteigi}) で定義した $O$ は自己共役である。何故ならば
$$(O{\bf x}, {\bf y})=({\bf x}, {\bf a})({\bf a}, {\bf y})$$ $$({\bf x}, O{\bf y})=({\bf y}, {\bf a})^*({\bf x}, {\bf a})=({\bf a}, {\bf y})({\bf x}, {\bf a})$$だから。但し複素数 $p+iq$ に対し
$$(p+iq)^*=p-iq$$と約束する。
自己共役な演算子には必ず固有ベクトルから成る正規直交基底が存在する。つまり関係式
$$O{\bf e}=\alpha {\bf e}$$を解くと、このような固有ベクトル ${\bf e}$ 全体で正規直交基底が構成できる。更にまた、固有値 $\alpha $ は必ず実数である。
例えば (\ref{eq:Onoteigi}) で定義した $O$ の場合
$$O{\bf e}=({\bf e}, {\bf a}){\bf a}=\alpha {\bf e}$$を解くと
$${\bf e}={\bf a}, \hskip 2mm \alpha =1$$の場合と、
$${\bf e}={\bf a} に直交するベクトル, \hskip 2mm \alpha =0$$の場合がある。${\bf a}'$ を ${\bf a}$ に直交する長さが $1$ のベクトルとすれば
$${\bf a}, \hskip 2mm {\bf a}'$$の組は正規直交基底を成し、それらが属する固有値はそれぞれ $1$ と $0$ である。
量子力学では、ある物理量が自己共役な演算子 $O$ で表される時、$O$ の固有値がその物理量を測定する際現れる個々の量であり、その固有値に属する固有ベクトルが、その量を確定して持つ状態であるとされる。つまり
$$O{\bf e}_j=\alpha _j{\bf e}_j$$を解けば正規直交基底
$${\bf e}_1, \hskip 2mm {\bf e}_2$$が得られ、各 ${\bf e}_j$ においては物理量 $O$ は確定した値 $\alpha _j$ を取る。（今考えている偏極の状態を表す線型空間は二次元だが、一般の物理系の状態を考える際には、高い次元の線型空間も必要になる。）
${\bf x}$ を任意の状態とすれば、${\bf x}$ は ${\bf e}_1, {\bf e}_2$ の線型結合として一意的に
$${\bf x}=({\bf x}, {\bf e}_1){\bf e}_1+({\bf x}, {\bf e}_2){\bf e}_2$$と表すことができる。この時
$$\vert ({\bf x}, {\bf e}_1)\vert ^2, \hskip 2mm \vert ({\bf x}, {\bf e}_2)\vert ^2$$はそれぞれ、状態 ${\bf x}$ の光子が ${\bf e}_1$、あるいは ${\bf e}_2$ の状態へ転移する確率に等しい。従って ${\bf x}$ の状態で物理量 $O$ を測る時、値 $\alpha _1$ が得られる確率は
$$\vert ({\bf x}, {\bf e}_1)\vert ^2$$であり、値 $\alpha _2$ が得られる確率は
$$\vert ({\bf x}, {\bf e}_2)\vert ^2$$だと言える。よってその測定で得られる平均値を $\langle O\rangle $ で表すならば
$$\langle O\rangle =\vert ({\bf x}, {\bf e}_1)\vert ^2\alpha _1+\vert ({\bf x}, {\bf e}_2)\vert ^2\alpha _2$$である。実はこの値は - 計算によって直接確かめることができるが -
$$\langle O\rangle =(O{\bf x}, {\bf x})$$に等しい。
A君が水平偏光子を使って測定しているのか、あるいは $30$ 度偏光子を使って測定しているのかの区別が、B君が自分のところへやって来る光子の測定だけで可能かどうかが、前回の最後で問題になった。水平偏光子を使っている間は、${\bf b}$ と ${\bf b}'$ の状態の光子が半々の割で、しかしでたらめにやって来た。一方で $30$ 度偏光子を使いだすと ${\bf c}$ と ${\bf c}'$ の光子が同じく半々の割ででたらめにやって来た。B君ができることは何らかの物理量 $O$ を定めやって来る光子に対しその物理量を測定することだけである。
$O$ の測定値はその固有状態に対して測るのでない限り一般に平均値の周りに分散する。そこでまず、${\bf b}$ と ${\bf b}'$ がやってくる場合の $O$ の平均値だが、それを $\langle O\rangle _h$ で表すと
\begin{equation} \langle O\rangle _h={1\over 2}(O{\bf b}, {\bf b})+{1\over 2}(O{\bf b}', {\bf b}') \label{eq:Ohnoatai} \end{equation}であり、同様に ${\bf c}$ と ${\bf c}'$ がやってくる場合の平均値 $\langle O\rangle _{30}$ は
\begin{equation} \langle O\rangle _{30}={1\over 2}(O{\bf c}, {\bf c})+{1\over 2}(O{\bf c}', {\bf c}') \label{eq:O30noatai} \end{equation}である。ここでこれら二つの平均値が等しいのであれば、B君はA君の測定装置の変更に気付かないことになる。但し、平均値を見ている限りにおいてだが。
実はこれらは等しい。何故ならば：
$${\bf c}=\alpha {\bf b}+\beta {\bf b}'$$ $${\bf c}'=\gamma {\bf b}+\delta {\bf b}'$$と書けるから、これらを (\ref{eq:O30noatai}) へ代入すると
\begin{eqnarray*} \langle O\rangle _{30}&=&{1\over 2}\left( \vert \alpha \vert ^2+\vert \gamma \vert ^2\right) (O{\bf b}, {\bf b})+{1\over 2}\left( \vert \beta \vert ^2+\vert \delta \vert ^2\right) (O{\bf b}', {\bf b}')\\ &&+{1\over 2}\left( \alpha \beta ^*+\gamma \delta ^*\right) (O{\bf b}, {\bf b}')+{1\over 2}\left( \beta \alpha ^*+\delta \gamma ^*\right) (O{\bf b}', {\bf b}) \end{eqnarray*}が得られる。ここで
$${\bf b}=\alpha ^*{\bf c}+\gamma ^*{\bf c}'$$ $${\bf b}'=\beta ^*{\bf c}+\delta ^*{\bf c}'$$とも書けるので
$$\vert \alpha \vert ^2+\vert \gamma \vert ^2=\vert \beta \vert ^2+\vert \delta \vert ^2=1$$ $$\alpha ^*\beta +\gamma ^*\delta =0$$が成立することになり、これらを使うと
$$\langle O\rangle _{30}=\langle O\rangle _h$$が得られる。
従って、平均値だけでは違いを検出することはできない。では、その平均値の周りの分散を見るようにすればどうであろうか。実はそれでも駄目である。というのは分散は $O^2$ の平均値で表されるからである。任意の高次の分散についても同様であるから、結局、A君が装置を入れ替えたとしてもその違いをB君が察することはない。
-- これ以降の内容は既に書いたものにほぼ一致しているが、少しだけ改良したので、私の備忘録としてもう一度載せておく --
でもやはり、アインシュタインの信念（それは同時にわれわれの素朴な信念でもあるが）が、自然もそれに従っているという意味で正しいのか、あるいは、自然は別の様式で、例えば量子力学の理論に従ってその振る舞いを決めているという意味で間違っているのか、どちらなのか。この疑問は、１９６４年、ジョン・スチュワート・ベルによって導かれたある不等式と、その検証実験を行った実験物理学者によって、最終的には1982年に解かれた。結果はアインシュタインの信念を打ち砕き、量子力学の考え方に軍配をあげるものだった。
ここで考えてきた光子対のような二つの物体は、いくら遠く離れたとしても、それぞれを独立な存在とみなすことができない、それぞれが明確な物理的性質を持つ状態にあるとは言えないのである。一方に対して何らかの測定を行い、その性質を特定して初めて他方の性質も決まり、それぞれが独立な存在になり得る。一方に対して行われる操作は、この意味で他方に影響を及ぼす、しかも瞬時にして影響を及ぼす。ただ、その意味での影響の伝播は、何か別の手段で補わない限り、それ単独では電話や電報と同じような情報伝達の手段としては使えない。
まず「ベルの不等式」と呼ばれているある不等式をアインシュタインの考え方を仮定した上で導く：
先に述べた意味での相関した光子対を左に位置する A 君と右に位置する B 君とがそれぞれの持つ装置に通すのだが、彼らは三種類の装置を持っているとする。まず先に挙げた図
の装置、つまり「$h$ 偏光子」。方解石と二つの検出器からなるこの装置を光子が通過すると、ある時には $x$ 軸の方向に偏極したことを知らせる検出器のブザーが鳴り、またある時は $y$ 軸の方向に偏極したことを知らせるもう一方のブザーが鳴る。下のブザーが鳴る時の光子の状態、つまり紙面に垂直な方向に偏極した光子の状態を $h=+$ で表し、そうでなく紙面に平行な方向に偏極した光子の状態を $h=-$ で表す。光子対は上で述べた意味で相関しているから、A 君が $h=+$ の光子を認めるならば B 君は必ず $h=-$ の光子を見出す。
ベルの不等式にはもう二種類の装置を必要とする。一つは、$x$ 軸と $+\phi $ の角度を成す方向とそれに垂直な $\phi +\pi /2$ の方向のどちらに偏極したかを測定する装置で、これを「$\phi $ 偏光子」と呼ぼう。つまり $h$ 偏光子を $z$ 軸を中心にして $+\phi $ だけ回転して得られる装置である。$\phi =+$ と $\phi =-$ によって、この装置を通過後二つの方向へ偏極した光子の状態を表す。同様に $h$ 偏光子を $z$ 軸を中心にして $+\theta $ だけ回転して得られる装置を $\theta $ 偏光子と呼び、それを通過後の光子の状態を $\theta =+$ と $\theta =-$ で表す。
先に述べた意味で相関した光子の対を $N$ 対作り、A 君と B 君はまず次の測定をしてデータを集める：A 君は $h$ 偏光子に、B 君は $\phi $ 偏光子に、それぞれのもとへやって来る光子を通し $\pm $ のどちらに転移するかを観測する。この時、A 君が $h=-$ の光子を検出し B 君が $\phi =+$ の光子を検出する対の個数を
$$n(h_-, \phi _+)$$で表す。
さて、対を成す二つの光子は偏極方向が直交しているという意味で相関関係にある。よって $n(h_-, \phi _+)$ 個に含まれる光子対の場合、B 君のもとへ到着する光子は、もしそれを $h$ 偏光子に通すならば $h=+$ の状態に偏極して通過するはずである。よって、その光子はB君の装置に突入する前から、『$h$ 偏光子を通る場合には $h=+$ の状態になり、$\phi $ 偏光子を通過する場合には $\phi =+$ の状態になって通過することが決定されていた』と推論できる。
繰り返しになるが、この推論はアインシュタインの考え方を前提として初めてできる推論である。B君のもとへやって来る光子の各々が、任意の偏光子をどのように通過するかをあらかじめ決めて知っているとするからこの推論ができる。
光子対の個数
$$n(h_-, \phi _+)$$を得ることができたら、次にもう一度 $N$ 対の相関した光子を作り、A 君は前回と同じように $h$ 偏光子を通すけれども、B 君は $\theta $ 偏光子を通す測定を行う。この時、A 君が $h=-$ の光子を検出し B 君が $\theta =+$ の光子を検出する対の個数を求め、これを
$$n(h_-, \theta _+)$$で表す。この数値は、B 君のもとへ飛んでくる光子の内で、『$h$ 偏光子を通る場合には $h=+$ の状態になり、$\theta $ 偏光子を通過する場合には $\theta =+$ の状態になって通過することがあらかじめ決定されていた』光子の個数を表す。
さて最後にもう一度 $N$ 対の光子を作り、A 君は $\phi $ 偏光子を使い B 君は $\theta $ 偏光子を使って、A 君が $\phi =+$ の光子を検出し B 君が $\theta =+$ の光子を検出する対の個数を求めて
$$n(\phi _+, \theta _+)$$と置く。従って B 君のもとへやって来る光子の内で、『$\phi $ 偏光子を通る場合には $\phi =-$ の状態になり、$\theta $ 偏光子を通過する場合には $\theta =+$ の状態になって通過することが既に決定されていた』光子の個数がこれである。
実はこれら三つの数値の間に不等式
\begin{equation} n(h_-, \phi _+)+n(\phi _+, \theta _+)\geq n(h_-, \theta _+) \label{eq:Bellfutou} \end{equation}が成り立つ。この不等式はベルの不等式と呼ばれるが、次のように証明できる：第一段階の測定において、B 君のもとへ飛んでくる $N$ 個の光子の中で、『$h$ 偏光子を通過するのであれば $h=+$ の状態で、もし $\phi $ 偏光子に遭遇した場合には $\phi =+$ の状態で、もし $\theta $ 偏光子に飛び込んだ場合には $\theta =+$ の状態となって、それぞれを通過することが決定されていた』光子の個数を、記号
$$n(h=+, \phi =+, \theta =+)$$で表す。三つのプラスの内幾つかがマイナスになる場合も同様である。すると
\begin{equation} n(h_-, \phi _+)=n(h=+, \phi =+, \theta =+)+n(h=+, \phi =+, \theta =-) \label{eq:nh-phi+kakikae} \end{equation}と書ける。
同様に
\begin{equation} n(\phi _+, \theta _+)=n(h=+, \phi =-, \theta =+)+n(h=-, \phi =-, \theta =+) \label{eq:nphi+theta+kakikae} \end{equation}であり、
\begin{equation} n(h_-, \theta _+)=n(h=+, \phi =+, \theta =+)+n(h=+, \phi =-, \theta =+) \label{eq:nh-theta+kakikae} \end{equation}である。(\ref{eq:nh-theta+kakikae}) 式の右辺に現れる項は、最初のものは (\ref{eq:nh-phi+kakikae}) 式の、二番目は (\ref{eq:nphi+theta+kakikae}) 式の、それぞれ右辺に現れる。従って (\ref{eq:nh-phi+kakikae}) 式と (\ref{eq:nphi+theta+kakikae}) 式の和は、(\ref{eq:nh-theta+kakikae}) 式の値より小さくなることはない。つまりベルの不等式が証明できた。
ベルの不等式は、アインシュタインの考え方を取る限り実験データの間で成り立つはずの不等式である。逆に、もしこの不等式が不成立な $\phi , \theta $ が一組でも存在するのであれば、その時には、自然はアインシュタインの信念に沿って振る舞ってはいないことになる。実はそのような角度の組が実際に存在することが実験によって示された。
では、量子力学に従う時この不等式は成立するのかしないのかを見ておこう：このような相関のある光子対の状態は
\begin{equation} {\bf a}={1\over {\sqrt 2}}\left( {\bf b}_A\otimes {\bf b}'_B-{\bf b}'_A\otimes {\bf b}_B\right) \label{eq:anohyougen} \end{equation}と書き表せる。以下はその理由の、但しかなり直観的な説明である。
まず右辺に現れる
$${\bf b}_A\otimes {\bf b}'_B$$は、A 君の光子が水平に偏極し、B 君の光子が垂直に偏極していることを表す為に案出した記号である。もう一方の片割れの
$${\bf b}'_A\otimes {\bf b}_B$$は、A 君の光子が垂直に偏極し、B 君の光子が水平に偏極していることを表す。妙な記号 $\otimes $ が気になるかもしれないが、別になくてもよい。この記号を挟む左右の偏極が共に成立していることを強調するために考案した記号である。
一つの光子の任意の状態は ${\bf b}$ と ${\bf b}'$ の線形結合として表すことができた。よって、二つの光子の状態は、
$${\bf b}_A\otimes {\bf b}'_B, \hskip 2mm {\bf b}'_A\otimes {\bf b}_B$$の他に
$${\bf b}_A\otimes {\bf b}_B, \hskip 2mm {\bf b}'_A\otimes {\bf b}'_B$$の四つの状態の線形結合として表されることは、少なくとも直観的には納得できると思う。今われわれが問題にしている光子対の場合は、偏極の方向が互いに直交するのだから
$${\bf b}_A\otimes {\bf b}_B, \hskip 2mm {\bf b}'_A\otimes {\bf b}'_B$$の二つは必要でなくて、
$${\bf b}_A\otimes {\bf b}'_B, \hskip 2mm {\bf b}'_A\otimes {\bf b}_B$$の線形結合で表されることになる。
最後に、(\ref{eq:anohyougen}) 式
$${\bf a}={1\over {\sqrt 2}}\left( {\bf b}_A\otimes {\bf b}'_B-{\bf b}'_A\otimes {\bf b}_B\right) $$に現れるマイナスの必然性を示す：${\bf b}, {\bf b}'$ 以外の任意の正規直交基底を取り ${\bf c}, {\bf c}'$ とする。適当な角度 $\phi $ を用いて
\begin{eqnarray} {\bf c}&=&\cos \phi {\bf b}+\sin \phi {\bf b}' \label{eq:cnohyouji}\\ {\bf c}'&=&-\sin \phi {\bf b}+\cos \phi {\bf b}' \label{eq:cdashnohy} \end{eqnarray}と書ける。
この時 A 君の光子が ${\bf c}$ の方向に偏極し B 君の光子がそれに垂直な ${\bf c}'$ の方向に偏極している状態を
$${\bf c}_A\otimes {\bf c}'_B$$で表すと
\begin{eqnarray*} {\bf c}_A\otimes {\bf c}'_B&=&\left( \cos \phi {\bf b}_A+\sin \phi {\bf b}'_A\right) \otimes \left( -\sin \phi {\bf b}_B+\cos \phi {\bf b}'_B\right) \\ &=&-\cos \phi \sin \phi {\bf b}_A\otimes {\bf b}_B+\cos ^2\phi {\bf b}_A\otimes {\bf b}'_B\\ &&-\sin ^2\phi {\bf b}'_A\otimes {\bf b}_B+\sin \phi \cos \phi {\bf b}'_A\otimes {\bf b}'_B \end{eqnarray*}となる。
また A 君の光子が ${\bf c}'$ の方向に偏極し B 君の光子が ${\bf c}$ の方向に偏極している状態を
$${\bf c}'_A\otimes {\bf c}_B$$で表すなら、同様な計算により
\begin{eqnarray*} {\bf c}'_A\otimes {\bf c}_B&=&-\sin \phi \cos \phi {\bf b}_A\otimes {\bf b}_B-\sin ^2\phi {\bf b}_A\otimes {\bf b}'_B\\ &&+\cos ^2\phi {\bf b}'_A\otimes {\bf b}_B+\cos \phi \sin \phi {\bf b}'_A\otimes {\bf b}'_B \end{eqnarray*}が得られる。よって
$${\bf c}_A\otimes {\bf c}'_B-{\bf c}'_A\otimes {\bf c}_B={\bf b}_A\otimes {\bf b}'_B-{\bf b}'_A\otimes {\bf b}_B$$が成り立つ。つまり、このマイナスのお陰で、(\ref{eq:anohyougen}) 式で表される状態 ${\bf a}$ では、A 君の光子が ${\bf c}$ 方向に偏極していれば B 君の光子は ${\bf c}'$ に偏極し、A 君の光子が ${\bf c}'$ 方向に偏極していれば B 君の光子は ${\bf c}$ に偏極していることになる。${\bf c}$ の方向は任意であり、よって、状態 ${\bf a}$ は確かに、二つの光子の偏極方向が互いに直交するという条件を満たす。
さて $n(h_-, \phi _+)$ をまず計算する：A 君が $h=-$ の偏極を、B 君が $\phi =+$ の偏極を検出する確率を ${\bf a}$ の表示
$${\bf a}={1\over {\sqrt 2}}\left( {\bf b}_A\otimes {\bf b}'_B-{\bf b}'_A\otimes {\bf b}_B\right) $$を使って計算すればよい。(\ref{eq:cnohyouji}) 式
$${\bf c}=\cos \phi {\bf b}+\sin \phi {\bf b}'$$と (\ref{eq:cdashnohy}) 式
$${\bf c}'=-\sin \phi {\bf b}+\cos \phi {\bf b}'$$を逆に解くと
$${\bf b}=\cos \phi {\bf c}-\sin \phi {\bf c}'$$ $${\bf b}'=\sin \phi {\bf c}+\cos \phi {\bf c}'$$が得られるから、
\begin{eqnarray*} {\bf a}&=&{1\over {\sqrt 2}}\left[ {\bf b}_A\otimes {\bf b}'_B-{\bf b}'_A\otimes {\bf b}_B\right] \\ &=&{1\over {\sqrt 2}}\Bigl[ {\bf b}_A\otimes ( \sin \phi {\bf c}_B+\cos \phi {\bf c}'_B) -{\bf b}'_A\otimes (\cos \phi {\bf c}_B-\sin \phi {\bf c}'_B)\Bigr] \\ &=&{1\over {\sqrt 2}}\Bigl[ \sin \phi {\bf b}_A\otimes {\bf c}_B+\cos \phi {\bf b}_A\otimes {\bf c}'_B-\cos \phi {\bf b}'_A\otimes {\bf c}_B+\sin \phi {\bf b}'_A\otimes {\bf c}'_B\Bigr] \end{eqnarray*}と書ける。
従って、量子力学の公理に従うと、A 君が $h=-$ の偏極を、B 君が $\phi =+$ の偏極を検出する確率は、上の式の ${\bf b}'_A\otimes {\bf c}_B$ の係数の絶対値の $2$ 乗、つまり
$$\vert -{1\over {\sqrt 2}}\cos \phi \vert ^2={1\over 2}\cos ^2\phi $$である。よって
$$n(h_-, \phi _+)={N\over 2}\cos ^2\phi $$が得られた。
まったく同様の計算をすれば
$$n(\phi _+, \theta _+)={N\over 2}\sin ^2(\theta -\phi ), \hskip 2mm n(h_-, \theta _+)={N\over 2}\cos ^2\theta $$が得られる。
これらをベルの不等式へ代入すると
\begin{equation} \cos ^2\phi +\sin ^2(\theta -\phi )\geq \cos ^2\theta \label{eq:cos2phi+sin2phi} \end{equation}が得られる。容易にわかることだが、この不等式はすべての $\phi $ と $\theta $ に対して成立するわけではない。何故ならば：$\phi $ を任意の値に固定した上で $\theta $ の関数
$$f(\theta )=\cos ^2\phi +\sin ^2(\theta -\phi )-\cos ^2\theta $$を考える。$f(\phi )=0$ であることに着目する。
$$f'(\theta )=2\sin (\theta -\phi )\cos (\theta -\phi )+2\cos \theta \sin \theta $$だから
$$f'(\phi )=2\cos \phi \sin \phi =\sin 2\phi $$である。よって $\sin 2\phi >0$ である $\phi $、例えば $\phi =\pi /4$ の前後で、$f(\theta )$ は負の値にも正の値にもなり得る。
つまり、量子力学に従って計算するならば、ベルの不等式が成り立たない $\phi $ と $\theta $ の組が存在するのである。実際にその存在が実験でも確かめられた。つまり、量子力学はアインシュタインの考え方には反する現象を予言することが、不等式の形でも示され、かつ実証されたことになる。
アインシュタインが見落とした点をはっきりしておきたい：A君もB君もまだ測定を行っていない時の光子対の状態は、量子力学に従えば (\ref{eq:anohyougen}) 式
$${\bf a}={1\over {\sqrt 2}}\left( {\bf b}_A\otimes {\bf b}'_B-{\bf b}'_A\otimes {\bf b}_B\right) $$で表される。以前、二つの穴を通過する時の状態が、どちらを通過したかの測定が行われない限り、どちらも同時に通過したと考えざるを得ない状態であり、それぞれの穴を通過する状態の和の形で表されることを見た。上記の ${\bf a}$ も、
$${\bf b}_A\otimes {\bf b}'_B$$の状態と
$${\bf b}'_A\otimes {\bf b}_B$$の状態の、双方に同時に居ることを表す。つまり、A君の光子は水平に、B君の光子は垂直に偏極した状態と、A君の光子が垂直に、B君の光子が水平に偏極した状態の双方に、この光子対はあるのである。『実際はどちらか片方にあるのだが、どちらにあるのかわれわれに分からない』という意味ではなく、両方に同時に居るのである。それは言うなれば、二つの穴を同時に通過する、ことに対応する。
Ａ君が測定装置に光子を通し、どちらの方向へ偏極して通過するかを確定する時初めて、
$${\bf b}_A\otimes {\bf b}'_B$$の状態か、あるいは
$${\bf b}'_A\otimes {\bf b}_B$$の状態か、どちらか一方の状態に転移する。その時までは、一方のみに加えられる操作が二つの光子がなす全系の状態を変化させるという意味で、二つの光子は、たとえそれらがいくら遠く離れていようとも、独立した存在とみなすことはできない。二つの光子は『もつれている。』
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