四方山話 (「だれが原子をみたか」を読んで-江沢先生の大まかな計算)(2023年2月27日)
１９０５年にアインシュタインが発表したブラウン運動に関する理論を受けて、ペランという実験屋さんがその理論の検証に着手した。下の図は、そのペランさんが実際にブラウン運動をスケッチしたもの。半径が $0.53 {\rm \mu m}$ の乳香（ある種の樹脂）の微粒子を水に浮かべて $30$ 秒ごとの位置を方眼紙に写し取り線分でつないだ。
方眼の一辺は $50/16 {\rm \mu m}$ であり、多い時で三区画分、少ない時で一区画分を移動していることが見て取れる。つまり
$$3 {\rm \mu m} から 10 {\rm \mu m}$$を移動している。$10 {\rm \mu m}$ と言えば、$1$ ミリメートルの百分の一である。
水中を浮遊する微粒子に回りの液体分子が衝突を繰り返すとその結果微粒子はどのような運動をすることになるかを計算したのがアインシュタインで、その計算結果が実際のブラウン運動とぴったり合っていることを確かめたのがペランさんという訳。
アインシュタインの正確な計算の前に、この本の著者の江沢先生が大まかな概算をやってくれている。まずそれを紹介してみたい：
微粒子の運動を追いたいのだが、座標軸 $x, y, z$ の各方向へ分解して考える。すべての方向が対等なはずだから $x$ 方向に着目する。$n$ 回の液体分子による衝突の内 $j$ 番目の衝突によって微粒子が得る運動量を $p_j$ で表す。今は $x$ 方向に着目しているので $p_j$ は本来の三次元空間における運動量ベクトルの $x$ 成分であり、正負の数である。液体分子による衝突は、方向に関しても強さに関してもでたらめだから、もし粒子が静止しているのであれば、$p_j$ の平均は $0$ である。
時間 $t$ の間の $n$ 回の衝突により粒子が得る運動量（の $x$ 成分）の平均はもちろん $0$ なのであまり考える価値がないが、二乗平均
$$\langle \left( \sum _jp_j\right) ^2\rangle $$は少し面白い（但し、標本としてたくさんの粒子を考え、その集団に関する平均を $\langle \cdot \rangle $ で表す）。展開すると
$$\left( \sum _jp_j\right) ^2=\sum _jp_j^2+2\sum _{j < l}p_jp_l$$であり、右辺二項目の平均は $0$ である。何故ならば、相異なる $j, l$ それぞれで $p_j, p_l$ は平均値 $0$ の周りを独立に動くから。よって
\begin{eqnarray*} \langle \left( \sum _jp_j\right) ^2\rangle &=&\sum _j\langle p_j^2\rangle \\ &=&\langle \left( 一回の衝突から得る運動量\right) ^2\rangle \times n\\ &=&\langle \left( 一回の衝突から得る運動量\right) ^2\rangle \times \nu t \end{eqnarray*}である。つまり、時間 $t$ の間に粒子に起きる運動量の変化の二乗平均は、時間 $t$ に比例する。
上の等式は
\begin{equation} {\sqrt {\langle \left( \sum _jp_j\right) ^2\rangle }}={\sqrt {\langle \left( 一回の衝突から粒子が得る運動量\right) ^2\rangle }}\times {\sqrt n} \label{eq:sqrtpjnowanoni} \end{equation}とも書ける。
粒子の大きさを大まかに見積もって半径が $0.5 {\rm \mu m}$ であるとする。つまり $5\times 10^{-5} {\rm cm}$ である。これは原子や分子の大体の大きさ $10^{-8} {\rm cm}$ の約 $1000$ 倍、従って体積では $10^9$ 倍、つまり分子の十億個分である。質量の密度も大体同じであると思ってよかろうから
$${M\over m}\approx 10^9$$と置ける。但し $m$ は液体分子の質量、$M$ は粒子の質量である。$\approx $ は近似値を表す。
２月１４日の記事で紹介したことだが、液体中の微粒子についても液体分子と同様に
$$\langle {1\over 2}MV^2\rangle ={3\over 2}kT$$であることの強力な証拠がある。従ってこれを正しいとして話を進める。但し $k$ はボルツマン定数、$T$ は絶対温度を表す。ここで書いた $V$ は粒子の三次元的な速度を表しているので、今考えている $x$ 成分 $V_x$ については
$$\langle {1\over 2}MV_x^2\rangle ={1\over 2}kT$$が成り立つ。$x, y, z$ 成分はすべて対等であるために $V^2=3V_x^2$ だからである。
従って
$${{\sqrt {\langle V_x^2\rangle }}\over {\sqrt {\langle v_x^2\rangle }}}={\sqrt {m \over M}}\approx {\sqrt {10^{-9}}}\approx 3\times 10^{-5}$$である。$v$ は分子の速度を表す。
１月２１日の記事で計算したことだが、空気中の酸素分子が飛び回る速さの平均が毎秒数百メートルだった。$v_x$ もこの程度だとして
$${\sqrt {\langle v_x^2\rangle }}=10^2 {\rm m\cdot s^{-1}}$$と置くと
\begin{equation} {\sqrt {\langle V_x^2\rangle }}\approx 3 {\rm mm\cdot s^{-1}}\label{eq:sqrtVx2} \end{equation}である。
一方で、
$${\sqrt {\langle v_x^2\rangle }}, \hskip 2mm {\sqrt {\langle V_x^2\rangle }}$$をそれぞれ、液体分子とブラウン粒子の平均的な速さとみなし、その場合の運動量の大きさの比を求めてみると
\begin{equation} {{m{\sqrt {\langle v_x^2\rangle }}}\over {M{\sqrt {\langle V_x^2\rangle }}}}={m\over M}\times {\sqrt {M\over m}}={\sqrt {m \over M}}\approx 3\times 10^{-5} \label{eq:mVtoMVnohikaku} \end{equation}である。つまり分子一つが持つ運動量はブラウン粒子の持つ運動量の十万分の一とか、一万分の一とかの大きさである。
従って、分子が粒子に衝突して粒子に与える運動量も、粒子の持つ運動量から見れば大体この程度の大きさと考えられる。つまり、一回の衝突で微粒子の運動量が大きく変わることはない。
しかし、実際のブラウン粒子はジグザグ運動をし、顕微鏡で確認できる。ということは、何らかの影響で粒子の運動量はある程度大きな変化を時々被ることを意味する。もしその原因が液体分子の衝突によるものであるとするなら、それは非常に多数回の衝突により引き起こされると考える以外ない。
(\ref{eq:sqrtpjnowanoni}) 式
$${\sqrt {\langle \left( \sum _jp_j\right) ^2\rangle }}={\sqrt {\langle \left( 一回の衝突から得る運動量\right) ^2\rangle }}\times {\sqrt n}$$は $n$ 回の衝突によって得られる運動量の大まかな値が一回の衝突から得られる運動量の平均的な値の ${\sqrt n}$ 倍であることを示している。(\ref{eq:mVtoMVnohikaku}) 式から、もし $n$ が $10^{10}$ あるいはそれ以上であれば、粒子の運動量は目に見えて変化することも可能である。
ただ、衝突回数 $n$ は経過時間 $t$ に比例して増加する。従って時間が経過するにつれて粒子が得る運動量は限りなく大きくなることになるが、実際にはそんなことは起きてないだろう。すなわち、ブラウン粒子の運動を液体分子の衝突によって説明できるとするなら、考慮すべき何かをまだ見落としている。
微粒子が動くと、前方からの分子の衝突が後方からの衝突を回数においても強さにおいても上回るはず。従って、後ろ向きに運動量の変化が生じる、つまり進行方向とは逆向きの力が作用することになる。一方、何らかの物体が液体や気体の中を運動する場合、「粘性抵抗」と呼ばれる力がその運動を妨げる方向へ働き、その大きさは、球形の物体に対しては
$$粘性抵抗=6\pi \times 粘性係数\times 粒子の半径\times 粒子の速さ$$だと知られている。
例えば雨粒が落ちてくる様子を、特に細かな雨粒が落ちてくる様子を、夜の街灯の下などで見るとよくわかるが、ほとんど同じ速さを維持しながら落ちてくる。地球の重力の影響だけを考えるなら徐々に加速して落ちてくるはずなのだが、空気による粘性抵抗も考慮しなくてはいけない。粘性抵抗の力は落体の速さに比例して増えるので、ある速さに雨粒が達すると重力による下向きの力と粘性抵抗による上向きの力が釣り合い、それ以後は合力 $0$ の状況となるために、速さが一定になると考えられるからである。
粘性抵抗のこの等式はストークスの定理と呼ばれているが、液体分子の衝突によってブラウン粒子にかかる後方への力もこの形で表されると仮定しよう。雨粒のような大きな物体に対しては正しいと確認されているが、それがそのままブラウン粒子のような格段に小さな物体に対しても成り立つことは決して自明ではない。この仮定が正しいかどうかは実験によって検証されるべきことであり、後年ペランによって確認された。
先に見たように、粒子の運動エネルギーの平均は
\begin{equation} {1\over 2}M\langle V_x^2\rangle ={1\over 2}kT \label{eq:12Vx2kT} \end{equation}である。しかしこれは平均の話であって、個々の粒子ではこれより小さい場合も大きい場合もあるはず。まずブラウン粒子が静止している状態から考えてみよう。液体分子の衝突はでたらめだから、方向にも強さにも揺らぎがある。すべての方向から全く対称的に衝突するなどと言うことは極めてまれなはずで、衝撃がある方向に偏って起きる結果その方向へ動き出すことは頻繁にあるはず。運動の $x$ 軸への射影を今は考えているから、運動は左方向か右方向かのどちらかである。得られる速さはまちまちであろうが、(\ref{eq:12Vx2kT}) 式によって決まる速さ $V_x$ の程度だと考えよう。走り始めると粘性抵抗の力が働き始める。力とは単位時間当たりの運動量の変化だから、
$$(粘性抵抗の力)\times (力の働いている時間)\approx MV_x$$によって求まる時間だけ経つと、粒子はほぼ静止状態に戻ると考えられる。この走り出してからほぼ止まるまでの粒子の変移を「要素変移」と呼び、上の等式によって求まる時間を「要素変移の時間」と呼ぶことにする。
もちろん要素変移の間でも液体分子は粒子に衝突する。従って色々な方向の運動量を粒子に与えるであろうが、粘性抵抗が働いている間はそれが支配的であると思ってよいであろう。
従って、大まかに言って
$$(要素変移の時間)\approx {{MV_x}\over {6\pi \cdot (粘性係数)\cdot (微粒子の半径)\cdot V_x}}={M\over {6\pi \cdot (粘性係数)\cdot (微粒子の半径)}}$$である。ここでブラウン粒子の密度を $1 {\rm g\cdot cm^{-3}}$ 程度だとして、半径が $0.5 {\rm \mu m}$ とすれば
$$M=5\times 10^{-13} {\rm g}$$また
$$(水の粘性係数)=10^{-2} {\rm {dyn \cdot s\cdot cm^{-2}}}$$を代入すると
\begin{equation} (要素変移の時間)\approx 5.3\times 10^{-8} {\rm s} \label{eq:yousohenijikan} \end{equation}この時間に粒子が移動する距離（もちろん $x$ 軸方向への射影で）は、大まかな値としてはこれに $V_x$ をかけて求まると考えられる。(\ref{eq:sqrtVx2}) 式の
$${\sqrt {\langle V_x^2\rangle }}\approx 3 {\rm mm\cdot s^{-1}}$$を $V_x$ の近似値として採用すると
\begin{equation} (要素変移の間の移動距離)\approx 1.6 \times 10^{-8} {\rm cm} \label{eq:yousoheniookis} \end{equation}これは随分小さい。微粒子の半径 $0.5 {\rm \mu m}$ の $1000$ 分の $1$ にもならない。この要素変移の積み重ねが顕微鏡で見えるブラウン粒子のジグザグ運動になるだろうという希望は少し怪しくなってきたが、でも望みがまったく消滅したわけではない。この小ささを打ち消すようなおびただしい回数の要素変移があればまだわからない。
(\ref{eq:yousohenijikan}) 式によれば一回の要素変移に要する時間はおおよそ
$$5.3\times 10^{-8} {\rm s}$$である。従ってもし $t$ 秒間ブラウン粒子を観測するならその間に
$${t\over {5.3\times 10^{-8}}}={t\over {5.3}}\times 10^8$$回もの要素変移が生じることになる。$t$ としては $10$ 秒とか $20$ 秒が考えられるので、この回数は実におびただしい。
その間の要素変移は正であったり負であったりするが、それらの和の二乗の平均でもってその間に粒子が移動する距離とみなそう。
すると
$$\langle \left( t 秒間の要素変移の和\right) ^2\rangle =\langle \left( 各要素変移の間の変位\right) ^2\rangle の和$$であり、(\ref{eq:yousoheniookis}) 式によれば各要素変移の間の移動距離は約 $1.6 \times 10^{-8} {\rm cm}$ なので、
\begin{eqnarray*} \langle \left( t 秒間の要素変移の和\right) ^2\rangle &\approx &\left( 1.6 \times 10^{-8}\right) ^2\times {t\over {5.3}}\times 10^8\\ &=&4.8\times t\times 10^{-8} {\rm cm^2} \end{eqnarray*}よって $t$ 秒間に粒子が移動する距離は
$${\sqrt {4.8\times t\times 10^{-8}}}=2.2\times 10^{-4}\times {\sqrt t} {\rm cm}$$となる。例えば $t$ として $30$ 秒とすると
\begin{equation} 30 秒間に粒子が移動する距離\approx 1.2\times 10^{-3} {\rm cm}=12 {\rm \mu m} \label{eq:30byoudenoidou} \end{equation}となる。
これはいい線いってる！最初に紹介したペランさんのスケッチによれば３０秒間で
$$3 {\rm \mu m} から 10 {\rm \mu m}$$を移動している。これは今求めた
$$12 {\rm \mu m} $$に大体あっている。計算自体がかなり大まかなものであり、この程度のずれは計算の誤差に含めるのが妥当であろう。
江沢先生最後に曰く『上に説明してきた考え方は、アインシュタインの（１９０５年の）理論そのものというよりは、１９０８年にペランの友人ランジュバンが出した考え方に近い。でも、アインシュタインも理論を最終的に数式で書き表す前に、このような見積もりをしたに違いない。そう私は思う。』
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