ド・ブロイの物質波(2023年12月5日)
１８９２年、フランスの貴族の家系に生まれ、１９８７年、９４歳で没したフランスの天才物理学者ルイ・ド・ブロイが、１９２３年に提案した「物質波」のアイデイアを紹介します。当時、光については、干渉など波としての性質を見せる現象がある一方で、光電効果など粒子としての性質を見せる現象も確認されていました。しかし、例えば電子については、光子のようなものではない、もっとずっと粒子らしい対象として認識されていました。電子の流れが干渉を起こし得ることは１９２７年になって検証されたのですが、当時はそのような傾向の一切知られていない時でした。ド・ブロイはそういう時代にあって、すべて粒子は、光子のみならず電子のようなものであっても、波動を伴っていると言う考え方を提案し、その論理的帰結を論じました。今回はその紹介です。
ある自由粒子（つまり、力の影響下にない粒子）を考えましょう。これが静止して見える観測者 $K_0$ にとっての質量（つまり、静止質量）を $m_0$ とすれば、$K_0$ にとってこの粒子は
$$E_0=m_0c^2$$のエネルギーを持ちます。もちろんこれはアインシュタインの関係式であり、$c$ は光の速さです。ここでド・ブロイは、粒子は
$$E_0=h\nu _0$$で決まる振動数 $\nu _0$ の振動現象を内蔵すると考えました。$h$ はプランクの定数
$$h=6.6\times 10^{-34}\ {\rm J\cdot s}$$です。この発想のもとには、光子の持つエネルギー $E$ と、それら光子が寄り集まって構成する光の波としての振動数 $\nu $ との間のアインシュタインの関係式
$$E=h\nu $$があったものと考えられます。粒子はすべて時計のようなものであって、観測者 $K_0$ にとって毎秒
$$\nu _0={{m_0c^2}\over h}$$回振動しているというのです。
さてこの粒子が速さ $v$ で運動して見える観測者 $K$ にとっては、この粒子時計の振動数は
\begin{equation} \nu _1=\nu _0{\sqrt {1-\left( {v\over c}\right) ^2}}={{m_0c^2}\over h}{\sqrt {1-\left( {v\over c}\right) ^2}}\label{eq:nu1nosiki} \end{equation}です。何故ならば、『動く時計は遅れる』という特殊相対論による効果があって、粒子の上で（つまり $K_0$ にとって）時間 $\Delta t_0$ が経過する間に、$K$ にとって経過する時間を $\Delta t$ とすると
$$\Delta t={{\Delta t_0}\over {\sqrt{1-\left( {v\over c}\right) ^2}}}$$が成立するからです。
ところで一方、観測者 $K$ にとってのエネルギーを $E$ で、質量を $m$ で表せば
$$E=mc^2={{m_0c^2}\over {\sqrt {1-(v/c)^2}}}$$となります。『運動する物体の質量は増す』というのも相対論的効果であって、
$$m={{m_0}\over {\sqrt {1-(v/c)^2}}}$$となるからです。
ここでもう一度アインシュタインの関係式
$$E=h\nu $$を思い出します。これで決まる振動数 $\nu $ は、つまり
\begin{equation} \nu ={{m_0c^2}\over h}{1\over {\sqrt {1-\left( {v\over c}\right) ^2}}}\label{eq:nunosiki} \end{equation}は、内部時計の振動数
(\ref{eq:nu1nosiki}) 式 $$\nu _1={{m_0c^2}\over h}{\sqrt {1-\left( {v\over c}\right) ^2}}$$とは異なり、
\begin{equation} \nu ={{\nu _1}\over {1-(v/c) ^2}} \label{eq:nutoni1} \end{equation}の関係にあります。
そこで、観測者 $K$ から見て粒子と同じ方向へ伝わる何らかの波がこの粒子に付随している（随伴波、あるいは物質波と呼ばれる）として、その振動数が $\nu $ であるとします。波長を $\lambda $ として定在波
$$A\sin 2\pi \left( \nu t-{x\over {\lambda }}\right) $$を考えてみましょう。内部時計の振動は観測者 $K$ にとって
$$B\sin 2\pi \nu _1t$$と表されますが、ド・ブロイは『内部時計の位相 $\phi _1$ と随伴波の位相 $\phi $ は揃うべし』という条件を置きました。ここで、位相とは
$$\phi _1=\nu _1t, \hskip 2mm \phi =\nu t-{x\over {\lambda }}$$を意味します。時間 $\Delta t$ の間に $\phi _1$ は
$$\Delta \phi _1=\nu _1\Delta t$$だけ変化し、$\phi $ は
$$\Delta \phi =\nu \Delta t-{{v\Delta t}\over {\lambda }}=\Delta t\left( \nu -{v\over {\lambda }}\right) $$だけ変化します、よって、ド・ブロイが掲げた上の条件は
\begin{equation} \Delta \phi _1=\Delta \phi \label{eq:delphi1gadelph} \end{equation}を意味します。何故ならば、この条件が成立している時、ある時刻で二つの位相が一致していれば、すべての時刻で常に一致するからです。
(\ref{eq:delphi1gadelph}) 式は
$$\nu _1=\nu -{v\over {\lambda }}$$を意味しますが (\ref{eq:nu1nosiki}) 式
$$\nu _1={{m_0c^2}\over h}{\sqrt {1-\left( {v\over c}\right) ^2}}$$と、(\ref{eq:nunosiki}) 式
$$\nu ={{m_0c^2}\over h}{1\over {\sqrt {1-\left( {v\over c}\right) ^2}}}$$を代入し整理すると
$${1\over {\lambda }}={1\over h}{{m_0v}\over {\sqrt{1-(v/c)^2}}}$$となり、ここで
$${{m_0v}\over {\sqrt{1-(v/c)^2}}}=mv$$は、観測者 $K$ にとっての粒子の運動量ですから、これを $p$ と置くと
$${h\over {\lambda }}=p$$が得られます。
ド・ブロイの提案した随伴波の振動数 $\nu $ と波長 $\lambda $ は、従って、粒子のエネルギー $E$ と運動量 $p$ との間に
\begin{equation} E=h\nu , \hskip 2mm p=h/\lambda \label{eq:Einstein-eq} \end{equation}の関係を持つことになります。これはもちろんアインシュタインの関係式として既に知られていたものです、しかし、アインシュタインの場合は、この関係を光子以外の粒子、例えば電子などに当てはめることなど、一切考えていなかったのです。たとえば赤い光線の振動数はおおよそ $\nu =0.4\times 10^{15}\ {\rm s^{-1}}$、波長は $\lambda =8\times 10^{-7}\ {\rm m}$ です、従ってその光線は、 (\ref{eq:Einstein-eq}) によって決まる $E, p$ をエネルギーと運動量とする光子の流れとして振る舞う、という感じです。
ところが、電子については、あくまでも粒子として認識されていたのであって、波としての一面を見せるような実験結果、例えば干渉を示す現象などは、当時一切発見されていませんでした。そういう中でド・ブロイは、すべての物質粒子の運動に、そのエネルギーと運動量から (\ref{eq:Einstein-eq}) 式によって決まる振動数と波長をもつ波が随伴すると唱えたのです。
実はこのアイデイアを推し進めると、当時問題になっていたある現象が実に簡単に説明できることになります：
ド・ブロイがこの発想に到達した１９２３年の頃からは少しさかのぼりますが、１８８５年、スイスの中学校の先生であったバルマーという人がある重要な発見をしました。太陽光線をプリズムに通すと赤、橙、黄、緑、青、藍、紫に分かれることは、ニュートンが観測した１６６６年以来よく知られています。光を分光器に通すと、波長の順に並んだ成分（スペクトルと呼ぶ）に分解することができるのですが、
この図は水素原子から発せられる光のスペクトルを表す写真です。左から右へ徐々に波長の長いスペクトルの存在を示していて、間隔の狭まり方がいかにも意味ありげに見えます。この波長の並び方を数式によって表すことに初めて成功したのがバルマーでした。可視部にある４本のスペクトル $H_{\alpha }, H_{\beta }, H_{\gamma }$ そして $H_{\delta }$ の波長が
$${9\over 5}\lambda _0, \hskip 2mm {{16}\over {12}}\lambda _0, \hskip 2mm {{25}\over {21}}\lambda _0, \hskip 2mm {{36}\over {32}}\lambda _0$$但し、
\begin{equation} \lambda _0=3.6456\times 10^{-5}\ {\rm cm} \label{eq:lambda0} \end{equation}と表されることを発見し、更にこれらが
\begin{equation} \lambda ={{n^2}\over {n^2-4}}\lambda _0, \hskip 3mm n=3, 4, 5, 6 \label{eq:Balmer-siki} \end{equation}の形をしていることを見いだしたのです。更に波長の短い、写真の右の方に見られるスペクトルに対しても、更に大きな $n$ によってこの形で表せることが、後に確かめられました。
この表示を見て、『何か隠されていそうだ』と感じない人は、おそらくいないでしょう。水素の原子から発せられる光の分布である以上、その内部の構造、あるいはそこで起きている出来事に関する情報が含まれている可能性は十分にあります。当時、この情報を引き出すことは、物理学者にとって急務だったのです。
ド・ブロイを初め、ボーアのようなこの分野の研究者は、水素原子の中にある電子の運動を問題にしていました：その電子は原子核の回りを運動していると考えられます。ところが、実は電子は電荷を持っていて、マックスウェルの電磁気の理論によると、電荷を持つ粒子が円運動のような加速度運動をすると、必然的に電磁波の形でエネルギーを放出することになります。従って、原子内の電子も運動エネルギーを徐々に失い、その結果、核からの電気的な引力に引かれて軌道半径が短くなり、最後には核に落ち込んでしまうことになります。落ち込むまでの時間を電磁気理論に従って計算してみると、$10^{-11}$ 秒程度です。
つまり、ニュートン力学やマックスウェルの理論は、そのままでは原子内の電子に適用することができないと考えられます。しかし、かと言って、それらに代わる理論があるわけでもない、ド・ブロイが随伴波の理論を提案した１９２３年は、そんな時期でした。
この困難な状況を打ち破る手段が、自分の随伴波の理論にあると確信していたド・ブロイにとっては、電子の周回軌道の長さと、その電子に随伴する波の波長 $\lambda $ とは当然関連を持つべきでした。たとえば、軌道の中に波長が整数回入る時の電子は、そうでない時の電子と比べてより特筆すべき、より安定な状態のはずだと考えたのです。
図は、朝永振一郎著「量子力学」からコピーしましたが、左側が軌道内に波長の８倍がぴったり収まった状態、右の二つはそうでない中途半端な状態です。
ひとまず、電子は核を中心とする半径 $r$ の円軌道を周回していると仮定します。その上でニュートン力学によるエネルギー
\begin{equation} E={{p^2}\over {2m}}-{{e^2}\over r} \label{eq:densi-E} \end{equation}を考えます、第一項は運動エネルギー、マイナスも含めて第二項は位置エネルギーです。$p$ は運動量、$m$ は質量、$e^2$ は電荷の値から決まる定数です。もちろんニュートン力学がそのままでは適用できないことは分かっているのです、しかし真に基本的な事柄についてまで、その結果をすべて捨ててしまう必要があるとは、考えなかったのでしょう。なお、円運動の場合、ニュートンの運動方程式によれば
\begin{equation} {{p^2}\over m}={{e^2}\over r} \label{eq:p2jyou-e2jyou} \end{equation}であり、よって (\ref{eq:densi-E}) 式は
\begin{equation} E=-{{e^2}\over {2r}} \label{eq:densi-E-2} \end{equation}と書き換えることができます。
随伴波の波長 $\lambda $ が円軌道の長さ $2\pi r$ の中に整数回含まれるとすると
$${{2\pi r}\over {\lambda }}=n, \hskip 3mm n=1, 2, 3, \cdots $$です。一方で
$${1\over {\lambda }}={p\over h}$$ですから、
$$2\pi r{p\over h}=n$$であり、整理すると
$$p={h\over {2\pi r}}n$$です。(\ref{eq:p2jyou-e2jyou}) 式
$${{p^2}\over m}={{e^2}\over r}$$に代入すると
$${1\over m}{{h^2}\over {4\pi ^2r^2}}n^2={{e^2}\over r}$$となり、これより $r$ が $n$ によって書けて
$${1\over r}={{4\pi ^2me^2}\over {h^2}}{1\over {n^2}}$$です。これをエネルギーの表式 (\ref{eq:densi-E-2})
$$E=-{{e^2}\over {2r}}$$に代入して $E_n$ と置けば
\begin{equation} E_n=-{{2\pi ^2me^4}\over {h^2}}{1\over {n^2}}\hskip 3mm n=1, 2, 3, \cdots \label{eq:Ennohyousiki} \end{equation}が得られます。
水素原子の中で運動する電子は、このとびとびの値のエネルギーを取る時、この物理系に固有な安定状態にあるというわけです。両端を固定した弦をつまんで放すと、波長が弦の長さの整数分の２の状態で、安定した振動を繰り返すことによく似ています。なお (\ref{eq:Ennohyousiki}) 式に現れるマイナス記号は、この電子を核の電気的な束縛から解放して自由にしてやるには、エネルギーを注ぎ込む必要があることを意味しています。つまり無限大の遠方まで到達し得るエネルギーの値を基準値 $0$ として、そこから測った値です。ここから先で問題になるのは二つのエネルギーの間の差であって、よって基準をどこに定めるかは問題になりません。
さて、
$$E_1 < E_2 < E_3 < \cdots < E_n < \cdots \rightarrow 0$$ですが、電子は、異なった $n$ の間で時々、状態を変化させることがあると考えてみます。ド・ブロイは次のように学位論文の中で書いています（ジョルジュ・ロシャク著 宇田川博訳 「ルイ・ド・ブロイ 二十世紀物理学の貴公子」国文社から訳文を引用）；
- なぜある種の軌道が安定しているかはよくわかっているが、ある安定な軌道から別の安定な軌道への移行がどのようにして行われるかがまだわかっていない。この移行にともなう不安定状態を研究するためには、適切に改良された電磁気理論の助けを借りることが不可欠であろうが、われわれはまだそれを持っていないのである。 -
いつどんな仕組みで状態間の変化、移行が起きるかは、ド・ブロイにも説明できなかったのですが、とにかく安定な状態間での移行
$$E_n \rightarrow E_l \hskip 3mm n\not= l$$が起きるとしてみます。ここでは $n > l$ としてみます、つまりエネルギーの高い状態から低い状態への移行が起きたとするのです。すると、(\ref{eq:Ennohyousiki}) 式によれば
$$E_n-E_l={{2\pi ^2me^4}\over {h^2}}\left( {1\over {l^2}}-{1\over {n^2}}\right) $$だけのエネルギーが余ります。エネルギーは全体として保存し消えてなくなることはありません、従ってこれだけのエネルギーは何かの形で原子の外へ放出されると考えられます。一つの光子の形で放出されるとしてみましょう。すると、アインシュタインの関係式 (\ref{eq:Einstein-eq}) により
$$h\nu =E_n-E_l$$によって決まる $\nu $ を振動数とする光子が放出されることになります。つまり、このような状態間の移行がたくさんの原子において起き、たくさんの光子が流れを成し光として外に出ていく時、その波としての光の振動数がこの式によって決定されるのです。
従ってこの光の波長を $\lambda $ とすれば、
\begin{equation} \lambda ={c\over {\nu }}={{ch^3}\over {2\pi ^2me^4}}{{n^2l^2}\over {n^2-l^2}} \label{eq:lambda=cnu} \end{equation}でなくてはいけません。
ここで思い出すのは、バルマーの公式 (\ref{eq:Balmer-siki})
$$\lambda ={{n^2}\over {n^2-4}}\lambda _0, \hskip 3mm n=3, 4, 5, 6 $$です。ここで
$$\lambda _0=3.6456\times 10^{-5}\ {\rm cm}$$でした。(\ref{eq:lambda=cnu}) 式で $l=2$ と置きます。こう置くことによって (\ref{eq:lambda=cnu}) 式の最後の項の分母が $n^2-4$ となり、バルマーの公式の分数部分の分母と合わすことができるからです。従って、$n$ が $3$ 以上の $E_n$ から $E_2$ への状態の移行に伴う光の放出を考えることになるのですが、もし
$${{2ch^3}\over {\pi ^2me^4}}=\lambda _0$$が成立していれば、この状態の移行にともなって放出される光の波長は、バルマーの観測したスペクトルの波長にぴったり合致することになります。
ここで現れた定数の概算値は
$$c=3.0\times 10^8\ {\rm m\cdot s^{-1}}$$ $$h=6.6\times 10^{-34}\ {\rm J\cdot s},\hskip 3mm {\rm J}={\rm kg\cdot m^2\cdot s^{-2}}$$ $$m=9.1\times 10^{-31}\ {\rm kg}$$ $$e^2=2.3\times 10^{-28}\ {\rm kg\cdot m^3\cdot s^{-2}}$$であり、これらを代入すれば
$${{2ch^3}\over {\pi ^2me^4}}=3.6343\times 10^{-7}\ {\rm m}$$が得られます。これは $\lambda _0$ の実測値 (\ref{eq:lambda0})
$$\lambda _0=3.6456\times 10^{-5}\ {\rm cm}$$と計則誤差と計算誤差の範囲内であっていると見るべきでしょう。なお、後になって、もっと広い波長の範囲で水素原子からの光のスペクトルを調べてみると、バルマーの観測したもの以外のものが見つかりました。それらもすべて、$E_n$ の間での移行による光子の放出という立場から、説明できることがわかっています。
学位論文の結論をド・ブロイは次の文章で終えています：
- 従って本理論は、むしろ一つの形式と捉えられるべきなのであって、その物理的内容は、すでに決定的にまとめあげられた均質な学説として完全に明確化されているわけではないのである。-
実際この後、シュレデインガーによる波動力学の展開が続きます。
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