実際の電子は三次元空間の中を運動していますから、新しい力学も三次元空間を舞台とするものを探すべきですが、できるだけ推論が容易な状況を設定し、無駄な複雑さを避けるために、当面一次元の数直線上で考えます。その座標を $x$ で示すことにして、ある位置 $x=X$ の付近に存在する粒子を表す方法としてすぐに思いつくのは、$x=X$ でピークを持つ山形の関数ではないかと思います。その関数を $\psi (x)$ （「プサイエックス」と読む）で表すなら、$\psi (x)$ の値の大小によって、点 $x$ に粒子が存在する可能性の大小を表すという発想です。
もちろんこの時点ではまだ、$\psi (x)$ が物理的に何を意味するのか判然としません。この発想でうまくいくとしても、推論を進めるにつれて徐々にその意味が明らかになっていく類のものだとするべきでしょう。$\psi (x)$ が $x$ に粒子が存在する「可能性」を表すと、とりあえず書きましたが、この点についてもおそらく修正が必要になると思われます。とにかくまず、存在域が $\delta x$ の不確定性を持って広がっていることを表現するために、ある平均の位置 $X$ の回りで広がりを持つ関数 $\psi (x)$ を用いてみようというわけです。
ただ、さっそく修正ですが、関数と言えば普通、正の値や負の値を取ります。しかし、粒子の存在の可能性と言えば、正の値で表すのが普通です、よって、正負になり得る $\psi (x)$ の値では「可能性」にすぐ結びつけるのは少し無理があります。どうしても、正の値を取り出す方法が必要です。
$$\vert \psi (x)\vert , \hskip 3mm \psi (x)^2$$のいずれかが最も簡単だと思えますが、後者の方が扱い安く思えます、もし不都合が生じればもう片方を考えることにして、一応後者で進みます。
$\psi (x)^2$ が座標点 $x$ に粒子が存在する可能性を表すと考えるのですが、実はこの言い方は不正確です。何故なら一点に粒子が存在する可能性は $0$ のはずだからです。そのような確定した状態はないというのが、最初に置いた条件でした。そこで、ある小さな区間 $[x, x+\Delta x]$ 内に粒子が存在する可能性を考えることにします。この可能性は微小量 $\Delta x$ の値によって変わるはずですが、$\Delta x$ の二次以上に依存する部分を無視して一次に依存する部分だけ取り出し、その係数が $\psi (x)^2$ であると考えます。つまり、この微小区間内に粒子が存在する可能性の値を、$\Delta x$ に関してべき級数に展開する時の一次部分が $\psi (x)^2\Delta x$ で表される、と考えるのです。
何故二次以上を無視して差し支えないのかは、たとえば、『粒子は必ずどこかに居る』ことをこの関数を使って表現してみると大体感触として納得できます：粒子が $[a, b]$ 区間内のどこかに居るとします。そこでその区間を細かく分割し分点を $n$ 個設けて
$$a=x_0 < x_1 < x_2 < \cdots < x_n=b$$とします。すると各区間 $[x_{j-1}, x_j]$ 内に存在する可能性は、$x_j-x_{j-1}$ の二次以上を無視するなら、
$$\psi (x_{j-1})^2(x_j-x_{j-1})$$で表されます。
粒子は $[a, b]$ 内のどこかに居る、つまりその可能性は $1$ です。よって
\begin{equation} \sum _{j=1}^n\psi (x_{j-1})^2(x_j-x_{j-1}) + (無視した部分) =1 \label{eq:dokokaniiru} \end{equation}のはずです（最後のイコールは厳密な意味の等号です）。ここで分点の個数 $n$ は何でもいいですから、どんどん大きくすることを考えます。考えやすいように、分点は $n$ 等分で入れたとします。すると
$$x_j-x_{j-1}={{b-a}\over n}$$です。よって (\ref{eq:dokokaniiru}) 式の（無視した部分)は、各 $j$ について
$${1\over {n^2}}$$以上のべきからなりますが、それにかかる係数は有限の大きさだと考えられますから（そう考えることにして）、それらの $n$ 個の和は
$${1\over {n^2}}\times n={1\over n}$$程度の大きさです。従って $n$ を大きくする極限で $0$ になり、結局最初のシグマだけが残ります。つまり
$$\lim _{n\rightarrow \infty }\sum _{j=1}^n\psi (x_{j-1})^2(x_j-x_{j-1}) =1$$なのです。もちろんこの極限値は積分の定義であり、よって
$$\int _a^b\psi (x)^2dx=1$$が得られます（もう一度強調します、積分に関して誤解を避けるためですが、最後のイコールは厳密な意味の等号であって、近似式ではありません）。
微小区間内に粒子が存在する可能性について、区間の幅の一次に比例する部分だけを取り出し二次以上を無視してよかったのは、少なくとも上の計算では、取り入れても無駄だからです。これから行う分析では、いつでも同じ事情が成り立つのですが、でもやはり『二次以上は無視している』という意識はどこかに持っている方が良いと思います。
粒子の存在の範囲を有限区間 $[a, b]$ に限定して上の計算をしましたが、一般には無限区間 $(-\infty , \infty )$ のどこかに居るのですから
$$\int _{-\infty }^{\infty }\psi (x)^2dx=1$$と書いておくのが妥当でしょう。
さて次に、粒子の平均の位置を $\psi (x)$ を使って表すことを考えます：まず「平均」について復習しておきます。たとえば「$2$ と $3$ の平均」はと聞かれれば
$${{2+3}\over 2}$$と誰でも答えます。「$2, 3, 4$ の平均は」なら
$${{2+3+4}\over 3}$$です。しかしこの時、暗黙の裡に『すべての数が対等である（同じ機会で現れる）』ことを前提にしています。たとえば、九本ははずれで賞金が一万円だが、一本はあたりで賞金が百万円のくじを考えます。この十本のくじを十人の人が引く時、賞金額の平均を
$${{1万円 + 100万円}\over 2}=505,000 円$$と計算するのは、ちょっとおかしいでしょう。十人の内九人までが一万円しか受け取らないことが、うまく反映していないと思えるからです。代わりに、
$$1万円\times {1\over {10}}\times 9 + 100万円\times {1\over {10}}=109,000円$$の方が良さそうです。
つまり、いくつかの値の平均は、『その値にその値が出現する可能性をかけて和を取る』ことによって、一般には得られると考えられます。この考え方で粒子の平均の位置を計算してみます。
もう一度、先ほどの有限区間 $[a, b]$ の分割を使います。区間 $[x_{j-1}, x_j]$ 内に粒子が存在する可能性は
$$\psi (x_{j-1})^2(x_j-x_{j-1})$$であり、その粒子の位置は $x_{j-1}$ と考えれば、全体での位置の平均は
$$\sum _{j=1}^nx_{j-1}\times \psi (x_{j-1})^2(x_j-x_{j-1})$$です。但し小区間の幅の二次以上からなる誤差を無視した上で、です。小区間での粒子の位置を $x_{j-1}$ で考えましたが、$x_j$ とかあるいはどこか途中の点と考えたとしても、差は上記の誤差に含まれてしまいますから、$n$ を大きくする以上、何の問題もありません。よって積分値
$$\int _a^bx\psi (x)^2dx$$が全体での粒子の位置の平均値です。これを以下では
$$\langle x\rangle $$の記号で表します。結局
$$\langle x\rangle =\int _{-\infty }^{\infty }x\psi (x)^2dx$$が得られました。
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