ニュートン力学では粒子の位置と速度（従って運動量も）は、その時々で確定するものとして扱います。観測データに不確かさが含まれる場合もあるでしょうが、基本的には確定し得るものと考えます。そのニュートン力学に、ド・ブロイの随伴波のアイデイアを付け加えて考察した結果、次の３個の積
$$\delta x\delta p_x, \hskip 2mm \delta y\delta p_y, \hskip 2mm \delta z\delta p_z$$がすべて $h/2\pi $ 以上であるという条件が、電子が原子核に落ち込んで一体化してしまうことを禁じる、つまり原子の崩壊を避ける道を含意していそうだ、という暗示を得ることができました。ここまでが前回までの内容です。
この導出過程での $\delta x$ や $\delta p_x$ は、あくまでもニュートン力学で考える円運動での平均位置や平均運動量からのずれでした。しかしわれわれはそこには捕らわれず、さしあたり、『粒子の位置や運動量にはどうしても避けられない、何らかの意味の本質的な不確定性 $\delta x$ や $\delta p_x$ などが存在して、かつ、それらの間に件の不等式が成り立つ』力学を探す、と言う立場を取りましょう。片方だけなら任意に小さくできる、しかし両方を小さくすることには制限が付くという条件です。とにかく何とかして、原子の崩壊を禁じる力学を見いだしたいのです。
『従来の常識（ニュートン力学）ではそんな不等式は考えなかったぞ。新しい力学を案出するにしても、ニュートン力学の拡張、あるいは精密化であるべきであって、それに矛盾してはいけないはずだ』という不服が、もちろんやっぱり聞こえてきそうです。その辺の理解のために、仮に１グラムの物体に対して上記の不等式を適用し、それが何を意味するか、計算してみます：以前ボーア半径
$$r_B={{h^2}\over {4\pi ^2me^2}}=5.3\times 10^{-11}\ {\rm m}$$が原子の大体の大きさであることを紹介しましたが、$\delta x$ としてこの大きさを採用し
$$\delta x=r_B$$と置いてみます。プランク定数 $h$ は
$$h=6.6\times 10^{-34}\ {\rm kg\cdot m^2\cdot s^{-1}}$$ですから、従って不等式
$$\delta x\delta p_x\geq {h\over {2\pi }}$$は
\begin{eqnarray*} \delta p_x&\geq &{h\over {2\pi \delta x}}\\ &=&{{6.6\times 10^{-34}\ {\rm kg\cdot m^2\cdot s^{-1}}}\over {2\pi \times 5.3\times 10^{-11}\ {\rm m}}}\\ &=&2.0\times 10^{-24}\ {\rm kg\cdot m\cdot s^{-1}} \end{eqnarray*}です。運動量は質量×速度ですから、速度の $x$ 成分の平均値からの偏差を $\delta v_x$ で表せば、
$$\delta p_x=m\delta v_x$$と書けます。
$$m=1\ {\rm g}=10^{-3}\ {\rm kg}$$としましたから、よって
$$\delta v_x\geq 2.0\times 10^{-21}\ {\rm m\cdot s^{-1}}$$です。
つまり、この粒子の速度の不確定さは、秒速で $10^{-21}$ メートル程度、あるいはそれを少し上回る程度だと考えられます。ところでこの宇宙が誕生してから現在まで、１３７億年が過ぎたと信じられています。この時間がわれわれにとって最も長い時間です、これは秒で数えれば
$$137\times 10^8\times 365\times 24\times 60\times 60=4.3\times 10^{17} \ {\rm s}$$です。よって上で求めた秒速 $10^{-21}$ メートルで運動する物体を、宇宙開闢以来じっと見ていたとして、どれだけ移動するかというと
$$10^{-21}\times 10^{17}\ {\rm m}=10^{-4}\ {\rm m}=0.1\ {\rm mm}$$です。
ある大きさの不確定性 $\delta x$ を位置に関してもつ物体がある時、件の不等式が成り立つことから、速度に関する不確定性 $\delta v_x$ が生じます。その速度の不確定性は、粒子の存在域を外側へ向かって広げる傾向を、一般的には生み出すでしょう。上の計算で分かったことは、もし１グラムの物体であるなら、その広がりの度合いは、１３７億年見ていて、$0.1$ ミリメートルの程度だということです（$\delta x=r_B$ としてのことですが）。これを大きいと見るか小さいと見るかはしばらく置くとして、
一方、電子に対して件の不等式を適用し、それから何が導かれるかを計算してみます。電子の質量は
$$m_e=9.1\times 10^{-31}\ {\rm kg}$$です。この場合も
$$\delta x=r_B$$として $\delta v_x$ を計算すると
\begin{eqnarray*} \delta v_x&\geq &{h\over {2\pi m_e\delta x}}\\ &=&{{6.6\times 10^{-34}\ {\rm kg\cdot m^2\cdot s^{-1}}}\over {2\pi \times 5.3\times 10^{-11}\ {\rm m}\times 9.1\times 10^{-31}\ {\rm kg}}}\\ &=&2.2\times 10^6\ {\rm m\cdot s^{-1}}=2.2\times 10^3\ {\rm km\cdot s^{-1}} \end{eqnarray*}です。つまり、この $\delta v_x$ で運動する粒子は、１秒間で、北海道から九州あたりまでを移動することになります。つまり、電子の存在域の広がり方は、こういう大きさの広がり方です。
最初に考えた質量１グラムの物体は、われわれが普通に扱う巨視的な物体の代表例として考えました。ちなみに一円硬貨がちょうど１グラムです。ニュートン力学を使ってわれわれが問題にしてきた物体は、そういう巨視的な、例えば石ころとか、あるいは月とか惑星であって、１３７億年で $0.1$ ミリ存在域の不確定度が増すことがあったとしても、そのことを云々する意味はない、少なくとも物理的にはない、そういう物体です。つまり、件の不等式が本当は成り立っていたとしても、それを無視して理論を組み立てる方が実り多い適用範囲の理論であったと考えられます。
しかし電子の場合はそうはいきません。一秒で何千キロもの効果を生み出す原因に目をつむることは賢明ではないでしょう。
ただしかし、ここまで読んで大笑いする人があるはずです。何故なら、『一秒で電子が半径何千キロもの物体に膨らむ、あるいは、その存在域の不確定さがそんな広範囲に広がる、などという馬鹿げた理論を考えるつもりか』という疑問がすぐ浮かぶからです。確かにそうです。でも、すぐにあらゆることを解決するのは無理です、まず、ド・ブロイの与えてくれた手掛かりを大事にして、一歩一歩進んでみて、それでもこの疑問が残るようであれば、それに真剣に取り組むことにしましょう。
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