水素原子の中の電子が原子核からの電気的な引力のもとでニュートンの運動法則に従って円運動をしているとし、かつ、軌道の全長が、電子に随伴する波の波長の整数倍にぴったり一致するとするなら、その軌道半径が
$$r_n={{h^2}\over {4\pi ^2me^2}}n^2=5.3\times 10^{-11}\times n^2\ {\rm m}$$であり、エネルギー（運動 $+$ 位置）が
$$E_n=-{{2\pi ^2me^4}\over {h^2}}{1\over {n^2}}\hskip 3mm n=1, 2, 3, \cdots $$で表されることは前回見ました。
更に、$n > l$ なる $n, l$ について、$E_n$ の状態から $E_l$ の状態への移行（遷移）が起きる時があり、その時、余ったエネルギーが光子の形で放出されるとするなら、水素原子から実際に飛び出てくる光（電磁波）のスペクトルが見事に説明できます。バルマーによって見い出されたスペクトルは、$n=3, 4, \cdots $ なる $E_n$ から $E_2$ への遷移に対応していましたが、$n=2, 3, \cdots $ なる $E_n$ から $E_1$ への遷移に対応するスペクトルの存在も確かめられています。そして、これもまた非常に大事なことですが、実際に観測されるスペクトルはすべて、$E_n$ 間のこのような遷移に対応しているのです。従って、水素原子内の電子に許される運動状態は、$n=1, 2, \cdots $ で指定されるとびとびの離散的な状態のみであり、特に、$E_1$ よりも小さなエネルギーを持つ状態に落ち込むことはない、言い換えれば、$r_1$ より小さな半径で運動することはないと言えます。
理論の結果と観測の結果のこの著しい一致は、立派な粒々の粒子だと考えられてきた電子にも、波動的な側面があることを強力に証拠づけたのです。
この奇妙な状況を、少しでも具体的に理解したいので、たとえば電子に付随する波の波長がどの程度かを求めてみましょう：上で求めた円運動の軌道の長さが波長の整数倍ということでしたから、最も短い半径 $r_1$ の $2\pi $ 倍を波長の大体の長さと見ることができます。
$$r_B=r_1={{h^2}\over {4\pi ^2me^2}}=5.3\times 10^{-11}\ {\rm m}$$は「ボーア半径」と呼ばれ、原子の大体のサイズを示すものと考えられていますが、
$$2\pi r_B=3.3\times 10^{-10}\ {\rm m}$$です。可視光線の内最も長い赤色の波長がおおよそ
$$7.0\times 10^{-7}\ {\rm m}$$で、最も短い紫色の波長が
$$4.2\times 10^{-7}\ {\rm m}$$程度ですから、従って電子の随伴波の波長は可視光線の波長の大体 $10^{-3}$ 倍、つまり千分の一倍程度です。ちなみに、レントゲン撮影に用いられる $X$ 線の波長域は
$$10^{-12}\ {\rm m} から 10^{-8}\ {\rm m}$$ですから、つまり水素原子内の電子に随伴する波の波長は $X$ 線の波長域に属すると言えます。
アインシュタインは、波動として理解されてきた光が、粒子としての特性をも持つことを明らかにし、逆に、ド・ブロイは、粒子として理解されてきた電子が、波動的な側面を持つことを証拠づけました。従って、アインシュタインが光について見い出した関係式
$$E=h\nu , \hskip 3mm p=h/\lambda $$の、より広い範囲への普遍性を主張したことになります。そうなると勿論、随伴波は電子のみならずすべての物質、たとえば子どもたちが遊ぶキャッチボールのボールにさえ随伴していると考えねばなりません。試しに、$100$ グラムのボールを毎秒 $10$ メートルの速さで投げる時の随伴波の波長を上の関係式を使って計算してみましょう：
$$\lambda ={h\over p}={{6.6\times 10^{-34}\ {\rm kg\cdot m^2\cdot s^{-1}}}\over {10^{-1}\ {\rm kg}\times 10\ {\rm m\cdot s^{-1}}}}=6.6\times 10^{-34}\ {\rm m}$$です。この長さは一つの原子の大体の大きさであるボーア半径
$$r_B=5.3\times 10^{-11}\ {\rm m}$$の $10^{-23}$ 倍、つまり十億分の一倍を二回繰り返してもまだ足りない程の小ささです。つまり、小さな原子でさえ、この波の山と谷が $10^{23}$ 個繰り返し現れる範囲に広がっているのです。従って、われわれが利用可能などんな測定器でも、波の存在を見いだすこと、つまり、山と谷の効果を分離して見分けることは、不可能だと考えられます。測定器にのみならず、このような波の痕跡が自然界に残るとしても、膨大な個数の山と谷の効果は平均化され、相殺されて、限りなく $0$ に近いものになるでしょう。身の回りの物質が波動的側面を持つことなど、われわれ露ほども感じませんが、その理由はこの辺にあると思われます。
閑話休題、ド・ブロイの随伴波のアイデイアは、水素原子が放出する光のスペクトルをうまく説明できたのですが、ただ同時に、たくさんの疑問が一方で生じることも確かです：第一に、先に述べたように、マックスウェルの電磁気の理論によれば、電荷を持つ粒子が円運動のような加速度運動をすると必然的にエネルギーを電磁波の形で放出し、その結果運動エネルギーを徐々に失い、核との距離がどんどん短くなって、最終的に核に落ち込むことになります。つまり円運動の半径は電子が回転するにつれて限りなく $0$ に近くなるはずなのです。ところがド・ブロイによれば、$E_1$ がエネルギー最低の状態であって、これ以上低いエネルギーはない、つまり電子は $r_1$ より原子核に近づけないことになります。これを禁止している事情はどこにあるのでしょうか。ただ単に、『マックスウェルの理論を原子内の電子に適用することはできない』として、おおまかに片づけるのではなく、もう少し直接的な事情を見いだせないものでしょうか：
とびとびの半径 $r_n$ を導いた推論をもう一度復習してみます。随伴波の波長 $\lambda $ が円軌道の長さ $2\pi r$ の中に整数回含まれるとすれば
$${{2\pi r}\over {\lambda }}=n, \hskip 3mm n=1, 2, 3, \cdots $$ですが、これをアインシュタイン-ド・ブロイの関係式
$${1\over {\lambda }}={p\over h}$$によって書き換えると
\begin{equation} rp={h\over {2\pi }}n \label{eq:rpgahbarn} \end{equation}が得られます。これを、ニュートンの運動法則を半径 $r$ の円運動に適用して得られる
$${{p^2}\over m}={{e^2}\over r}$$式に代入し $p$ を消去して
$$r_n={{h^2}\over {4\pi ^2me^2}}n^2=5.3\times 10^{-11}\times n^2\ {\rm m}$$が得られたのです。
従って、$r_n$ を生み出す上で本質的な役割を演じたのは (\ref{eq:rpgahbarn}) 式
$$rp={h\over {2\pi }}n$$です。$n$ が少し目障りなのでこれを省略して
\begin{equation} rp\geq {h\over {2\pi }} \label{eq:rpgah2pai} \end{equation}を考えましょう。
この不等式は、$r$ と $p$ の積が任意に小さくはなり得ないこと、言い換えれば、『小さな半径の円運動に電子を閉じ込めると、必然的に運動量が、従って速さが大きくなる』ことを示しています。速さが増せば、外に広がろうとする傾向が増し、当然半径が増すことになります。よって、任意に小さな半径の円運動をすることはできず、どこかに限界が生じるはずです。その限界が $r_1$ であると考えられます。
ニュートン力学の法則の範囲内では、任意に小さな半径の円運動が可能です。半径 $r$ と運動量 $p$ は基本的には独立であって、それらの積は任意に小さくなり得るものであり、 (\ref{eq:rpgah2pai}) 式
$$rp\geq {h\over {2\pi }}$$のような制約はありません。ニュートン力学が電子の運動にそのまま適用できない主要な原因は、この辺にありそうです。新しい力学は、この点を改良したものになると考えられます。
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