何故物理を持ち込むのか？ (2023年11月23日)
- 先日、長野県の野沢温泉へ、三年前に急逝した友人の墓参りに出かけたのですが、のどかな風景の中のある駅のベンチで、連れの一人と光子の偏極の話になりました。内積がどうして確率に結び付くのか、というのです。『実験と合うから』というのが理由かもしれないが、それでは納得しがたい、という気持ちが、ありありと浮かんだ表情でした。そもそも何故、数学教育に物理など持ち込むのか、数学は数学だけで十分楽しい、という気持ちを持っていることは昔から知っていましたが、そういう気持ちの持ち主は、数学の先生などにはかなり多く見られ、『数学教師のための云々』と銘打っている以上、ちゃんと理由付けしておく必要が私にもあります。-
人の精神活動としての数学の位置づけは、おそらく非常に多岐にわたります。一つの典型は数学者岡潔が体現した世界です。岡潔は多変数複素関数論と呼ばれる数学の一分野で幾つかの難問を解決し、その地平を押し広げる仕事をしました。純然たる数学の世界です。
もう一つの典型は、ガリレイの言った『自然という書物は数学の言葉で書かれている』が示唆しているように、その言葉の力を自然の理解に役立てる可能性の追求です。たとえば、一度書いたことなので「またか！」と思われるかもしれませんが、アインシュタインの「等価原理」について考えてみます。物体は何であれ、大きなものも小さなものも、その組成、形状に関係なく、同じ高さから同時に手放せば、同時に床を打つ、という事実のことです。いつでも誰でも、簡単に確かめることができます。すべてのものが、重力の影響だけを受けて運動する限り、初期の位置と速度が同じでありさえすれば、その後いつでも同じ位置にいる、というこの原理は、時間と空間が成す四次元の時空間には、個々の物体の属性を離れた、もっと基本的なレベルによって決定される、特別な経路が存在することを意味します。いわば、時空間自体の幾何学的な特性が決める経路の可能性です。ただし、ここで「時空間」と言う場合、各出来事、例えばある粒子と別の粒子が衝突するとか、何かが爆発するとか、そういった各出来事を、その内容をすべて無視し「いつ、どこで、起きたか」だけに着目し一つの点とみなします。そのような点の全体を「時空間」と呼びます。
この状況に遭遇すると、幾何学をかじったことのある人ならおそらく誰でも、大圏航路のことを想い浮かべます：東京からニューヨークへ直行で飛ぶ場合、大圏航路と呼ばれる経路を飛びます。どんな飛行機でもそうですし、もし仮に途中に陸地がなくて船で行けるのであれば、船もやはりそうします。地球の中心を通る平面が地球の表面と交わる曲線のことで、測地線と呼ばれますが、地球上の二点を結ぶ最短の経路だからです。小学生の頃、学校のグラウンドに石灰の粉で直線を引いたことのある人なら覚えているはずですが、石灰の入った小箱の両脇に車輪のついたあの道具は、平らなグラウンドのみならず、起伏のある曲面上でも使えて、測地線を描くことができます。いわゆる「直線」を、任意の曲面上で描くことができるのです。
地球の表面が代表する曲面は、動きの自由度が縦と横に限られるという意味で二次元の幾何学的対象ですが、二点間の距離を定めてそれに関する幾何学を展開することは、二次元に限られることではなく、もっと高次元の点集合上でも可能なことです。等価原理の重要性をアインシュタインが認識した二十世紀初頭の時点で既に、この種の幾何学はガウスやリーマンといった幾何学者によって探求され完成されていました。四次元の時空間に何らかの距離を定め、それに関する測地線と、万物がたどる経路を結び付けるという発想は、こうして生まれました。類まれな天才的な発想であることは確かです、しかし - 優れた発想を後からたどる者が常に感じることですが - 実に無理のない、非常に自然なものに感じられます。
ここで私が強調したいのは、リーマン幾何学という数学的な言葉の有効さ、推論を押し進める力です。最初の発想から諸々の結論を引き出すのに、アインシュタインはこの幾何学を使いましたが、途中の道はほとんど一本道であったと思います。普通の言葉とは違って、数学という言葉は、この意味での必然性を備えています：屋根から落ちたうっかり者の大工さんがいて、『落ちていく途中、重力はまったく感じなかった』とアインシュタインに話したそうです。現代のわれわれは、そんな大工さんに頼るまでもなく、時々放映される宇宙ステーションからの中継で、そのことを確信できます。宇宙飛行士たちの目の前の物体はすべて、彼らが力を加えたり、壁や機器などに衝突しない限り、彼らにとって静止、あるいは等速直線運動をします。つまり、彼らは窓から外を見ない限り、地球の重力圏にいるのか、遠く離れた宇宙を漂っているのか、区別できないのです。彼らが測地線をたどっている限り、地球の重力は感じようがない、検知しようがないことを、あの中継画像は教えてくれているのです。
では、われわれが常に感じている重力は何なのか？測地線から外れた運動をしているからだと考えざるを得ないでしょう。車を運転していてまっすぐな道を一定の速さで進んでいる場合、力らしいものは何も感じません。しかし、ひとたび、ブレーキをかけたり、あるいはハンドルを左右に切ると、座席に置いたかばんやテイッシュの箱は動き出します、「慣性力」と呼ばれる見かけの力が現れるのです。重力も、測地線から外れて運動すると生じるのですから、そっくりです。
とすると、時空間の中でいかなる経路が測地線なのかということの中に、物体に働く重力がいかなるものなのかという情報が、すべて含まれていることになります。測地線は二点を結ぶ最短の経路です、従って、時空間内の二点間の距離が、重力についての情報をすべて含んでいることになります。この情報を実際に引き出してみると、たとえば、光さえも閉じ込めて、何も外に漏らさない領域が、この宇宙空間に存在し得ることがわかります。つまりブラックホールですが、最近ではその写真までもが撮影されています。
よく知られたニュートンの理論では、『任意の二つの物体の間に、それらの質量の積に比例し、距離の二乗に反比例する引力が働く』という言い方で重力を記述します。アインシュタインの幾何学的方法はニュートンの方法と比べて適用範囲がより広いことが、実証されています。水星は太陽系の最も内側を回る惑星ですが、ニュートンの理論では説明できない動きをすることが古くから知られていました。時空間における幾何学を用いると、その動きも説明できます、つまりより重力の強い領域で機能するのは、アインシュタインの考え方だということです。
こういう進歩をもたらしたのが、誰でも簡単に確かめることのできる、しかし深い内容を持つ「等価原理」と、その上に積み重ねられた数学的な論理である、というのは、実に味わい深いことではないですか。岡潔の世界も味わい深いものがあります、人の心に静けさをもたらしてくれます。数学の言葉で書かれた自然という書物も、同じ意味で賞味すべき内容を持っていて、優れた教育素材が含まれ、子どもたちの教育に生かされるのを待っていると私は思うのです。ものごとを深く見て、かつ、正確な推論を重ねる姿勢を学ぶことは、きっと、人生に大きな喜びをもたらします。
等価原理とその上にアインシュタインが築いたほどの壮大さには負けますが、偏光板を何枚かと方解石の結晶を用意し、それらを用いてちょっとした実験をするだけで確かめることのできる事実と、ベクトルの理論を用いた無理のない自然な数学的推論、それに少しだけ忍耐の必要な計算を加えるだけで、この世界の原子の構造が理解できるようになります。こんな素材は教育者がほっておくべきものではないでしょう。「ベクトルを用いた自然な推論」として、次のものでどうでしょうか、ほんのさわりを紹介します：
図は、これまで何度か登場した方解石の結晶を用いた実験の様子である。
二つの長方形はそれぞれ方解石の結晶を表すが、右側の結晶は左側の結晶を裏返した関係にある。この装置の左側に偏光板を置いて、その向きに偏った光を左側の結晶に入れると、複屈折の現象により二つの経路に分かれるが、分かれた光は互いに直交する方向に偏っている。その方向を、水平（$x$ 軸方向）と垂直（$y$ 軸方向）としよう。更にこれを右側の結晶に通すと、二つの経路が再びまとまって一つになるが、もとの偏光板から出てきた光の状態が再現される。最初の偏光板をどう回転してもである。これは簡単に確かめることができる、二つ目の結晶から出てきた光をもう一度偏光板に通して見ればよい。その偏光板の軸の向きが最初の偏光板の向きと一致している時最も明るくなって、明るさが減じることはほとんどないが、そこから９０度回転した方向にある時真っ暗になるからである。
これはつまり、任意の方向に偏っている光は、相直交する方向に偏る二つの光に分解でき、更にまた、それら二つの光を混ぜ合わせて、任意の方向に偏る光を作り出せることを意味する。光の偏りの方向をアルファベットの $a, b, c$ などで表すとする。これらの方向は、光の進行方向に直交する平面上の方向だから、それぞれ平面ベクトルで表すことはごく自然な発想であろう。ただここで、注意すべきことが一つある：まず光の偏りの方向は、偏光板の表面に描かれている「透過軸」が両端に矢のついた線分で表されているように、一本の直線で表される。一方でベクトルは、方向と長さを表す概念である。つまり光の偏りの方向を表すベクトルは無数にある。そこで、直線で表される方向にただ一つのベクトルを対応させるために長さが $1$ のベクトルを選ぶと約束する。ただそれでも二通りある、一つのベクトルとその逆向きのベクトル、つまりマイナス倍のベクトルである。よって、長さが $1$ であるベクトルとそのマイナス倍のベクトルとは、共に同じ偏りの方向を表すと約束する必要がある。
$x$ 軸と $y$ 軸の方向をそれぞれ $b, b'$ で表せば、それぞれの方向はベクトル
$$\pm \pmatrix{ 1 \cr 0}, \hskip 3mm \pm \pmatrix{ 0 \cr 1}$$で表される。ここではプラス記号を取ることにして、それぞれの方向をベクトルと同一視してしまい
$$b=\pmatrix{ 1 \cr 0}, \hskip 3mm b'=\pmatrix{ 0 \cr 1}$$と書き表そう。
ベクトル $a$ の方向に偏った光が、$b$ の方向とそれに直交する $b'$ の方向に偏るふたつの光に分解される時、双方に分配される光の強さの割合、明るさの割合はいかほどか、という問いをまず考えてみたい：見当を付けるために具体例を考える。$a$ は $x$ 軸の正の方向から $y$ 軸の正の方向へ４５度回転した方向とする。ベクトルで表せば（長さが $1$ と約束したので）
$$a={1\over {\sqrt 2}}\pmatrix{ 1 \cr 1}$$であるが、また
\begin{equation} a={1\over {\sqrt 2}}b+{1\over {\sqrt 2}}b' \label{eq:anobbdashte} \end{equation}とも書ける。一方で、対称性から判断して、$a$ 方向に偏る光はちょうど半々の割合で、$b$ と $b'$ 方向に偏る光に分解されると見るべきだろう。その対称性は (\ref{eq:anobbdashte}) 式において $b, b'$ の係数が等しいことに現れている。更にこれらの係数は二乗すればちょうど $1/2$ になる。
一般の方向 $a$ について、それをベクトルとみなす時
$$a=(a, b)b+(a, b')b'$$と書ける。但し、$( \cdot , \cdot )$ はベクトルの間の内積を表す。$b$ と $b'$ の方向に偏って出てくる光の強度は、入射光のそれの、それぞれ $(a, b)^2$ 倍と $(a, b')^2$ 倍であることが、上の具体例から予想される。ただこの予想は、
\begin{equation} (a, b)^2+(a, b')^2=1 \label{eq:ab2+abdash2ga1} \end{equation}が成り立たないと真実味が失われる。しかし、
$$(b, b)=(b, b')=1, \hskip 2mm (b, b')=0$$であること、及び $(a, a)=1$ から (\ref{eq:ab2+abdash2ga1}) を証明できる。
(\ref{eq:ab2+abdash2ga1}) 式はつまり、任意の $a$ の方向に偏った光が図の第一の結晶に入射すると、$(a, b)^2$ の割合分が $b$ に偏った光として、$(a, b')^2$ の分が $b'$ の方向に偏った光として、それぞれ結晶の右に出てくることを、強く示唆している。特に、$a=b$ であれば $b'$ 方向に偏った光は一切出てこない、すべて $b$ に偏った光として出てくる。$a=b'$ の場合も同様であり、結晶と偏光板があれば簡単に確認できる。
少々蛇足のきらいがあるが、注意を一点：ベクトル $a$ について、$\pm a$ は、光の偏りの方向としては同じ方向を表す。従って、どちらの符合を用いても、結果に影響しない仕組みになってないと困る。確かに
$$(-a, b)^2=(a, b)^2$$なのでこの件は大丈夫である。$\pm b, \pm b'$ についても同様である。
$a$ が $b$ でも $b'$ でもない場合、上の予想を正確に確かめることは測定器を必要とするけれども、大体当てっていそうだという感触は次のようにすれば得られる：方解石の結晶は光線を二つに分けるが、一枚の偏光板は一方を通し、他方を吸収して（偏光板を少し温めることになる）通さない働きをすると考えられる。よって、$b$ の方向に偏った光が出てくる偏光板に、偏りの方向が $a$ の光を入射すると、入射光の明るさの
$$(a, b)^2=\cos ^2\theta $$倍だけに減じた光が出てくると予想される。但しここで、$\theta $ は $a$ と $b$ のなす角度とする。この予想が当たっていそうだと感触を得るには、偏光板を通してパソコンの画面を見ながら偏光板を回転してみればよい（パソコン画面から出ている光は偏光である）。最も明るい位置では明るさはほとんど減じないが、そこから９０度回すと真っ暗になる。途中の４５度の位置では最初の半分に、３０度の位置では $3/4$、６０度の位置では $1/4$ に、それぞれ明るさが減じるように見て取れる。
偏光板が三枚あると次のような意外な現象を見ることができるが、これも上で得た予想の正しさを実証している：軸方向が互いに直交するよう二枚の偏光板（それらをA、Bで表す）を重ねる。一枚目の偏光板Aを通過した光は、二枚目のBですべて止められるから、向こう側の景色を見ても真っ暗で何も見えない。しかし、それらの軸方向と４５度の方向を成す偏光板（Cで表す）をAとBの間に挿入すると、それまで真っ暗で見えなかった景色が、何もない時より少し明るさは落ちるけれども、でもしかし見ることができるようになる。
これは驚くべきことである：常識的に考えれば、偏光板は光にとっては障害物に違いない。A、B二枚の障害物をまったく通過できないにもかかわらず、もう一枚増やした三枚の障害物Ａ、Ｃ、Ｂは通過できるというのは、いかにも考えにくい。
この意外な現象も、ベクトルを使った論理では極々当然のことになる：偏光板A、B、C、それぞての軸方向を $a, b, c$ で表す。$a, b$ は直交し、$c$ は $a, b$ それぞれと４５度の角を成している。Aを通過した光が次にBに遭遇すれば $(a, b)=0$ だから、そこですべて止められる。ところがCに遭遇すると、$(a, c)^2=1/2$ だから、半分の光はCを通り抜けることができる。その光は $c$ の方向に偏極しているから、次にBに突入しても
$$(c, b)^2={1\over 2}$$の分はBを通過することになる。つまり、CをA、B間に挿入すると、それまで真っ暗であった向こう側の景色が見えるようになるはずである。その光の強さは、Aを出てきた光の
$${1\over 2}\times {1\over 2}={1\over 4}$$に減じているはずだが、実際に見てみれば大体納得できる。
光と何か他の系との間で相互作用がある場合、エネルギーの受け渡しは連続的にではなく、粒々の状態で行われるという考えは、１９０５年に、後にノーベル賞の対象になった論文で、アインシュタインが提唱し、実験的にも確かめられている。現在の技術では、非常に弱い光を作ることによって、そういう粒子（光子と呼ばれる）を一発ずつ生成できる装置が実際にできている。
偏光板Aから出てくる光を構成する光子は皆、その軸方向に『偏極している』として、光子の偏りに関する状態を定義する。つまり、ベクトル $a$ の方向に偏った光は、その方向に『偏極した』光子の流れであることになる。その光が偏光板Bに入射する時、Bの軸方向をベクトル $b$ で表すと、入射光の明るさの $(a, b)^2$ 倍の明るさの光がBを通過するというのが今回の推論の結果だった。従って、$a$ の方向に偏極した光子が $N$ 個、偏光板Bに突入する時
$$N\times (a, b)^2$$個の光子が $b$ の方向に偏極した光子となってBから現れることになる。これは、一つの光子について考えるならば、Bを通過できる確率が $(a, b)^2$ であると解釈できる。
各光子がBを通過できるかどうかは、われわれには知りようがないかもしれないが、でもしかし自然の奥底ではあらかじめ決まっているはずだという、いわゆる決定論的な考え方は、ベルの不等式やその後行われた実験によって、今や既にほとんど否定されたと考えられている。つまり、Bを通過できるかどうかは、真の意味で偶然によって支配されている出来事であって、その確率は $(a, b)^2$ なのである。
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