友人への手紙（アインシュタインの考え方 vs. 量子力学の考え方）(2023年11月1日)
- １０月４日の「因果律・局所性・量子論」の記事を尻切れトンボで終えてしまいました。この内容は、アインシュタインがそれこそ自身の自然哲学をかけて提起した問いかけであり、それがどう決着したかを正確に認識することは、正しい常識を形成する上で非常に大事なことかと思います。そこで、トンボのしっぽの部分をきっちり付けます。まず簡単な復習から始めます。 -
「ベルの不等式」と呼ばれている次の不等式が大活躍します：
\begin{equation} N(h_- ; \phi _+)+N(\phi _+ ; \theta _+)\geq N(h_- ; \theta _+) \label{eq:Bellineq} \end{equation}記号の意味をおさらいしておきます。「光子対」が次の図のような光源から左右に向けて、一組づつ発射される状況を用意します。
左へ飛ぶ光子はA君によって方解石の結晶に通され、その先に置いた検出器で検出されます。右へ飛ぶ光子はB君によって同様な扱いを受けます。この光源から発射される光子対は、偏極方向に関して互いに直交しているとします。つまり、A君の光子がもし水平に偏極して検出されるのであれば、B君の光子は必ず垂直に偏極して検出されます。このことは水平と垂直のみならず、任意の方向について言えます。A君が角度 $\phi $ の方向へ偏極した光子を検出するのであれば、B君は必ず $\phi +\pi /2$ の方向へ偏極した光子を検出するという具合です。
光源から次から次へと適当な時間間隔を置いて光子対が $N$ 対発射されるとし、A君は自分のところへやってくる光子を水平方向、もしくは垂直方向の偏極を測る装置に通し、B君は自分の光子を $\phi $ 方向、もしくはそれに直交する方向の偏極を測る装置に通したとします。この時、A君が垂直方向に偏極した光子を、B君が $\phi $ 方向に偏極した光子を、それぞれ検出する光子対の個数を、記号
$$N(h_- ; \phi _+)$$で表すと約束します。
同様に、また新たな $N$ 対の光子対に対して、A君は $\phi $ 方向、もしくはそれに垂直な方向の偏極を測る装置に通し、B君は別の任意の角 $\theta $ 方向、もしくはそれに垂直な方向を測る装置に通したとします。この時、A君が $\phi $ 方向に偏極した光子を、B君が $\theta $ 方向に偏極した光子を、それぞれ検出する光子対の個数を、記号
$$N(\phi _+ ; \theta _+)$$で表します。
$$N(h_- ; \theta _+)$$についても同様です。これらの個数の間に
$$N(h_- ; \phi _+)+N(\phi _+ ; \theta _+)\geq N(h_- ; \theta _+)$$の関係が成立するというのが、ベルの不等式の内容です。
ただし、この不等式を導く際には、二つの前提条件を置きます：一つは因果律です。つまり、例えばA君の光子が水平方向に偏極して検出されたのであれば、その振る舞いを引き起こすだけの理由をその光子はあらかじめ備えていたはずだ、という考え方です。従って、A君の元へやって来る各光子は、どの方向の偏極をA君が測ろうとも、どちら向きに偏極して検出されるかをあらかじめ決定していることになります。この意味で、因果律というより決定論という方が適当かもしれません。少し擬人的な表現をするなら、各光子は各自、規則集を携えていて、そこには、たとえば『もし、水平-垂直方向の偏極を測る装置に入ったら、水平方向に偏極して出なさい』とか、『$\theta _{\pm }$ の偏極を測る装置なら、$\theta $ 方向と直交する方向に偏極して出なさい』とかいう規則が記載されているのです。
もう一つの前提は、局所性です。つまり、A君の行う行為の影響が、瞬時にして、離れた地点に及ぶことはないという考え方です。アインシュタインの原理によれば、物の移動とか情報の伝播の速さは、決して光速を超えません、その意味での局所性です。この前提条件が満たされているなら、A君の検出の直後にB君の検出を行えば、A君がどの測定装置を使ったか、更にどんな結果を得たかが、B君の光子に影響を及ぼすことはないはずです、特にそのルールブックが書き換えられることはないと考えられます。上記の「直後」は、A君の位置からB君の位置までたとえ光速で伝播する影響があったとしても、それが到着する前に、という意味です。
これら二つの前提条件の下で証明できるベルの不等式が、実際に成り立っているかの検証実験は１９８２年に行われました。結果は否定的でした。つまりこの不等式が成立しない角度の組 $\phi , \theta $ が実際に存在したのです。もちろん、A君の実験の直後にB君の実験が行われるよう巧みな工夫もしてありました。
この辺までが１０月４日の復習ですが、さて今度は、量子力学の立場からこの不等式が証明できるかどうかを考えてみます：２１年の７月７日の記事で計算しましたが
$$N(h_-, \phi _+)={N\over 2}\cos ^2\phi , \hskip 2mm N(\phi _+, \theta _+)={N\over 2}\sin ^2(\theta -\phi )$$ $$N(h_-, \theta _+)={N\over 2}\cos ^2\theta $$です。これらは、光子対の状態が
$$a={1\over {\sqrt 2}}\left( b_A\otimes b'_B-b'_A\otimes b_B\right) $$で表されることを使って導くことができます。ただし、$b, b'$ はそれぞれ、水平、及び垂直方向に偏極した光子の状態を表す平面ベクトルで、添え字の $A, B$ はそれぞれ、A君とB君のもとへやってくる光子を表します。$b$ の方向か $b'$ の方向へ角度 $\phi $ だけ回転した方向の長さ $1$ のベクトルを $c$ と置けば
$$c=\cos \phi b+\sin \phi b'$$であり、それに直交するベクトルを $c'$ と置けば
$$c'=-\sin \phi b+\cos \phi b'$$です。これらのベクトルを使うと
$$a={1\over {\sqrt 2}}\Bigl[ \sin \phi b_A\otimes c_B+\cos \phi b_A\otimes c'_B-\cos \phi b'_A\otimes c_B+\sin \phi b'_A\otimes c'_B\Bigr] $$と書けます。一方で、例えば
$$N(h_-, \phi _+)$$は、A君が $b'$ を、B君が $c$ をそれぞれ検出する対の個数です。ここで上式の $b'_A\otimes c_B$ の係数は
$$-{1\over {\sqrt 2}}\cos \phi $$よって
$$N(h_-, \phi _+)={N\over 2}\cos ^2\phi $$となります。他の二つの個数についても同様に求まります。
これらをベルの不等式に代入すれば
\begin{equation} \cos ^2\phi +\sin ^2(\theta -\phi )\geq \cos ^2\theta \label{eq:Bell-QM} \end{equation}です。実は、この不等式が成立しない、すなわち不等号が逆転する $\phi $ と $\theta $ の組が存在します。つまり、ベルの不等式は量子力学からは導かれないのです。
１９８２年に、ベルの不等式の両辺の大小を実際に比べる実験が行われました。その結果、$\phi $ と $\theta $ によっては、ベルの不等式が示す大小関係は成り立っていないこと、反対に、量子力学から得られる結果は、すべての $\phi , \theta $ について実際とよく合うこと、が確認されました。
因果律あるいは決定論、及び局所性の立場は、もちろんアインシュタインの立場です。この立場は非常にわかりやすく、常識にも合っていて、何故それが自然によって採用されていないのか、理解に苦しむ面があります、しかし実際がそうである以上、認めざるを得ません：アインシュタインの考え方の根底には、ある場所で行われる行為の影響が離れた地点に瞬時に及ぶことはない、そのような魔法のような作用はないはずだという確信があります。この確信があるからこそ、A君の測定結果によってB君の光子の偏極方向が確実に予測できることから、B君の各光子はそれぞれルールブックを持っていて、B君の装置をどちら向きに偏極して通過するかをそれに従って決める、という結論が得られるのです。
この立場は実験によって否定されたと考えるべきです。すると、『ある地点での行為の影響が他の地点に瞬間的に伝わる』と本当に考えるべきなのでしょうか。ここで問題なのは、われわれが普通に使用している言葉では、実際に起きている事柄を過不足なく、一義的に表現できない可能性がある、ということです。例えばダブルスリットの実験で、どちらのスリットを通過したかの監視を置かない状況では『両方のスリットを同時に通過している』という言い方をしましたが、この表現を聞いただけでその意味を明確に理解できる人はおそらく皆無でしょう。微視的対象の世界の現象は、われわれの日常言語では十分には記述できないのです。
日常言語では『ある地点での行為の影響が他の地点に瞬間的に伝わる』としか言いようのない事柄が、本当は何を意味しているのか、量子力学は実験によっても支持されたというのですから、その量子力学の言葉で考えてみるのが妥当だと考えられます：光子対の状態は
$$a={1\over {\sqrt 2}}\left( b_A\otimes b'_B-b'_A\otimes b_B\right) $$です。これは、二つの状態
$$b_A\otimes b'_B, \hskip 2mm b'_A\otimes b_B$$の重ね合わせです。つまり、A君とB君の光子がそれぞれ $b, b'$ に偏極して彼らの装置を通過するか、もしくは $b', b$ に偏極して通過するか、可能性を持ちながらまだ具現化していない状態です。この状態に対して、A君が自分の光子を偏光子に通し検出器に当てれば、$b$ もしくは $b'$ の光子を検出し、同時に、B君の光子の偏極方向は $b'$ もしくは $b$ に確定します。A君の測定行為はこの意味で、離れた位置にあるB君の光子に瞬時に影響を及ぼすのです。
ただ、ここでいう『影響を及ぼす』という言い方は、いろんな意味でかなり微妙です：まず、例えばB君の光子がA君の測定が行われる前まで、何か確定した方向に偏極していて、それがA君の測定と同時に $b'$ の方向に変わったというのであれば、変化を引き起こすという意味で『影響を及ぼす』という表現は至極適当です。しかし、今の場合、$a$ は重ね合わせの状態であり、従って、B君の光子の偏極方向は $b$ でも $b'$ でもなく、何ら具現化していません。要するに偏極の方向については何も決まっていないのです。よって、ここで『影響を及ぼす』とはより正確には、偏極の方向について裸であった光子が、A君の測定と同時に突然、$b$ もしくは $b'$ の着物をまとって現実世界に現れる、ことを意味します。
更にまた、この影響の伝播を使ってA君の位置からB君の位置へ瞬時に何らかの信号なり情報を送ることができるかと言うと、それは不可能だと考えられています：例えばA君は地球上に居て、B君はアンドロメダ星雲のどこかの星の上にいる、中間地点からは件の光子対がA君とB君に向けて次々に発射されているとします。彼ら二人はそれぞれの元へやってくる光子が水平か垂直、どちらの方向に偏極しているかを測ります。この時、A君の光子が水平に偏極して検出されれば、B君のもとへ飛ぶ片割れの光子は必ず垂直に偏極して検出されます。逆も真で、A君の光子が垂直の場合、対を成すB君の光子は必ず水平方向に偏極して検出されます。従って、もしB君が、水平方向の偏極を「$0$」と解釈し、垂直方向の偏極を「$1$」と解釈するならば、二進数の数列がB君のもとへ送られてくると言えます。よってもしA君が、自分の元へやって来る光子の偏極方向を自由に制御することができれば、A君はB君に任意の文章を瞬時の内に届けることができるのです。
しかし実際は、A君のもとへやってくる光子が水平に偏極して検出されるか垂直に偏極して検出されるかは、半々の確率でまったく偶然によって決まり、A君がそれを制御することはできません。つまり、B君のもとへ届く数列はまったくランダムなものであって、意味のある文章を送ることはできないのです。
もちろんA君は、『何番目と何番目と何番目の光子の偏極方向だけを取り出せ』という形の追加文書を後にB君に送り、それによって意味のある数列をB君に知らせることはできます。しかしその追加文書がB君のもとへ届くのは２００万年後のことであり、瞬時にB君へ届く通信を行ったことにはなりません。
物の運動の速さや情報の伝わる速さは決して光速を超えない、というアインシュタインの原理があるのですが、『瞬時にして影響が異なる地点に及ぶ』ことはその原理に反するかのように、一見、思えます。しかしこの種の影響の伝播に情報を乗せることができないのであれば、無限大の速さで伝わるこういう影響の伝播があったとしても、アインシュタインの原理には反しないことになります。
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