友人への手紙（因果律・局所性・量子論）(2023年10月4日)
- 今回の内容は以前書いたものとかなり重複しますが、友人に感想を聞きたいという願いもあり、かなり推敲しましたので、敢えてもう一度掲載する次第です。（１０月６日追記：『量子力学では因果律が成立していない』という、大いに誤解を生む言い方をしてしまいました。その部分を訂正し再掲載します。）-
量子力学では確率が本質的な役割を演じます。たとえば、光子が偏光板に遭遇する時、それを通過するかしないかの決定は、確率的に、つまりサイコロを投げてその結果から決まると考えます。この考え方を最初に提唱した人にマックス・ボルンという人がいて「原因と偶然の自然哲学」（鈴木良治訳 みすず書房）という著書があるのですが、その中で、『現代思想を確立するのに他の誰よりも仕事をした最も偉大な物理学者の意見を見落としてはならないから』という理由で、アインシュタインからの二通の手紙を引用しています。ここでは最も核心部分と思われる部分を抜粋します：
『科学の将来展望において私たちは対蹠地に向かって進行してきました。あなたはさいころを振る神を信じていますし、私は客観的に存在する何ものかの世界には法則の完全な規準のあることを信じ、それを乱暴と思われる思索法でつかみとろうとしています。・・・量子論は初期の頃大成功を収めましたが、だからといって、根本的にはさいころを振るようなゲームを信じるわけにはまいりません。』
『・・・私は、法則によって結びつけられているものは確率ではなくて、ほんの少し前まで認められていた事実であるという理論に必ず到達するであろうことを固く信じています。・・・』
どんな現象であれそれが引き起こされるにはそれなりの原因と理由があるはずだというのがアインシュタインの考え方です。時間的にほんの少し前 - 無限小だけ前 - の事実が、法則によって次の瞬間の事実に結びつけられる、そのようにして次々に事実の時間的な系列が生じる。そこには偶然や確率など入り込む余地はない、というのです。アインシュタイン自身は最後までその考え方を持ち続けましたが、結局、量子力学に代わる理論を構築することなく没しました。でもその影響は永く残り、因果的な考え方が果たして量子力学と両立し得るものなのか、その疑問を解こうとする試みを触発することになりました。その意味で、大事な種を蒔いていってくれたのです。今回はそれがどう育ったかのお話です。結果的に、アインシュタインの考え方がある意味では否定され、量子力学の考え方が支持されることになります。
例えば、一つの光子がある方解石の結晶に入る時を考えてみます。結晶を出る光子の通り道の先に二つの検出器を置けば、光子が互いに直交する方向のどちらかに偏極して出てくることが確かめられます。アインシュタインの言う因果律が成立しているとするなら、違う方向に偏極して出てくる二つの光子については、それだけの差を生む違いが結晶に突入する前からあったことになります。少し擬人的な言葉を使うなら、各光子はある規則表を持っていて、そこには『これこれの結晶に突入したらこれこれの方向に偏極してそこを出ろ』という指令が書き込んであるはずなのです。
少し注意ですが、『どちらの方向に偏極して結晶を出るかは、光子の側だけではなく、結晶の側にもその違いを生む原因があるかも』と考えることもできます。ただここで問題にしているのは、光子の振る舞いについて、因果律に従う記述と量子力学に従う記述の間の比較です。従って、結晶については、各光子に対し常に同じ状態が用意されることを前提に話を進めます。
ここでベルという人のある工夫を紹介します：光子は $z$ 軸の方向に沿って結晶に入射するとし、三種類の違う向きを向いた結晶をその先に用意します。まず、$x$ 軸方向と $y$ 軸方向に偏極して光子が出てくる結晶、これを $HV$ 偏光子と呼びます。もちろん $H$ は horizontal （水平な）の、$V$ は vertical （垂直な）の、それぞれ頭文字です。もう一つは、角度 $\phi $ を適当に決めて、$HV$ 偏光子を $z$ 軸を中心に $\phi $ だけ回転して得られる偏光子です。これを $\phi _{\pm }$ 偏光子と呼びます。最後は、もう一つ別の角度 $\theta $ を決めて得られる $\theta _{\pm }$ 偏光子です。
さて、因果律に従って光子の振る舞いを考える限り、各光子は各自、規則集を携えていて、そこには、たとえば『$HV$ 偏光子は $h$ 方向に偏極して出なさい』とか、『$\theta _{\pm }$ 偏光子に遭遇したら $\theta $ 方向と直交する方向に偏極して出なさい』とかいう規則が記載されています。
従って、ある同一の物理過程を通して発生するたくさんの光子を集めると、その内で、例えば『$HV$ 偏光子なら $v$ 方向に、$\phi _{\pm }$ 偏光子なら $\phi $ 方向に、それぞれ偏極して出なさい』と規則集に書き込まれている光子の個数を数えることができます。それを記号
$$n(h_-, \phi _+)$$で表すと約束します。添え字の $\pm $ の意味は容易に推測できる通りです。
これらの個数の間には次の不等式が成り立ちます。以下説明しますが、単なる算数の範囲で証明でき、しかし極めて重要な意味を持つ不等式です。
\begin{equation} n(h_+, \phi _+)+n(\phi _-, \theta _+)\geq n(h_+, \theta _+) \label{eq:Bellfutou} \end{equation}証明は簡単です：『$HV$ 偏光子は水平方向に、$\phi _{\pm }$ 偏光子と $\theta _{\pm }$ 偏光子はそれぞれ $\phi $ 方向、$\theta $ 方向に偏極して出るように』とルールブックに掲載されている光子の個数を
$$n(h_+, \phi _+, \theta _+)$$で表すことにします。他の組み合わせについても同様です。すると (\ref{eq:Bellfutou}) の左辺第一項は、$\theta _{\pm }$ 偏光子を出る際の二つの選択肢については問うていませんから
\begin{equation} n(h_+, \phi _+)=n(h_+, \phi _+, \theta _+)+n(h_+, \phi _+, \theta _-) \label{eq:nh-phi+kakikae} \end{equation}です。同様に第二項は
\begin{equation} n(\phi _-, \theta _+)=n(h_+, \phi _-, \theta _+)+n(h_-, \phi _-, \theta _+) \label{eq:nphi+theta+kakikae} \end{equation}であり、更に、右辺は
\begin{equation} n(h_+, \theta _+)=n(h_+, \phi _+, \theta _+)+n(h_+, \phi _-, \theta _+) \label{eq:nh-theta+kakikae} \end{equation}です。
これら三式をよく見ると、(\ref{eq:nh-theta+kakikae}) 式の右辺の項の内一番目は、(\ref{eq:nh-phi+kakikae}) 式の右辺に現れ、二番目は (\ref{eq:nphi+theta+kakikae}) 式の右辺に現れます。ここに現れている個数はすべて $0$ 以上ですから、従って (\ref{eq:nh-phi+kakikae}) 式と (\ref{eq:nphi+theta+kakikae}) 式の和は、(\ref{eq:nh-theta+kakikae}) 式の値より小さくなることはありません。つまり、不等式 (\ref{eq:Bellfutou})
$$n(h_+, \phi _+)+n(\phi _-, \theta _+)\geq n(h_+, \theta _+)$$が証明できました。
この不等式は従って、光子が因果律の下で振る舞っていると考える限り必ず成立しているはずの不等式です。よってこれが実際に成立しているかどうかを確かめてみることは非常に重要なことに思われます。問題は確かめる方法が果たしてあるかどうかです。
例えば $n(h_+, \phi _+)$ の値を知るために、やって来る光子をまず $HV$ 偏光子に通し、水平方向に偏極して通過した光子を更に $\phi _{\pm }$ 偏光子に通して、それを $\phi $ 方向に偏極して通過する光子の個数を数えたとしても、知りたい答えは得られません。というのは、$HV$ 偏光子を通過することによってその光子のルールブックは書き換えられる可能性があるからです。その後で、$\phi _{\pm }$ 偏光子を $\phi $ 方向に偏極して通過するからといって、最初の偏光子に入る前の光子のルールブックに $h_+, \phi _+$ と書き込まれていたとは限らないのです。
例えば $+45^{\circ}$ の軸方向を持つ偏光板から出てきた光子には必ず『$45$ 度の軸を持つ偏光板では止まらずにそのまま通過しなさい』と書かれているはずです。しかしこれを水平方向の軸を持つ偏光板に当て、それを通過して出てきた光子を再び $+45^{\circ}$ の軸方向を持つ偏光板に当てると、半数は通過しますが半数は通過しません。つまり、水平方向の偏光板を通過することによって、ルールブックは書き直されてしまったのです。
しかしベルは非常に巧みな方法を、アインシュタインが遺してくれた手がかりをもとに、考案しました：ある条件を満たす原子の中には、エネルギーを放出する過程で、二つの光子を正反対の方向へ射出するものがあります。しかも、好都合なことに、二つの光子の偏極の方向が常に互いに垂直になっているのです。左へ飛ぶ光子がもし水平方向の偏光板を通過するのであれば、右へ飛ぶ光子は垂直方向の偏光板を必ず通過します。このことは水平と垂直方向に限られることではありません。左へ進む光子が、例えば $+45^{\circ }$ 方向の軸を持つ偏光板を通過するのであれば、右へ進む光子を $+135^{\circ }$ 度の方向の偏光板を必ず通過します。
この状況を正確に理解するために下図の装置でもう一度確認しておきます。
中央には件の原子の塊があり、適当な時間間隔をもって左右へ光子が次々に放出されます。左右へ飛ぶ光子はその通路上に置かれた $HV$ 偏光子に突入し、その先の検出器によって、水平、もしくは垂直のどちらかの方向へ偏極して出てきたかが測定されます。上で述べた『対を成す二つの光子が互いに垂直に偏極している』とは、左の検出器の「水平」を示すブザーが鳴る時には、右の検出器の「垂直」を示すブザーが鳴る、逆に、左の「垂直」を示す検出器が作動する時には、必ず右の「水平」を示す検出器が作動する、という具合です。
この図では水平方向と垂直方向の偏極を測るよう左右の偏光子を置きました。しかしどの方向の偏光子を置いても同じことです。例えば $+30^{\circ }$ の方向と $+120^{\circ }$ の方向の偏極を測る偏光子を左右に置くならば、左の光子が $+30^{\circ }$ の方向へ偏極して通過したことを知らせるブザーが鳴る度に、右の光子は $+120^{\circ }$ に偏極して通過したことを示すブザーを必ず鳴らします。
以上の性質を持つ光子対を利用すると、例えば
$$n(h_+, \phi _+)$$の値を知ることができます。もう既に気づいているかもしれませんが、注意の必要な箇所が一点ありますので説明します：右へ飛ぶ光子が $HV$ 偏光子を水平方向へ偏極して通過することは、左へ飛ぶ片割れの光子が $HV$ 偏光子を垂直方向へ偏極して通過することを意味します。従って、左へ飛ぶ光子を $HV$ 偏光子で受け止め、右へ飛ぶ光子を $\phi _{\pm }$ 偏光子で受け止めて、前者を垂直方向に、後者を $\phi $ 方向 に、それぞれ偏極して通過する光子対の個数を数えて、それを
$$N(h_- ; \phi _+)$$で表すことにすれば、
$$N(h_- ; \phi _+)=n(h_+, \phi _+)$$が成り立つことになります。つまり、光子対のそれぞれを左右の位置で観測することにより、$n(h_+, \phi _+)$ の値を知ることができるのです。
ただ、一点、注意すべきことがあります：左側での測定、つまり左側へ飛んでくる光子を $HV$ 偏光子に通すという測定行為そのもの、あるいはその光子が二つの方向のどちらかに偏極して検出されるという結果が、右側へ飛ぶ光子のルールブックを書き直さないかという心配です。つまり、左側での測定の影響が右側へ飛ぶ光子に何らかの影響を及ぼさないだろうかと心配しているのです。もし影響が及んで書き直されてしまうと、等式
$$N(h_- ; \phi _+)=n(h_+, \phi _+)$$は必ずしも成立しないことになり、この方法で右辺の値を知ることはできません。
ただ、アインシュタインもそう考えたのですが、左右の光子は十分離れてしまえば、それぞれが他とは独立な存在であると考えられます。『独立？そんなわけがない、互いに直交する方向に偏極しているのだから、独立ではないだろう』という声が聞こえてきそうです。
その点については次の例を考えてください：中の見えない箱に $10$ 個のボールを入れた後、横から境を挿入して箱を二つに分割し、一方をパリへ、他方をサンフランシスコへ運んだとします。この時、パリの箱を開けて例えば $3$ 個のボールが入っていれば、サンフランシスコへ運んだ箱には $7$ 個のボールが入っているはずです。常に、合計が $10$ 個であるという意味での相関があります。しかし、パリの箱にどんな操作を加えようが、サンフランシスコの箱、あるいはその中のボールには何の影響も及ばないことは確かです。ここで使う言葉「独立」は、この意味で使います。相関があることとは無関係な用語です。
さて、本論に戻りましょう。左へ飛ぶ光子と右へ飛ぶ光子は、十分離れてしまえば互いに独立な存在だと考えられます。従って左の光子に加える操作の影響が右の光子には及ばないと仮定できます。もし心配であるのなら、左の光子に対する操作の直後に右の光子を観測する、つまり、左から右へ影響が及ぶ暇を与えずに右の光子に対する測定を済ませてしまう、という方法を取ることにします。情報や信号の伝わる速さは光速以下だというアインシュタインの法則がありますから、二つの光子が十分離れてから測定行為を行うようにすれば、この方法が可能です。
実際にこの方法をとり入れた実験が行われました。ただ、一方の光子に加えた操作の影響が他方に及ばないとして推論を進めていることを忘れないために、この仮定を「局所性」と名付けておきます。なお、アインシュタインにとっては、この局所性も、因果律と同様に自明なことでした。
こうして等式
$$N(h_- ; \phi _+)=n(h_+, \phi _+)$$の成立が示せました。同様に（記号の意味も同様に定義するとして）
$$N(\phi _+ ; \theta _+)=n(\phi _-, \theta _+)$$ $$N(h_- ; \theta _+)=n(h_+, \theta _+)$$が成り立ちます。よって不等式 (\ref{eq:Bellfutou})
$$n(h_+, \phi _+)+n(\phi _-, \theta _+)\geq n(h_+, \theta _+)$$は
\begin{equation} N(h_- ; \phi _+)+N(\phi _+ ; \theta _+)\geq N(h_- ; \theta _+) \label{eq:Bellfutou-2} \end{equation}に書き直すことができます。ここに現れる各項それぞれは、左右に飛ぶ光子を偏光子に通し、どの方向へ偏極して出てきたかを記録し、後で持ち寄って条件を満たす対の個数を数える方法で得られます。三っつの項の値を得るには、偏光子の組を三度取り換え、原子から左右に発射される十分多数の光子対について、しかもほぼ同数の光子対について実験することによって達成できるでしょう。因果律と局所性を仮定して得られた不等式 (\ref{eq:Bellfutou-2}) を「ベルの不等式」と呼びます。
光子対について実際に測定することにより、この不等式に現れる三つの項の値を知ることができます。それらがもしこの不等式を満たしていなければ、因果律と局所性の一方が、あるいは両方が、現実の世界では成立していないと考えざるを得ません。どんな現象にもしかるべく原因があり、法則によって結果が生じるという考え方が因果律であり、魔法は漫画の中だけの話で、現実には存在せず、どんな信号でも影響でも、遠方に伝わるにはしかるべく時間を必要とするという考え方が局所性です。共に、われわれにとってほとんど常識に近いものであり、アインシュタインにとっても然りでした。
ですから、もしベルの不等式が破れている、つまり不等号の成り立たない角度 $\phi $ と $\theta $ の組が存在する、ことがもし発見されるとなると、それはかなりショッキングなことです。
実は量子力学では二つのタイプの時間的変化が扱われます。一つはシュレデインガー方程式と呼ばれる微分方程式によって記述される変化で、これは因果律に従います。もう一つはここで問題にしている変化、つまりいくつかの選択肢の内の一つが、測定装置との相互作用の結果選ばれる変化で、確率が表に登場し、因果的な変化ではありません。のみならず、以下に述べる少し複雑な意味でですが、局所性も成り立っていないと考えられます。われわれの常識から見ると間違いなく強い戸惑いを感じさせる理論です。しかし、実際の実験は、その量子力学を支持しているのです。
その実験を見る前に、局所性が破れていることをざっと確認しておきます。そのためには二つの光子からなる光子対の状態をベクトルを用いて書き表す必要があります：
左右に飛ぶ光子をそれぞれ A 君と B 君が偏光子に通すとして、A 君のもとへやって来る光子の水平方向へ偏極した状態を $b_A$、垂直方向へ偏極した状態を $b'_A$ でそれぞれ表します。$b_B, b'_B$ は B 君の光子の状態です。この時、われわれが扱っている光子対の状態を $a$ で表すならば
\begin{equation} a={1\over {\sqrt 2}}\left( b_A\otimes b'_B-b'_A\otimes b_B\right) \label{eq:anohyougen} \end{equation}と書き表せます。以下はその理由の、但しかなり直観的な説明です。
まず右辺に現れる
$$b_A\otimes b'_B$$は、A 君の光子が水平に偏極し、B 君の光子が垂直に偏極していることを表す為に案出した記号です。もう一方の
$$b'_A\otimes b_B$$についても同様です。妙な記号 $\otimes $ を使いましたが、別になくても構いません。記号を挟む左右の偏極が共に起きていることを示すための、ただそれだけの記号です。
これまでよく使ってきたように、一つの光子の偏極に関する任意の状態は $b$ と $b'$ の線形結合として表すことができます。例えば、 $45^{\circ }$ に偏極した状態は、ベクトルで表せば
$${1\over {\sqrt 2}}\pmatrix{ 1 \cr 1}$$ですが $${1\over {\sqrt 2}}b+{1\over {\sqrt 2}}b'$$
です。よって、二つの光子の状態は、
$$b_A\otimes b'_B, \hskip 2mm b'_A\otimes b_B$$の他に
$$b_A\otimes b_B, \hskip 2mm b'_A\otimes b'_B$$の四つの状態の線形結合として表せるはずです。このことは、少なくとも感覚的には納得できると思います。今われわれが問題にしている光子対の場合は、偏極の方向が互いに直交しますから
$$b_A\otimes b_B, \hskip 2mm b'_A\otimes b'_B$$の二つは必要でなくなります。
最後に、(\ref{eq:anohyougen}) 式
$$a={1\over {\sqrt 2}}\left( b_A\otimes b'_B-b'_A\otimes b_B\right) $$に現れるマイナスの必然性を示します。ベクトル $b$ を任意の角 $+\phi $ だけ回転したベクトルを $c$ で表しましょう。この時
\begin{equation} c=\cos \phi b+\sin \phi b' \label{eq:cnohyouji} \end{equation}と書けますが、$c$ を更に $+90$ 度回転したベクトルを $c'$ とすれば
\begin{equation} c'=-\sin \phi b+\cos \phi b' \label{eq:cdashnohy} \end{equation}です。
この時 A 君の光子が $c$ の方向に偏極し B 君の光子がそれに垂直な $c'$ の方向に偏極している状態
$$c_A\otimes c'_B$$は
\begin{eqnarray*} c_A\otimes c'_B&=&\left( \cos \phi b_A+\sin \phi b'_A\right) \otimes \left( -\sin \phi b_B+\cos \phi b'_B\right) \\ &=&-\cos \phi \sin \phi b_A\otimes b_B+\cos ^2\phi b_A\otimes b'_B\\ &&-\sin ^2\phi b'_A\otimes b_B+\sin \phi \cos \phi b'_A\otimes b'_B \end{eqnarray*}と書けます。$\otimes $ に関して「分配法則」のようなものを使用しました。もちろん証明すべき事柄ですが、ここは証明なしで認めて頂くことにし、先へ進ませてください。
同様にして、A 君の光子が $c'$ の方向に偏極し B 君の光子が $c$ の方向に偏極している状態は
\begin{eqnarray*} c'_A\otimes c_B&=&-\sin \phi \cos \phi b_A\otimes b_B-\sin ^2\phi b_A\otimes b'_B\\ &&+\cos ^2\phi b'_A\otimes b_B+\cos \phi \sin \phi b'_A\otimes b'_B \end{eqnarray*}と書けます。よって
$$c_A\otimes c'_B-c'_A\otimes c_B=b_A\otimes b'_B-b'_A\otimes b_B$$が成立しています。つまり、このマイナスのお陰で、(\ref{eq:anohyougen}) 式で表される状態 $a$ では、A 君の光子が $c$ 方向に偏極していれば B 君の光子は $c'$ に偏極し、A 君の光子が $c'$ 方向に偏極していれば B 君の光子は $c$ に偏極していることになるのです。$c$ の方向は任意であり、よって、われわれの考えている光子対の性質の、ベクトルによる正確な表現になっています。
(\ref{eq:anohyougen}) 式
$$a={1\over {\sqrt 2}}b_A\otimes b'_B-{1\over {\sqrt 2}}b'_A\otimes b_B$$が言っている意味をよく吟味しましょう：一つの光子の状態、例えば $45^{\circ }$ 方向へ偏極した状態は
$${1\over {\sqrt 2}}b+{1\over {\sqrt 2}}b'$$と表せました。この状態は、「$b$ としても $b'$ としても確率 $1/2$ で現実世界に現れる可能性はあるが、しかしまだどちらにも現れず、可能性だけの段階にとどまっている状態」だと解釈できました。$b$ もしくは $b'$ の状態を検出する装置に接触して初めて、どちらかになってその姿を具現化するのです。その意味では『どちらでもある』と言える状態です。「二つのスリットの両方を通り抜ける電子」という表現は、この種の状態を意味します。
同じ解釈を (\ref{eq:anohyougen}) 式
$$a={1\over {\sqrt 2}}b_A\otimes b'_B-{1\over {\sqrt 2}}b'_A\otimes b_B$$に適用します：この光子対は、「$b_A\otimes b'_B$ と $b'_A\otimes b_B$ のどちらにもなり得るのだが、まだそのどちらとも決めかねている状態」にあります。測定装置との接触があって初めてどちらかの姿に転移する状態です。つまり、A君の光子が水平に、B君の光子が垂直に偏極して検出される場合と、逆の組み合わせで検出される場合とが、どちらも現実世界に現れることなく可能性の段階にとどまっている状態です。測定装置との連結、例えばA君が自分のところへやってくる光子を偏光子に通すという測定行為が行われて初めて、一方の可能性が実現し、われわれに認識可能な姿を取って現れるのです。
従って特に、A君の測定行為は、それまでは具現化していなかったB君の光子に、現実世界での実在としての姿を与えるという意味で、影響を及ぼします。この意味で、「局所性」は量子力学では成立していないと考えるべきでしょう。
「局所性」を最初に定義した時には、暗黙の裡に、A君の光子もB君の光子も共に、現実世界に存在する実体であることを前提とし、それらの間の影響の及ぼし合いを考えていました。しかし、量子力学ではその前提がそもそも崩れています。その意味で、従来の意味での「局所性」を論じることには少し無理があります。
問題がかなり複雑になりました。今夜も聞し召しているはずの貴君にも、そろそろ限界のはずです。実験結果だけを簡単に要約し、続きはまたの機会にしましょう：何組かのグループがベルの不等式を確かめる実験をしました。決定的なものは、フランスでアスペという人によって１９８２年に行われました。ベルの不等式が破れていること、他方で、量子力学から得られる結果は支持されること、が示されました。
従って特に次のことは確実に言えます：もしこの世界が量子力学が言う意味での妙なものではなく、われわれが普通に言う実在物によってのみ構成されているとするなら、因果律を仮定する限り、局所性を諦めなくてはいけないことを、実験は示したのです。要するに、「瞬時にして遠方に伝わるテレパシーのような作用」の存在を認めなくてはいけないのです。従ってこの方向性は極めて複雑な状況へわれわれを導くであろうと、容易に想像できます。確かに、その方向性を目指す理論はあることはあるのですが、少なくとも定式化において、量子力学の単純さに比較できるものではありません。
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