１９７０年代に出版された「岩波科学の本」というシリーズがある。中学生や高校生の知識でも科学の深い部分を理解できるように、という意図がひしひしと感じられるシリーズで、「ぼくらはガリレオ」「大地の動きをさぐる」「ハチの生活」「だれが原子をみたか」などと言った題名の本が並ぶ。パラパラ見るだけでも筆者達の一生懸命さと、同時に、楽しさが感じられ、以前から一度じっくり読んでみたいと思っていた。今回「だれが原子を云々」を読んだので、少し紹介しようと思う。
小さすぎて目には見えない原子の実在を、人類は何故信じるようになったのか、誰がどのようにして人々をそこへ導いたのか、というのがテーマである。原子のサイズは大体 $10^{-8}$ センチメートルであり、従って倍率 $100$ 万倍程度の顕微鏡を作れば一つの原子が $0.1$ ミリメートル程度に見えることになる。実はこの程度の倍率の顕微鏡はこの本の出版当時に既にできていたそうである。ただ、この本のテーマは、そういう技術的な意味での『見た』ではない。それも立派な『見た』には違いないが、古代ギリシャから脈々と続けられ、２０世紀初頭になって成就された、いわば『見えないものを見る』という人類の営みの方が、この本の関心事である。
この本の著者は江沢洋という物理屋さんであり、もちろんその立場から書いておられる。ただ、物理学は - もっと広く科学は、と言うべきかもしれないが - 数学的な論理と実験を頼りに、人間が自分たちの立ち位置を理解しようとする努力に他ならない。従って当然それは、数学をよく知る上で有益な、実に優れた内容を持っている。しかしながら残念なことに、「物理」というと数学の先生方には大方不人気で、中々そこまでは踏み込んでもらえない。物の理（ことわり）というものは、少なくとも本質的なことに関する限り、極めてやさしく理解できるものであり、そこに目を向けさえすれば、数学的に考えるということがどれほど大きな意義を持ってきたか、あるいはどれほど人々を魅了してきたかが、自ずとわかる、と私は感じている。
歴史的には紀元前のデモクリトスあたりから話を始めるべきだが、哲学的なことについてはもう少しゆっくり味読しておきたい本もあり、楽しみとして後に回す。今回は１９世紀のジュールの仕事についてである。
ジュール（1818-89）の時代、原子や分子の存在は広く認められているとは言い難い状況だった。ドルトンやアヴォガドロといった人々が一歩一歩、その存在と整合性のある事柄をいろいろ明らかにしてきたけれども、『その大きさや質量、形は？運動の速さは言えるか？一定体積の気体に含まれる分子の個数は気体の種類によらず一定というが、じゃその個数は？』というような問いに答えられる状況には至っていなかった。
しかし原子論者ももちろんそのような定量的な質問の答えが知りたかった。まずは気体分子の速さが突き止められた：「気体分子の速度について」（１８５７年）という論文の中でジュール曰く、
『空気の圧縮膨張の際の温度変化は気体の構造についての示唆を含む。何故なら、気体の持つ熱は力学的エネルギーに他ならないことをそれは示すから。他方、気体の弾性、すなわち圧力は温度によって変わるのだから、気体の構成粒子の運動によるものと考えられる。』
これだけの、言われてみれば実に簡単な考察から、以下のようにして、気体の構成分子の飛び回る速さが計算できる。
一辺が $L$ の立方体に詰め込まれた気体分子を考える。各気体分子の質量を $m$、全個数を $N$ とする。気体の圧力を $p$ とする。これは、ジュールの上の考察によれば、分子が容器の壁に衝突することから生じる。念のために復習するが、圧力とは容器の壁、単位面積あたりにかかる力である。ここでは力の単位として ${\rm {dyn}}$ （ダイン）を用いる。$1 {\rm g}$ の質量に働く時 $1 {\rm {cm\cdot s^{-2}}}$ の加速度を生じさせる力である。ちなみに一気圧は約
$$1.0\times 10^6 {\rm {dyn \cdot cm^{-2}}}$$である。
立方体容器の三辺を軸とする座標系を考え、ある分子の速度を $v$ で表し、その $x, y, z$ 成分をそれぞれ
$$v_x, v_y, v_z$$で表す。容器の壁の $x$ 軸に垂直な二面の内一つを考え、その面が受ける圧力を知りたい。その壁に衝突する分子が、ビリヤードの玉のように同じ速さで跳ね返されるとするなら、その過程で $2m\vert v_x\vert $ の運動量を壁は受け取る。
単位時間当たりに受け取る運動量が、その壁にかかる力に他ならない。よって、衝突する分子の個数が必要になる：もちろん、莫大な個数の分子が関わっているのだから、衝突の個数を正確に計算することなどできるわけがない。おそらく「平均」を考える統計的な処理が必要になる。今求めようとしている「分子の速さ」も平均的な値で満足すべきだから、こういう処理は当然考えなくてはいけない。
そこで $\vert v_x\vert $ を適当に細かい区分に分け、それぞれの代表値を改めて $\vert v_x\vert $ で表し、その区分内の $\vert v_x\vert $ をその代表値で近似する。また、$\vert v_x\vert $ がその区分に含まれる分子の個数を $n(\vert v_x\vert )$ で表す。
ここでちょっとした物理的仮定をしなくてはいけない：分子同士での衝突などもあり、当然、各分子の $v_x$ は刻々と変わるはずである。例えば容器を外から熱してやれば、おそらく各分子の運動は激しいものになり、それにつれて大きな $v_x$ を持つ分子が増加し、小さな $v_x$ を持つ分子の個数は減少するだろう。しかしそのような特別な操作をしない状況では、一種のつり合い状態が実現すると考えられる。つまり、$v_x$ が増加する分子があれば、減少する分子も同程度あり、結果的に各区分に含まれる分子の個数 $n(\vert v_x\vert )$ がほぼ一定に保たれる状態である。このような状態は「熱平衡状態」と呼ばれるが、これからはこの状態にある気体に焦点を絞る。
ある適当に短い時間間隔 $T$ を設定する。代表値 $\vert v_x\vert $ を持つ分子の内で、時間 $T$ の間に壁に衝突する可能性のある分子は、壁から
$$T\vert v_x\vert $$の距離内にある分子に限られる。従って、
$$T\vert v_x\vert L^2\times {{n(\vert v_x\vert )}\over {L^3}}\times {1\over 2}$$個の分子がこの壁に衝突することになる。最初の因子は壁に衝突する分子が含まれる体積、二番目の因子は分子の密度、最後の $1/2$ は、$v_x$ の絶対値が同じでも、壁に近づくものもあれば遠ざかるものもあり、統計的には同数だと考えられることから出る因子である。
従ってこれらの衝突から壁が受け取る運動量は
\begin{eqnarray*} &&T\vert v_x\vert L^2{{n(\vert v_x\vert )}\over {L^3}}{1\over 2}\times 2m\vert v_x\vert \\ &&=TL^2\times {{n(\vert v_x\vert )}\over {L^3}}m\vert v_x\vert ^2 \end{eqnarray*}となる。つまり、単位時間、単位面積当たりの運動量の変化に直せば、分子の衝突によって壁に生じる圧力が求まり
$${{n(\vert v_x\vert )}\over {L^3}}m\vert v_x\vert ^2$$である。
これは一つの区分に含まれる分子の全体が壁に与える圧力だから、気体分子全体が与える圧力 $p$ はこれらを足し合わせたものであり、次のように書き換えることができる。
\begin{eqnarray*} p&=&\sum _{\vert v_x\vert }{{n(\vert v_x\vert )}\over {L^3}}m\vert v_x\vert ^2\\ &=&{1\over {L^3}}\times mN\times \sum _{\vert v_x\vert }{{n(\vert v_x\vert )}\over N}\vert v_x\vert ^2 \end{eqnarray*}となる。$N$ は容器に含まれる分子の総個数である。
最初の因子は容器の体積の逆数、二番目の因子は気体の全質量、そして最後の因子は $v_x^2$ の平均値である。よって、これを簡単の為に $\langle v_x^2\rangle $ で表せば、
$$壁にかかる圧力={1\over {気体の体積}}\times {気体の質量}\times \langle v_x^2\rangle $$が得られた。
分子の速さ $v$ について三平方の定理により
$$v^2=v_x^2+v_y^2+v_z^2$$が成り立つ。統計的に見て各成分は対等だから
$$\langle v_x^2\rangle =\langle v_y^2\rangle =\langle v_z^2\rangle $$と考えるのが自然であり、よって $v^2$ の平均を $\langle v^2\rangle $ で表せば
$$\langle v^2\rangle =3\langle v_x^2\rangle $$である。
よって
$$壁にかかる圧力={1\over {気体の体積}} {気体の質量}{{\langle v^2\rangle }\over 3}$$となる。これより
$${\sqrt {\langle v^2\rangle }}={\sqrt {3{{(壁にかかる圧力)\cdot (気体の体積)}\over {(気体の質量)}}}}$$が得られる。左辺の値はもちろん、分子の平均的な速さを表すと解釈できる。
右辺の圧力、体積、質量はすべて測定によりわかる。つまりこれで、気体中の分子の大体の速さがわかったことになる。
化学でよく使われる１モルという量の気体は、$0$ 度C、一気圧で $22.4$ リットルの体積を占める。その全質量はその気体の分子量にグラムを付けた値。従って
\begin{eqnarray*} 0度Cでの分子の速さ&=&{\sqrt {3{{(1.0\times 10^6)\cdot (22.4\times 10^3)}\over {(気体の分子量)}}}}\\ &=&{{2.6\times 10^5}\over {\sqrt {気体の分子量}}} {\rm {cm\cdot s^{-1}}} \end{eqnarray*}となる。
例えば空気中の酸素分子の場合、分子量は $32$ だから
$${{2.6\times 10^5}\over {\sqrt{32}}} {\rm {cm\cdot s^{-1}}}=4.6\times 10^2 {\rm {m\cdot s^{-1}}}$$この値は音速を少し超える程度である。強い台風の予報ではよく「最大瞬間風速６０メートル」とか言う。あの時の風速も秒速であり、従って、われわれの周りの酸素分子は台風の風速をはるかにしのぐ速さでわれわれにぶつかっていることになる。
ただしかし、この結果は最初に紹介したジュールの一見解から導かれたものである。もし常日頃、われわれ一人一人が自分の顔に猛烈な速さでぶつかって来る何かを感じているのであれば、その正体が空気中の分子であることをこの計算結果からおそらく確信するはずである。ジュールの見解も、原子や分子の存在も認めたくなり、原子論者の一人になることはほぼ間違いない。ただ如何せん、そのような衝突物を感じたことは一度もない。つまり、この推論の結果を裏付ける経験や手段を、われわれは持っていない。従って推論の前提としたジュールの見解も、その正しさに確信が持てないことになる。これでは『原子をみた』というには程遠い。その実在が信じられるようになるには不十分であり、努力はまだまだ続く。
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