-- 昨年１０月２日の記事でシュレデインガー方程式を解く計算を紹介したのだが、その方程式自体の必然性については何も述べなかった。ただ天下り的に導入しただけだった。今回はその必然性について少し書いてみようと思う --
${\bf {先生}}$： 水素原子に閉じ込められた電子の定常状態、あるいはそのエネルギーが、電子の波としての性質を反映したものであることがわかった。ただその推論は、A君が感じたように、あまり首尾一貫したものではなかった。その原因はおそらく、電子を波として記述するやり方を十分知らないが為と考えられる。そこでその方法を探してみたい。
いきなり原子内の電子を取り扱うのはきっと無謀だ。まず一次元の数直線上を何の力も受けずに運動する粒子を考えよう。その粒子が見せる波としての性質が問題なのだが、光電効果などを通して実証された次の事柄を、推論の出発点に定めよう：『エネルギー $E$ と運動量 $p$ を持つ粒子は、関係式
$$E=h\nu , \hskip 2mm p={h\over {\lambda }}$$によって定まる $\nu $ と $\lambda $ を、それぞれ振動数と波長とする波の性質を見せる。』
上の関係式はアインシュタインの関係式と呼ばれるが、手がかりとしては、今のところ上の関係式しかない。
${\bf {A君}}$： 水素原子内の電子の持つエネルギーの計算を、ニュートン力学と波の性質を併用して行った時には、円軌道を等速で運動する電子に円周に沿うサインカーブの波を付随させてうまくいった。同様に考えて、数直線上を等速で運動する粒子に付随する波としては、サインカーブのような波を考えてみよう。
${\bf {B君}}$： ならばすぐ思いつくのは
$$f(x)=A\sin kx$$だろう。もちろん $\cos $ を使ってもよい。$A$ と $k$ は定数とする。波長 $\lambda $ とは
$$k\lambda =\pm 2\pi $$の関係にある。
${\bf {C君}}$： 時間的に振動する項も入れると
$$f(t, x)=A\sin \omega t\sin kx$$が考えられる。$\omega $ は定数で、振動数 $\nu $ との関係は
$$\omega /(2\pi )=\nu $$だ。
${\bf {A君}}$： C君の $f(t, x)$ の形でもいいが
$$g(t, x)=B\sin (kx-\omega t)$$でも良さそうだ。$f(t, x)$ の場合は波の節が動かないけれども、$g(t, x)$ の場合はそれが動く、つまり進行波を表す：時刻 $t+a$ での変位が、$t, x$ での変位と同じ $x$ の位置、すなわち
$$k(x+b)-\omega (t+a)=kx-\omega t$$である位置 $x+b$ を求めると
$$b={\omega \over k}a=\nu \lambda \times a$$である、よってこの波の山や谷は一秒間に $\nu \lambda $ だけ移動する。移動の方向は $k$ の正負による。
${\bf {先生}}$： いろんな波が候補としてありそうだがアインシュタインの関係式
$$E=h\nu , \hskip 2mm p=h/\lambda $$を満たす波でなくてはいけない。
${\bf {B君}}$： 何の力も受けずに運動しているからエネルギーは運動エネルギーに等しく
$$E={1\over {2m}}p^2$$と考えるべきだ。上の関係式によればこれは波に関する量 $\nu $ と $\lambda $ を用いて
\begin{equation} h\nu ={{h^2}\over {2m}}{1\over {\lambda ^2}} \label{eq:nutolambda} \end{equation}のように書き換えられる。従って、振動数と波長の間にこの関係がある波を取り出す必要がある。
この関係は $\omega $ と $k$ の関係に書き直すと
\begin{equation} {h\over {2\pi }}\omega ={1\over {2m}}\left( {h\over {2\pi }}\right) ^2k^2 \label{eq:omegatoknokankei} \end{equation}となる。
例えばA君が挙げた
$$g(t, x)=B\sin (kx-\omega t)$$の $\omega $ の箇所に (\ref{eq:omegatoknokankei}) から得られる
$$\omega ={1\over {2m}}{h\over {2\pi }}k^2$$を代入して得られる波を考えるとか。
${\bf {C君}}$： 原子内部に閉じ込められた電子にも適用できる方法を見つけることが目的だから、もう少し普遍的な方法を探すべきだと思う。波の式を個別に求めて $\omega $ を置き換えるという方法では、原子内部の電子には役立ちそうにない。
まずすぐ気づくことだが、例えばA君の挙げた
$$g(t, x)=B\sin (kx-\omega t)$$について
$${{\partial ^2}\over {\partial x^2}}g(t, x)=-k^2g(t, x)$$だから、関係式 (\ref{eq:omegatoknokankei})
$${h\over {2\pi }}\omega ={1\over {2m}}\left( {h\over {2\pi }}\right) ^2k^2$$は微分を使って表現できるのではなかろうか。
${\bf {A君}}$： もしその方法を試すなら、左辺の $\omega $ も微分で取り出す必要がある。$t$ で一回微分すると
$${\partial \over {\partial t}}g(t, x)=-\omega B\cos (kx-\omega t)$$となる。残念ながら $\sin $ が $\cos $ に変わってしまった！ もしこれが変わらずに $\sin $ のままであるなら
$${\partial \over {\partial t}}g(t, x)=-\omega g(t, x)$$であり、関係式
$${h\over {2\pi }}\omega ={1\over {2m}}\left( {h\over {2\pi }}\right) ^2k^2$$は $g(t, x)$ についての微分方程式
$$-{h\over {2\pi }}{\partial \over {\partial t}}g(t, x)=-{1\over {2m}}\left( {h\over {2\pi }}\right) ^2{{\partial ^2}\over {\partial x^2}}g(t, x)$$に帰着する。
しかし実際には $\sin $ が $\cos $ に変わるからこの方程式には帰着しない。
${\bf {C君}}$： 複素数を考えることになるが
\begin{equation} j(t, x)=Ce^{i(kx-\omega t)} \label{eq:jtxCeikxomet} \end{equation}なら
$${\partial \over {\partial t}}j(t, x)=-i\omega j(t, x)$$であって、$\cos $ に変わってしまう $\sin $ は現れず、A君が望んだようになる。
$${{\partial ^2}\over {\partial x^2}}j(t, x)=-k^2j(t, x)$$はそのまま成り立つから、この $j(t, x)$ については、関係式
$${h\over {2\pi }}\omega ={1\over {2m}}\left( {h\over {2\pi }}\right) ^2k^2$$は微分方程式
\begin{equation} i{h\over {2\pi }}{\partial \over {\partial t}}j(t, x)=-{1\over {2m}}\left( {h\over {2\pi }}\right) ^2{{\partial ^2}\over {\partial x^2}}j(t, x) \label{eq:ktxnoundou} \end{equation}によって表現できることになる。
${\bf {B君}}$： 少し気になるのだが、
\begin{eqnarray*} j(t, x)&=&Ce^{i(kx-\omega t)}\\ &=&C\left[ \cos (kx-\omega t)+i\sin (kx-\omega t) \right] \end{eqnarray*}であって、この値は一般には複素数になる、その意味では水の波やサイン曲線などとは違って、実数の世界からはみ出しているね。
${\bf {A君}}$： でも $x$ の変化と共に同じ値を繰り返し、更に時間 $t$ の経過とともに振動する、という意味では確かに波だ。そもそも二つの穴を同時に通過できる不思議な実体を理解するための「波」だから、従来の概念に縛られずにやってみよう。
さて、$j(t, x)$ に対しては関係式
$${h\over {2\pi }}\omega ={1\over {2m}}\left( {h\over {2\pi }}\right) ^2k^2$$が微分方程式
$$i{h\over {2\pi }}{\partial \over {\partial t}}j(t, x)=-{1\over {2m}}\left( {h\over {2\pi }}\right) ^2{{\partial ^2}\over {\partial x^2}}j(t, x)$$で表せることがわかったのだが、この微分方程式は $j(t, x)$ に限らず一般の $t, x$ の関数 $\psi (t, x)$ に適用できる形をしている。ならば、少し性急かもしれないが、微分方程式
\begin{equation} i{h\over {2\pi }}{\partial \over {\partial t}}\psi (t, x)=-{1\over {2m}}\left( {h\over {2\pi }}\right) ^2{{\partial ^2}\over {\partial x^2}}\psi (t, x) \label{eq:ih2pipsi} \end{equation}を満たす波 $\psi (t, x)$ こそが、数直線上を何の力も受けずに運動している粒子に付随する波である、と考えてみてはどうだろうか。もちろん、このアイデイアが真理を突いたものであるかどうかは、このアイデイアを発展させてその先に得られる結論が自然現象をうまく説明する、あるいは正しく予言することができるかどうかで決まる、という立場を取る。
${\bf {C君}}$： A君の採用した微分方程式 (\ref{eq:ih2pipsi}) を満たす $\psi (t, x)$ が、粒子の運動の多様性に比べて、あまりに少ないようだと、君のいうことの真実味がうすれる。その辺は大丈夫か。
${\bf {A君}}$： 顕著なことは、この微分方程式が線型であることだ。従って $\psi _1$ と $\psi _2$ がこれを満たせば、それらの和
\begin{equation} \psi _1(t, x)+\psi _2(t, x) \label{eq:psi1+psi2} \end{equation}も満たす。これは非常に都合の良いことではなかろうか。というのは、二つの穴を通り抜ける電子の場合、以前得た結論だが、『同時に両方を通り抜ける』とでも表現せざるを得ない状況が、片方だけを通り抜ける状況以外に存在する。おそらく同じようなことが数直線上を運動する粒子に対しても生じるだろう。つまり、$\psi _1(t, x)$ と $\psi _2(t, x)$ が表す運動以外にそれらを同時に行う運動が存在することになるが、それは和
$$\psi _1(t, x)+\psi _2(t, x)$$で表されると考えれば良い。その意味ではこの微分方程式は現実の要請を満たすほどたくさんの解を持つ。
${\bf {C君}}$： そうならば、A君の方程式
$$i{h\over {2\pi }}{\partial \over {\partial t}}\psi (t, x)=-{1\over {2m}}\left( {h\over {2\pi }}\right) ^2{{\partial ^2}\over {\partial x^2}}\psi (t, x)$$が何を意味しているか少し考えてみよう。左辺は $\psi (t, x)$ を時間について微分した値、右辺は $x$ について微分した値、それぞれからなっている。
推論の糸口を探るためには、以前よく目にした微分方程式を思い出してみるのがよかろう。例えば
$${d\over {dt}}f(t)=af(t)$$のような形があった（$a$ は定数とする）。この解は
$$f(t)=Ae^{at}$$だが（$A$ は任意定数）、そもそもこの微分方程式は、『$t$ の変化につれて $f(t)$ がどう変化するか』を教えてくれるものだった：$\Delta t$ が小さな値であれば
$$f(t+\Delta t)=f(t)+\Delta t{d\over {dt}}f(t)=f(t)+\Delta t\times af(t)$$が $\Delta t$ の二次以上を無視する時成り立つことになる。よって $t$ での $f(t)$ の値がわかれば少し先 $t+\Delta t$ での $f(t+\Delta t)$ の値がわかることになる。任意の $d$ に対して $f(t+d)$ の値を $f(t)$ の値から求めるためには、この微小な操作を何回か繰り返し、その回数を無限に多くする極限を考えればよかった。何故ならば、その極限において $\Delta t$ の二次以上の効果は消滅するから。従って、例えば $t=0$ での初期値 $f(0)$ を指定すれば、すべての $t$ について $f(t)$ が決まってしまう。
${\bf {B君}}$： なるほど！そう考えると微分方程式
$$i{h\over {2\pi }}{\partial \over {\partial t}}\psi (t, x)=-{1\over {2m}}\left( {h\over {2\pi }}\right) ^2{{\partial ^2}\over {\partial x^2}}\psi (t, x)$$は、変数が一つ増えてはいるが、同じことを意味しているようだ。つまり、各 $x$ に対し、$t+\Delta t$ での
$$\psi (t+\Delta t, x)$$の値が、$t$ での $\psi (t, x)$ の値がわかればわかることになる。ただ、最初に固定した $x$ についての $\psi (t, x)$ だけでは駄目で、その近傍の $x$ についても $\psi (t, x)$ がわかってなくてはいけない。何故なら $x$ についての導関数の値が必要だから。
従って、例えば $t=0$ について
$$\psi (0, x) \hskip 2mm (-\infty < x < +\infty )$$が与えられると、任意の $(t, x)$ についての $\psi (t, x)$ が、この微分方程式によって決定されることになる。
${\bf {C君}}$： 時刻 $t=0$ での「初期状態」が $\psi (0, x)$ で表され、その後の時刻 $t$ での状態が $\psi (t, x)$ で表される、この微分方程式はその時間的変化を決定する方程式だと解釈できるね。
${\bf {先生}}$： １９２０年代に物理屋さんたちも同じ方程式
\begin{equation} i{\hbar }{\partial \over {\partial t}}\psi (t, x)=-{{\hbar ^2}\over {2m}}\left( {h\over {2\pi }}\right) ^2{{\partial ^2}\over {\partial x^2}}\psi (t, x) \label{eq:schoroequ} \end{equation}に到達した。但し、新しい記号
$$\hbar ={h\over {2\pi }}$$を使った。「エイチバー」と読む。この方程式は発見者の一人にちなんでシュレデインガー方程式と呼ばれている。
${\bf {A君}}$： C君のように解釈するのであれば、ある瞬間での粒子の状態は $x$ の関数で表されると考えるのが妥当だ。例えば
$$e^{ikx}, \hskip 2mm \sin kx, \hskip 2mm \cos kx$$のように色々ある。どういう状態がどういう関数で表されるかが、次の問題かな。
例えばエネルギーがある値 $E$ である状態にはどんな関数が対応するのだろうか。
${\bf {B君}}$： 今考えている粒子ではエネルギーは運動エネルギーだけだから、
$$E={1\over {2m}}p^2$$と書ける。$p$ は運動量とする。ここでアインシュタインの関係式により $p$ は波の波長 $\lambda $ と結びついて
$$p=h/\lambda $$でなくてはいけない。よって
$$E={{h^2}\over {2m}}{1\over {\lambda ^2}}$$となる。
波長が場所によらず一定値 $\lambda $ である関数としては、例えば $\sin kx$ がある。但し
$$k\lambda =\pm 2\pi $$を満たす。この関数に対しては
$${{d^2}\over {dx^2}}\sin kx=-k^2\sin kx=-{{(2\pi )^2}\over {\lambda ^2}}\sin kx$$従って
$$-{{\hbar ^2}\over {2m}}{{d^2}\over {dx^2}}\sin kx=E\sin kx$$が成り立つ。
${\bf {A君}}$： つまりB君は
$$-{{\hbar ^2}\over {2m}}{{d^2}\over {dx^2}}\psi (x)=E\psi (x)$$を満たす関数 $\psi (x)$ が、エネルギーが $E$ である状態を表す関数だと言いたいのだな。ただ、上の等式を満たす関数はたくさんありそうだ。例えば、$k$ と $\lambda $ の間に同じ関係があれば、
$$\cos kx, \hskip 2mm e^{ikx}$$などが満たす。
${\bf {C君}}$： 同じ $E$ であっても
$$E={1\over {2m}}p^2$$だから運動量に正負の自由度がある。つまり右へ向かう状態と左へ向かう状態の二つがあっていい。
${\bf {B君}}$： ということは運動量 $p$ の状態にどんな関数が対応するかを見る必要があるね。$p$ に正負を考えれば
$$\vert p\vert ={h\over {\lambda }}={\hbar }\vert k\vert $$だから、
$$\sin kx=\sin px/{\hbar }$$とも書き直せる。この時
$${d\over {dx}}\sin px/{\hbar }={p\over {\hbar }}\cos px/{\hbar }$$となる。うーん、弱った！
${\bf {C君}}$： またしても $\sin $ が $\cos $ に変わったね。もし変わらなければ、
$${\hbar }{d\over {dx}}\sin px/{\hbar }=p\sin px/{\hbar }$$となるから、
$${\hbar }{d\over {dx}}\psi (x)=p\psi (x)$$を満たす関数 $\psi (x)$ を「運動量 $p$ の状態を表す関数」と、B君は定義するつもりだった。でも実際には $\sin $ が $\cos $ に変わってしまって出鼻をくじかれた、きっとそうだろう。
${\bf {B君}}$： よくわかってるね！
${\bf {C君}}$： 以前同じようなことがあって複素数の世界へ逃げるとうまくいった。今回も
$$e^{ikx}=e^{ipx/{\hbar }}$$を考えるとB君の筋書き通りに進む。というのは
$${{\hbar }\over i}{d\over {dx}}e^{ipx/{\hbar }}=pe^{ipx/{\hbar }}$$だから、等式
\begin{equation} {{\hbar }\over i}{d\over {dx}}\psi (x)=p\psi (x) \label{eq:pnoenzan} \end{equation}を満たす関数 $\psi (x)$ を「運動量 $p$ の状態を表す関数」と定めればよい。
等式 (\ref{eq:pnoenzan}) は一階の簡単な微分方程式であって
$$\psi (x)=Ae^{ipx/{\hbar }}$$以外に解はない。ここで $A$ は任意の定数であり、初期値 $\psi (0)$ に等しい。
${\bf {A君}}$： つまり、$E=p^2/2m$ の時
$$-{{\hbar ^2}\over {2m}}{{d^2}\over {dx^2}}\psi (x)=E\psi (x)$$を満たす $\psi (x)$ がエネルギー $E$ の状態を表す関数なのだが、その内で更に
$${{\hbar }\over i}{d\over {dx}}\psi (x)=p\psi (x)$$を満たす関数が運動量 $p$ の状態を表すと考えるのだな。
この二条件を満たす関数は、定数倍の自由度を無視すれば、唯一つ
$$e^{ipx/{\hbar }}$$しかない。エネルギー $E=p^2/2m$ の状態が、運動量 $p$ の値を定めれば（もちろん正負も込めて）、右に飛んでるか左に飛んでるかによって一通りしか、物理的には考えられないことと、確かにつじつまが合ってる。定数倍の自由度が少し気になるが、『ある関数を定数倍しても、もとの関数と同じ状態を表す』と約束すれば問題なさそうだ。万事順調にいってるように感じる。
${\bf {B君}}$： 僕が一時考えた
$$\sin kx=\sin px/{\hbar }$$については、どんな状態を表す関数だと解釈すればよいのか。微分方程式
$$-{{\hbar ^2}\over {2m}}{{d^2}\over {dx^2}}\psi (x)={1\over {2m}}p^2\psi (x)$$を満たすから、エネルギー $p^2/2m$ の状態を表すとは言える。しかし
$${{\hbar }\over i}{d\over {dx}}\psi (x)=p\psi (x)$$は満たさない。従って運動量 $p$ の状態には対応しないことになる。しかし、直観的には、$p^2/2m$ のエネルギーを持って（等速直線）運動する粒子は必ず $\pm \vert p\vert $ の一方の運動量を持つと考えられる。この点、現実に起きていることと矛盾していないのだろうか。
${\bf {A君}}$： $\sin kx$ については
$$\sin kx={1\over {2i}}\left[ e^{ikx}-e^{-ikx}\right] $$が成り立つ。一方、関数の和
$$\psi _1(x)+\psi _2(x)$$は、$\psi _1$ と $\psi _2$ が表す状態の双方に粒子が同時に居ることを表す、と以前約束した。その約束に従えば（そして定数倍は状態を変えないと考えるなら）、運動量 $p$ の状態と $-p$ の状態の双方に粒子がいる状態が $\sin px/\hbar $ によって表される、と言えるが、どうだろうか。
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