アインシュタイン達の論文に対して、すぐさまボーアが反応した。今回はその内容について紹介する：アインシュタイン達は次のベクトル（座標変数 $x_A, x_B$ の関数だが）で表される状態にある粒子の対を考えた。
$$\psi (x_A, x_B)=\int _{-\infty }^{\infty }e^{i(x_A-x_B+x_0)p/{\hbar }}dp$$$x_A, x_B$ はそれぞれアリスとボブのもとへ飛ぶ粒子の座標、$x_0$ は定数である。この式で記述される粒子対については、それぞれの運動量を $p_A, p_B$ で表せば
\begin{equation} x_B=x_A+x_0, \hskip 3mm p_B=-p_A \label{eq:xBxApBpA} \end{equation}の関係が常に成り立つ。従ってアリスは、$x_A$ を測ることによってボブの粒子の位置 $x_B$ をいくらでも正確に知ることができる。しかも、ボブからずっと遠く離れてアリスが測定をするのであれば、彼女の行為はボブの粒子には何の影響も及ぼさないはずである。よってボブの粒子は、アリスの測定行為とは関係なく、明確な位置を備えていると考えてよい。
同様にアリスは、$p_A$ を測ることによってボブの粒子の運動量 $p_B$ を正確に予言できる。しかも、その粒子をまったく攪乱することなくである。よってボブの粒子は明確な運動量をも備えていると考えられる。もちろん、アリスが位置を測定するが為の装置を運動量測定の装置に置き換えたからと言って、そのような行為もボブの粒子の性質を乱さないはずだから、正確な位置座標を備えているという性質も変化することはなく、よってボブの粒子は、位置と運動量の双方の正確な値を有していることになる。
これは、位置と運動量の値を正確に知ることが互いに他を排斥することを主張しているハイゼンベルグの不確定性関係
$$\Delta x\cdot \Delta p\geq {\hbar \over 2}$$に明らかに反している。
以上が、EPR 論文の主要な論点である。アインシュタインの想いは、自分達の実在性に関する二つの前提は確かだから、量子力学が基礎を置くハイゼンベルグの不確定性関係の方が自然を正確に反映していない、というものだったと考えられる。
さて、これに対するボーアの反応だが、本人の論文、それにヤンマーの「量子力学の哲学」をどう読んでみても、論点が噛み合っていないとしか思えない。ボーアの頭の中にはおそらく、量子力学の正しさに対する絶対的な信頼があり、アインシュタイン達の採用した実在に対する考え方の方が、自然を反映していないという確信があったためと考えられる。
ボーアは次のように言う：微視的な対象の「状態」とは、その対象だけに依存して考えられるものではなく、その対象を観測するための巨視的な測定装置にも依存する。実在性を持つ属性は、ミクロな対象がそれだけで有しているものではなく、その属性を測定するための巨視的な観測装置が関与して初めて意味を成す。例えば、アリスが自分のもとへやって来る粒子の位置を測定してボブの粒子の位置を予測する時を考えてみる。この際アリスは、空間内の位置を定めるための巨視的な枠組みを固定し、粒子をそれと相互作用させることになる。しかしこの時、アリスの粒子から制御不能な運動量がこの枠組みへ移ることになり、二粒子の運動量を考えることが、従ってボブの粒子の運動量を考えることもできなくなる。運動量 $p_A$ を測定する場合も同じで、$x_B$ を推測するための基盤がすべて失われる。この時、位置という属性は存在するけれども正確に測ることができないという意味ではなく、その属性自体が存在しないと考えるべきなのである。
どう考えてみても、この反論の中にはハイゼンベルグの不確定性関係が明らかなこととして仮定されている。この関係が実在性に関するある前提に反しているという意見に対して、その関係を正しいと仮定して反論してみても、あまり説得力はないように思う。実際、ヤンマーによれば、三人の著者たちは終始、彼らの論拠を物理的実在の量子力学的記述の不完全性に対する決定的な証拠とみなし、それを捨てることはなかったそうである。ちなみに、アインシュタインの没年は 1955 年であり、ベルの不等式が世に出たのは 1964 年、それが成り立っていないことが実験によって確認されたのは、更に後の 1982 年であった。
位置と運動量よりも光子の偏極の方が考えやすいので、再び光子に戻ろう。アインシュタイン達は、もし自分たちの論拠が間違っているというのであれば、アリスの測定行為が遠く離れたボブの光子の属性を瞬時の内に変化させることになるという点を、暗に訴えている。ボーアはこの点については - 理由は分からないが - 何ら言及していない。この点を量子力学の言葉を使って正確に表すと以下のようになる：偏極方向が常に直交する光子対、つまり
$${\bf a}={1\over {\sqrt 2}}\left( {\bf b}_A\otimes {\bf b}'_B-{\bf b}'_A\otimes {\bf b}_B\right) $$の状態にある二つの光子を考える。但し ${\bf b}$ は水平方向の長さ $1$ のベクトル（光の進行方向に直交する）とし、${\bf b}'$ はそれに直交するベクトルとする。
$${\bf b}_A\otimes {\bf b}'_B$$はアリスのもとへやって来る光子が ${\bf b}$ の方向に偏極した状態にあり、ボブのもとへ飛ぶ光子が ${\bf b}'$ の方向へ偏極した状態にあることを示す。何度も繰り返したことだが、水平とは限らないベクトル ${\bf c}$ についても ${\bf a}$ は同じ形
$${\bf a}={1\over {\sqrt 2}}\left( {\bf c}_A\otimes {\bf c}'_B-{\bf c}'_A\otimes {\bf c}_B\right) $$で表される。
アリスが水平方向と垂直方向に光子を分ける方解石に自分の光子を通し、各光子が水平、あるいは垂直のどちらに偏極して通過するかを観測し始めたとする。ある光子が水平方向に偏極してアリスの装置を通過するなら、その片割れの光子はボブの装置を必ず垂直に偏極して通過する。つまり、${\bf b}'$ の状態にあることになる。また、垂直に偏極してアリスの方解石を通過するなら、遠く離れた片割れの光子は ${\bf b}$ の状態にあることになる。従ってアリスがその装置を使っている限り、ボブの各光子の状態は
$${\bf b}, \hskip 2mm {\bf b}'$$のいずれかである。アリスの光子が水平に偏極するか垂直に偏極するかはまったく確率的でランダムなので、ボブの光子の状態もランダムに、半々の確率でどちらかになる。
さて、ある時、アリスが方解石を少し傾けて、別の方向 ${\bf c}, {\bf c}'$ の偏極を測定することを始めたとしよう。するとその時から、ボブの各光子の状態が
$${\bf c}, \hskip 2mm {\bf c}'$$のいずれかに変わることになる。量子力学によればこの変化は瞬時に、アリスが装置を置き換えた途端に、起きることになっている。ボブの光子がアリスからいくら遠く離れていたとしてもである。
例えば ${\bf c}$ が $+45$ 度の方向を向くベクトルであるなら、
$${\bf c}={1\over {\sqrt 2}}\left( {\bf b}+{\bf b}'\right) , \hskip 2mm {\bf c}'={1\over {\sqrt 2}}\left( -{\bf b}+{\bf b}'\right) $$であり、
$${\bf b}, \hskip 2mm {\bf b}'$$から
$${\bf c}, \hskip 2mm {\bf c}'$$への変化は、状態の明らかな変化、従って属性の明らかな変化であるように思われる。片割れの光子がアリスからたとえ何光年も離れた位置にあったとしても、アリスが方解石を傾け始めると同時に、この変化が起きるというのである。そんなことがすぐに信じられるだろうか。
信じられない理由がどこにあるかというと、例えば、${\bf b}, {\bf b}'$ の状態は「$0$」を表し、${\bf c}, {\bf c}'$ の状態は「$1$」を表すと二人の間で約束しておけば、アリスはボブに信号を送ることができる点にある。すべての文字は $0$ と $1$ の連なりによって表現できるからである。すると瞬間的に遠方に信号を送ることが可能になり、アインシュタインの原理『すべての物体、信号、情報等の伝播の速さが光速を超えることはない』に反することになる。
何が間違っているのであろうか。量子力学もアインシュタインの原理も、共にそう簡単に揺らぐようなものではない。となるとまず疑うべきは、われわれの解釈である。おそらく、ボブの光子の状態が ${\bf b}, {\bf b}'$ から ${\bf c}, {\bf c}'$ へ変化すると言っても、それは単なる見かけだけのものであって、実質的な変化ではないのであろう。例えば、この変化を認識する手段をボブは持ち合わせていない、ということが考えられる。つまり、ボブが自分の光子に対して行い得る実験、あるいは測定では、この二つの状況を区別することはできないのではなかろうか。
ボブが自分の光子に対してできる実験や観察には何があるかを考えてみよう。まずすぐに思いつくのは、自分のもとへやって来る光子を偏光板に通し、その偏光板の方向に偏極して通過する光子の個数を数えることである。つまり、長さ $1$ の何らかのベクトル ${\bf f}$ を選び、やって来る光子が ${\bf f}$ の方向に偏極する確率を測定することである。
まず量子力学を使って上記の確率を計算してみる。
$${\bf b}, \hskip 2mm {\bf b}'$$のどちらかにある状況だと
$${1\over 2}\Bigl( \vert ({\bf b}, {\bf f})\vert ^2+\vert ({\bf b}', {\bf f})\vert ^2\Bigr) $$である。これを $P_b$ で表す。最初に因子 $1/2$ を置いたのは、${\bf b}$ あるいは ${\bf b}'$ の状態にボブの光子がいる確率がそれぞれ $1/2$ だからである。同様に
$${\bf c}, \hskip 2mm {\bf c}'$$のどちらかにある状況だと
$$P_c={1\over 2}\Bigl( \vert ({\bf c}, {\bf f})\vert ^2+\vert ({\bf c}', {\bf f})\vert ^2\Bigr) $$である。
もし $P_b=P_c$ であるなら、この偏光板を用いる実験では二つの状況をボブは区別できないことが、量子力学からは導かれることになる。実はこの等式が証明できる；${\bf c}$ と ${\bf c}'$ が長さが $1$ の互いに直交するベクトルであることから
$${\bf c}=\cos \theta {\bf b}+\sin \theta {\bf b}', \hskip 2mm {\bf c}'=-\sin \theta {\bf b}+\cos \theta {\bf b}'$$となる角 $\theta $ が存在する。従って
$$({\bf c}, {\bf f})=\cos \theta ({\bf b}, {\bf f})+\sin \theta ({\bf b}', {\bf f})$$であり、よって
\begin{eqnarray*} \vert ({\bf c}, {\bf f})\vert ^2&=&({\bf c}, {\bf f})({\bf c}, {\bf f})^*\\ &=&\cos ^2\theta \vert ({\bf b}, {\bf f})\vert ^2+\cos \theta \sin \theta ({\bf b}, {\bf f})({\bf b}', {\bf f})^*\\ &&\hskip 3mm +\sin \theta \cos \theta ({\bf b}', {\bf f})({\bf b}, {\bf f})^*+\sin ^2\theta \vert ({\bf b}', {\bf f})\vert ^2 \end{eqnarray*}である。同様に
\begin{eqnarray*} \vert ({\bf c}', {\bf f})\vert ^2&=&\sin ^2\theta \vert ({\bf b}, {\bf f})\vert ^2-\sin \theta \cos \theta ({\bf b}, {\bf f})({\bf b}', {\bf f})^*\\ &&\hskip 3mm -\cos \theta \sin \theta ({\bf b}', {\bf f})({\bf b}, {\bf f})^*+\cos ^2\theta \vert ({\bf b}', {\bf f})\vert ^2 \end{eqnarray*}である。これら二式を加えることにより
$$P_c=P_b$$が得られる。
量子力学と実際の現象との間の齟齬が、これまで何一つ見出されていないことから判断して、現実の世界でもこの等式が成り立つものと推測できる。よって、偏光板を用いるこの実験では、二つの状況の間の区別をボブはできないことになる。
他に、この状況を区別するためにボブのできる実験や測定が何かあるだろうか。単なる偏光板ではなく方解石を通過させて、互いに直交する方向の一方に何発、他方に何発の光子が偏極して通過するかを数える実験もできる。しかし、入射する各光子は必ずどちらかに偏極して通過するのだから、結局一枚の偏光板でする実験で代用できる。
もちろん、アリスとの間で何か連絡を取り合いながらする実験も考えられる。しかしその種の実験は今は問題外である。というのは、アリスが測定装置を変えることによりボブに信号を送ることができるかを問題にしているのであって、電話や電報の助けを借りることは考慮する必要がないからである。
ボブが自分の居場所で、自分の光子に対してする実験や測定に限定する限り、偏光板を使う実験以外に、少なくとも私には思いつくものがない。実際に、もしないのであれば、従ってアリスが自分の方解石をどう傾けて使おうが、ボブが検出できるような変化はボブの光子に起きない、という結論になる。実は、これまで一貫して
$${\bf a}={1\over {\sqrt 2}}\left( {\bf b}_A\otimes {\bf b}'_B-{\bf b}'_A\otimes {\bf b}_B\right) $$の状態にある光子対を考えてきたのだが、これ以外のどんな状態にある光子対に対しても上の結論は得られる。よって、どんな信号であっても、瞬時の内に離れた地点に到達することはないという、アインシュタインの原理はやはり破れていない。
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