四方山話 (量子消しゴム - その参)(2022年1月28日）
前回は次の装置の左側から、${\bf a}$ の方向に偏極した光子を一発ずつ入射する実験を考えた。
方解石の結晶 $\Gamma $ と ${\overline \Gamma }$ の間に検出器を置かない限り、光子は直進、あるいは少し屈折する経路の両方を同時にたどり、${\overline \Gamma }$ によって再び合体して装置を抜ける。装置の右側に偏極の方向が ${\bf c}$ である偏光板を置くと、光子が最終的に ${\bf c}$ の状態に転移する確率振幅は（図の $?$ の位置での光子の状態が ${\bf a}$ であることから）
\begin{equation} ({\bf a}, {\bf c})=({\bf a}, {\bf b})({\bf b}, {\bf c})+({\bf a}, {\bf b}')({\bf b}', {\bf c}) \label{eq:acnotenkaisi} \end{equation}に等しい。但し、${\bf b}, {\bf b}'$ は、方解石 ${\Gamma }$ を抜けた後の光子を測定した場合の、その偏極方向とする。それらは互いに直交している。
(\ref{eq:acnotenkaisi}) 式は何か意味深長な趣きがある：光子が初期状態から終状態へ転移する際、途中に経由する状態が幾つかある時には、経由する状態それぞれについて、初期状態からそこまでの確率振幅とそこから終状態までの確率振幅の積を考え、経由するすべての状態について足し合わせたものが、初期状態から終状態までの確率振幅に等しい、(\ref{eq:acnotenkaisi}) 式はそれを意味している。
この解釈にできるだけ自信を持ちたいので、最も簡単な、経由する状態が一通りの場合にもこの解釈が正しいことを確認しておこう：${\bf a}$ 方向の偏光板と ${\bf c}$ 方向の偏光板の間に ${\bf b}$ 方向の偏光板を挟んだ場合、${\bf a}$ の状態の光子が ${\bf c}$ の状態へ転移する確率振幅を求めたい。途中で経由する状態は ${\bf b}$ のみだから、そこで実際に ${\bf b}$ に転移すると考えるべきだろう。その ${\bf b}$ の光子が ${\bf c}$ の偏光板へ向かう訳だから、従って ${\bf a}$ から ${\bf c}$ へ転移する確率は
$$\vert ({\bf a}, {\bf b})\vert ^2\times \vert ({\bf b}, {\bf c})\vert ^2$$であり、よってその確率振幅は
$$({\bf a}, {\bf b})({\bf b}, {\bf c})$$と考えられる。これは、上で採用した解釈がこの状況でも正しいことを示している。
例えば ${\bf a}$ と ${\bf c}$ が直交する場合、それら二枚だけを重ねる場合は ${\bf a}$ から ${\bf c}$ へ抜ける光はない。しかし、それらに対して $45$ 度傾けた偏光板を二枚の間に挟むと、${\bf a}$ だけ一枚の場合に比して光の強さは $1/4$ 程度に減じるけれども、${\bf c}$ の方へ抜けることが確かめられる。従ってこの状況での ${\bf a}$ から ${\bf c}$ への確率振幅は $1/2$ だと推測される。途中に挟んだ偏光板の方向を ${\bf b}$ で表すと
$$({\bf a}, {\bf b})({\bf b}, {\bf c})={1\over {\sqrt 2}}{1\over {\sqrt 2}}={1\over 2}$$であり、確かに現実と合っている。
さて、最初に挙げた方解石の装置からはもう一つ学ぶべきことがある：話を簡単にする為だが、${\bf b}, {\bf b}'$ はそれぞれ水平と垂直方向とし、${\bf a}$ と ${\bf c}$ を
$${\bf a}={1\over {\sqrt 2}}\pmatrix{ 1 \cr 1}, \hskip 3mm {\bf c}=\pmatrix{\cos \theta \cr \sin \theta }$$とする。$\theta $ は任意の角度である。
この時 ${\bf a}$ の状態で装置の左から入射する光子が右側に ${\bf c}$ の状態になって現れる確率振幅は
$$({\bf a}, {\bf b})({\bf b}, {\bf c})+({\bf a}, {\bf b}')({\bf b}', {\bf c})={1\over {\sqrt 2}}\cos \theta +{1\over {\sqrt 2}}\sin \theta $$である。従ってその確率は上の確率振幅の絶対値の二乗であり、
\begin{equation} {1\over 2}+{1\over 2}\sin 2\theta \label{eq:sinpukunoni} \end{equation}に等しい。この第一項は
$$\vert ({\bf a}, {\bf b})({\bf b}, {\bf c})\vert ^2$$と
$$\vert ({\bf a}, {\bf b}')({\bf b}', {\bf c})\vert ^2$$の和である。つまり、${\bf b}$ あるいは ${\bf b}'$ へいったん転移して後 ${\bf c}$ へ転移する確率である。それに対し第二項は、二つの経路に対応する確率振幅の積から決まる項で、それらが互いに『干渉する』ことを表している。$\theta $ に依存してこの値は正にも負にもなるが、正の時には第一項の値に付け加わり、負の時にはそれを減らす効果を持つ。
さて、1月23日の記事で挙げた次の図の実験で、スクリーンに縞模様が現れる現象を、ここまでに得た知見を活用して説明できないか、考えてみよう。
光源から光子が一発ずつ二重スリット（二つの窓）へ向けて発射され、スリットを通過した光子はその先にあるスクリーン上で検出されるという実験である。光源を出発した光子がスクリーン上のどこかの点で検出されるまでには、途中で経由する経路が二つある。従って、これまで考えてきた手法が使えそうである。
光子が空間内のどこかの点を占めるという事柄も、光子の状態の一つと考えられるから、光源を出た光子がスクリーン上の点 $X$ に到達する確率を考えることができるはずである。絶対値の二乗がその確率に等しいという意味での確率振幅を $\psi (X)$ で表す（一般には $\psi (X)$ は複素数である）。もちろんこれだけの条件で $\psi (X)$ が一意的に決まるわけではない。もう少し詳細な物理的知識を持っていれば正確に定義できるが、ここでの目的は数学的な推論を楽しむことである。全体像をつかんでから、もし必要であればもう一度考え直すことにして、ここではその存在を仮定し先へ進もう。
方解石の装置に光子を通す実験で得られた知見によれば、$\psi (X)$ は
\begin{equation} \psi (X)=\psi _1(X)+\psi _2(X) \label{eq:psiXnohyouji} \end{equation}の形で表すことができると予想される。ここで $\psi _1(X)$ は、光源を出た光子がスリットの一方（これをスリット $1$ で表す）を通過して、その後スクリーン上の点 $X$ に到達する確率振幅を表す。$\psi _2(X)$ はスリット $2$ を経由する場合の確率振幅である。
光源を出た光子が点 $X$ に到達する確率を $P(X)$ で表すと
$$P(X)=\vert \psi (X)\vert ^2$$だから
\begin{eqnarray} P(X)&=&\left( \psi _1(X)+\psi _2(X)\right)\left( \psi _1(X)+\psi _2(X)\right) ^*\nonumber \\ &=&\left( \vert \psi _1(X)\vert ^2+\vert \psi _2(X)\vert ^2\right) +2{\rm {Re}}\left( \psi _1(X)\psi _2(X)^*\right) \label{eq:PXnotenkai} \end{eqnarray}となる。但し、$*$ は複素共役を表し、${\rm {Re}}$ はその後に続く複素数の実数部を表す。
(\ref{eq:PXnotenkai}) 式の第一項は、光源を出発した光子がいったん $1$ あるいは $2$ のスリットを経由して後、点 $X$ に到達する確率を表す。一方のスリットを通過する光子は、スクリーン上のある広がりを持つ領域に大体均等に行きつくであろうから、第一項の示す確率も、その領域の点 $X$ について大体同じ値を取るであろう。以前導いた式 (\ref{eq:sinpukunoni}) の第一項が定数 $1/2$ であったことに似ている。それに対し第二項は、二つの経路に対応する確率振幅の干渉を表す項であり、$X$ のありかによって正になったり負になったりするであろう。もし正であれば、第一項の値をさらに増やし、すなわちそこへ到達する光子は多くなり、もし負であれば第一項の値を減じることになる、つまりそこへ到達する光子は減ることになる。こうしてスクリーン上に、光子のたくさん来る点とそうでない点の区別が生じ、縞模様として現れると考えられる。
さていよいよ、量子消しゴムの現象をベクトルの言葉と論理でもって考えてみよう。
この図は（次の図も含めて）「日経サイエンス」2012年3月号掲載の「光子の逆説」（谷村省吾著）の p.37 からコピーさせてもらった。この図の実験は、1月23日の記事の中で私自身がした実験で言えば、針の両側に水平方向と垂直方向の偏光板を置きレーザーを照射する実験に等しい。この実験で、後方のスクリーン上に縞模様が現れることはなかった。この時には、スクリーンに到達する光子は皆、水平か垂直かに偏極しているはずである。つまり、どちらのスリットを通過してきたかの目印が刻まれていることになる。よって、片方だけを通過してきた光子が作る点の分布を二つ合わせた分布が得られること、縞模様も現れないことが、納得できると思う。
不思議なのは、次の図の実験で縞模様が復活する点である（右下の小さな枠内の実験には後で触れる）。
すなわち、スリットとスクリーンの間に斜め $45$ 度方向の偏光板を挿入すると、スクリーン上に縞模様が復活する。挿入された偏光板を通過することにより、光子にそれまでついていた目印が消されてしまうが為と解釈できる。がしかし、スリットの一方を通過したことを示す目印が消えてなくなることと、その事実そのものがなくなることとは、全く別物のような気がして、少なくとも私は大きな戸惑いを感じる。要するに、われわれが「事実」という言葉で言い表す事柄には、その強固さに段階があって、簡単に取り消され得る段階と、そうでなく明確に確立された段階の別があることを、この実験は示唆しているように感じる。もしそうであるなら、その境界はどこにあるのだろうか。
そこで、何か手掛かりが得られることを期待して、この実験を確率振幅を用いて書いてみよう：光源を出る光子は、話を単純にするためだが、$+45$ 度の方向
$${\bf a}={1\over {\sqrt 2}}\pmatrix{ 1 \cr 1}$$の方向に偏極しているとする。${\bf b}$ と ${\bf b}'$ を水平と垂直方向のベクトルとし、${\bf c}$ を $\theta $ 方向のベクトル
$${\bf c}=\pmatrix{ \cos \theta \cr \sin \theta }$$とする。途中に挿入する偏光板の偏極方向を表すベクトルだが、上の図の右下の小さな枠内の実験に後で触れるために、一般の角度 $\theta $ で計算を進める。
光源を出発した光子が、最終的に ${\bf c}$ 方向へ偏極してスクリーン上の点 $X$ に現れる確率振幅を求めたい、以下ではこれを $\psi (\theta , X)$ で表す。途中経由する経路は二通りあるので、これまでの方針通り、それらの経路に対応する確率振幅の和で表すことを考える。
光源を出た光子が水平な方向の偏光板でふさがれたスリット（これをスリット $1$ とし、他方を $2$ とする）を通過して ${\bf b}$ 方向に転移した後、挿入された偏光板も通過してスクリーン上の点 $X$ に到達する確率振幅は、
\begin{equation} \psi _1(X)\times ({\bf a}, {\bf b})({\bf b}, {\bf c})={1\over {\sqrt 2}}\cos \theta \psi _1(X) \label{eq:1bnosinpuku} \end{equation}だと考えられる。ここで $\psi _1(X)$ は (\ref{eq:psiXnohyouji}) 式で用いたものであり、光源を出た光子がスリット $1$ を通過して後、点 $X$ に至る確率振幅である。偏極方向に関する振幅と何故かけ合わせたかと言うと、積事象の確率がそれぞれの確率の積なので、確率振幅も積になると考えたからである。同様にもう一方のスリットを通過し、最後の偏光板も通過して点 $X$ に到達する振幅は
\begin{equation} \psi _2(X)\times ({\bf a}, {\bf b}')({\bf b}', {\bf c})={1\over {\sqrt 2}}\sin \theta \psi _2(X) \label{eq:2bdashsinpuku} \end{equation}に一致する。よって
\begin{equation} \psi (\theta , X)={1\over {\sqrt 2}}\left( \cos \theta \psi _1(X)+\sin \theta \psi _2(X)\right) \label{eq:psithetaX} \end{equation}が得られる。
もし挿入される偏光板の方向が $+45$ 度であるならば $\theta =\pi /4$ を代入して
$$\psi (\theta =\pi /4, X)={1\over 2}\left( \psi _1(X)+\psi _2(X)\right) $$である。従って、光源を出た光子が偏光板を通過してスクリーン上の点 $X$ に現れる確率は
\begin{equation} \vert \psi (\theta =\pi /4, X)\vert ^2={1\over 4}\Bigl[ \left( \vert \psi _1(X)\vert ^2+\vert \psi _2(X)\vert ^2\right) +2{\rm {Re}}\left( \psi _1(X)\psi _2(X)^*\right) \Bigr] \label{eq:+45donobaai} \end{equation}である。これは、偏光板を貼り付けない、単なる二重スリットに光子を当てる実験の結果 (\ref{eq:PXnotenkai}) 式と、最初の因子 $1/4$ を除いて（これは、光子が二度偏光板を通過することから当然付くべき因子である）、ぴったり一致している。従って、かなり暗くはなるが、縞模様が現れることになる。
ここで少し脇道にそれるが、ここまでの推論がひどくは間違っていないことを確かめるために、上の図の右下枠内の実験について考えてみたい。この実験は、スリットとスクリーンの間に挿入する偏光板の向きを $+135$ 度の方向へ変えると、縞模様がずれること、つまり、$+45$ 度の場合に沢山の光子がやって来た場所には少ない光子しかやって来なくなり、逆に少なくしかやって来なかった個所に今度は沢山の光子がやって来るようになることを、示している。この実験事実をこれまでの手法で説明できれば、確率振幅に対するわれわれの推論に自信が持てる。
光源を出た光子が、挿入された $+135$ 度の偏光板も通過してスクリーン上の点 $X$ に到達する確率は、(\ref{eq:psithetaX}) 式に $\theta =3\pi /4$ を代入して絶対値の二乗を取れば得られる。結果は
$$\vert \psi (\theta =3\pi /4, X)\vert ^2={1\over 4}\Bigl[ \left( \vert \psi _1(X)\vert ^2+\vert \psi _2(X)\vert ^2\right) -2{\rm {Re}}\left( \psi _1(X)\psi _2(X)^*\right) \Bigr] $$である。
これを $+45$ 度の場合の結果 (\ref{eq:+45donobaai}) 式
$$\vert \psi (\theta =\pi /4, X)\vert ^2={1\over 4}\Bigl[ \left( \vert \psi _1(X)\vert ^2+\vert \psi _2(X)\vert ^2\right) +2{\rm {Re}}\left( \psi _1(X)\psi _2(X)^*\right) \Bigr] $$と比べると、二つの経路の間の干渉を表す項
\begin{equation} 2{\rm {Re}}\left( \psi _1(X)\psi _2(X)^*\right) \label{eq:kansyoukou} \end{equation}の前の符号が異なるだけである。
仮にある点 $X$ において、この干渉項の値が正であるとしてみよう。すると、挿入する偏光板の向きが $+45$ 度の時には、背景を成す
$$\vert \psi _1(X)\vert ^2+\vert \psi _2(X)\vert ^2$$の上に更にこの正の確率が加わるが、$+135$ 度の時にはこの正の値だけ確率が下がる。つまり、$+45$ 度の時この点には沢山の光子がやって来るが、$+135$ 度の時には少しの光子しかやって来ない。
干渉項 (\ref{eq:kansyoukou}) の値が負である $X$ については反対のことが起きる。 すなわち、$+45$ 度の時この点には（背景の分布より）少しの光子しかやって来ないが、$+135$ 度の時にはたくさんの光子がやって来る。これは、図の枠内の実験結果をうまく説明している。
ここまでの推論がそれほど大きな間違いを犯してはいなさそうなので、得られた結果を参考にして、次回は「容易に無かったことにできる事実」と「簡単には消せない確固とした事実」との差について考えてみたい。
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