四方山話 (量子消しゴム - その弐)(2022年1月25日）
二重スリット（二つの窓）を通過する光子の振る舞いが、われわれが日常的に使う言葉や論理ではいかにも言い表しにくい、理解しにくいものであることを前回は見た。光子に対して一旦樹立された事実が、その後の出来事によって消去されると解釈せざるを得ない状況を見て、戸惑わない人はいないであろう。その状況が、実はベクトルの言葉や論理を使えば非常にすっきり理解できることを、これから示したい。まず簡単な例で考え方を整理するために、これまでよく用いた方解石の結晶に、もう一度登場願う。
方解石の結晶（図で長方形で表した）に図のように片方（ここでは左側）から光子を入射すると、まっすぐ透過する場合と少し屈折して透過する場合がある。それぞれは互いに直交する方向に偏極している。右側の二つの経路の行く手に光子を検出する検出器を置き、左から光子を一発ずつ入射すると、その度ごとに検出器のブザーが鳴る。ただ、一方だけが鳴り、両方が鳴ることはない。その意味で光子は分裂することなく、どちらか一方の検出器に飛び込む。
出てくる光子の偏極方向を ${\bf b}$ と ${\bf b}'$ で表し、それぞれ紙面に垂直と平行であるとしよう。左側から ${\bf a}$ の方向に偏極した光子を入射すると、もし ${\bf a}={\bf b}$ であれば必ず検出器 $D_b$ が鳴り、$D_{b'}$ が鳴ることはない。${\bf a}={\bf b}'$ であれば反対の現象が起きる。一般の ${\bf a}$ に対しては $\vert ({\bf a}, {\bf b})\vert ^2$ の確率で $D_b$ が反応し、$\vert ({\bf a}, {\bf b}')\vert ^2$ の確率で $D_{b'}$ が反応する。但しベクトルはすべて長さが $1$ であるとし、括弧は内積を表す。
さて、この方解石の結晶（$\Gamma $）と、同じものを裏返して（${\overline {\Gamma }}$ で表す）配置した次の図のような装置を作る。
この装置の左側から光を入射すると、方解石 $\Gamma $ で二つの光線に分裂し、${\overline {\Gamma }}$ で再び合体して一つの光線となって右側へ出る。
問題は、この装置に、任意の方向 ${\bf a}$ に偏極した光子を入射する時、出てくる光子の状態（図で ? で示した位置での状態）が何であるかだが、$?$ の箇所に ${\bf a}$ 方向の偏光板を置くと、光はその明るさを減じることなく通過する。従って、$?$ の箇所では入射時と同じ ${\bf a}$ であることが予想される。このことは、光子が、最初の結晶で ${\bf b}$ もしくは ${\bf b}'$ の片方の状態になって（転移して）この装置を通過していると考えると、決して説明できない。何故ならば：もしそうであるのなら、$\vert ({\bf a}, {\bf b})\vert ^2$ の確率で ${\bf b}$ に、$\vert ({\bf a}, {\bf b}')\vert ^2$ の確率で ${\bf b}'$ に、それぞれ転移しているはずだが、${\bf b}$ と ${\bf b}'$ の光子は ${\overline {\Gamma }}$ をそのまま素通りする。従って、$?$ の位置に現れる光子は ${\bf b}$ もしくは ${\bf b}'$ であって、${\bf a}$ ではあり得ないからである。
この装置を通り抜ける光子は、従って、${\bf b}$ と ${\bf b}'$ の双方にいるとか、下と上の経路を同時にたどっていると考えざるを得ない。念のために繰り返すが、方解石の間の二本の通路上にそれぞれ光子の検出器を置くと、光子を一発左から入射するたびごとに、どちらか一方の検出器が反応する。二台ともに反応することは決してない。つまり、どちらの経路をたどったかが検出器によって記録される時には、確かにどちらか一方が選ばれるのである。しかし、そのような記録がなされない時には、両方の経路を同時にたどっていると表現せざるを得ない状態に光子はある。
われわれの常識では、一塊の粒子が同時に二ヶ所に存在することはあり得ない。従って、光子のこの奇妙な状態を正確に言い表すことのできる言葉や論理を、われわれは持っていない。想像をたくましくして新たに考えだす以外ない。
まず、任意のベクトル ${\bf a}$ を ${\bf b}, {\bf b}'$ に結び付けるとするならすぐ思い浮かぶのは等式
\begin{equation} {\bf a}=({\bf a}, {\bf b}){\bf b}+({\bf a}, {\bf b}'){\bf b}' \label{eq:anotenkais} \end{equation}である。そこで思い切って、『${\bf b}$ と ${\bf b}'$ の双方に同時にある』という状態は、この等式の右辺によって書き表されると考えてみる（こう考えて推論して得られる結果で、何か新しいことが説明できるようであれば、この考えは的を得ていたと判断するのである）。ここで現れた係数
$$({\bf a}, {\bf b}), \hskip 2mm ({\bf a}, {\bf b}')$$は、『もしこの状態で検出器に遭遇すれば、これらの係数の絶対値の二乗の確率で ${\bf b}$ もしくは ${\bf b}'$ に転移する』ことを表すと解釈しよう。
更に、(\ref{eq:anotenkais}) 式によれば、任意のベクトル ${\bf c}$ に対して
\begin{equation} ({\bf a}, {\bf c})=({\bf a}, {\bf b})({\bf b}, {\bf c})+({\bf a}, {\bf b}')({\bf b}', {\bf c}) \label{eq:acnotenkais} \end{equation}が成り立つ。この式が何を意味しているか考えてみよう：図の $?$ の箇所に偏極の方向が ${\bf c}$ である偏光板 $C$ を置くと、それを光子が透過する確率は（その直前の状態が ${\bf a}$ だから） $\vert ({\bf a}, {\bf c})\vert ^2$ である。ここで、確率の平方根とも言える内積 $({\bf a}, {\bf c})$ に着目し、これを「${\bf a}$ から ${\bf c}$ へ転移する確率振幅」と名付けるなら、その確率振幅が四つの確率振幅の積や和で表されることを (\ref{eq:acnotenkais}) 式は意味している。
つまり、左から ${\bf a}$ の状態で入射した光子が ${\bf c}$ の状態へ転移して右へ現れる確率振幅は、${\bf a}$ から ${\bf b}$ への確率振幅と ${\bf b}$ から ${\bf c}$ への確率振幅の積、それに、${\bf a}$ から ${\bf b}'$ への確率振幅と ${\bf b}'$ から ${\bf c}$ への確率振幅の積、それら二つの積の和で表されるのである。
ここで
$$\vert ({\bf a}, {\bf b})({\bf b}, {\bf c})\vert ^2=\vert ({\bf a}, {\bf b})\vert ^2\vert ({\bf b}, {\bf c})\vert ^2$$は、状態 ${\bf a}$ の光子がいったん状態 ${\bf b}$ に転移して後、更に ${\bf c}$ に転移する確率を表す。よって積 $({\bf a}, {\bf b})({\bf b}, {\bf c})$ は、「${\bf a}$ の光子が ${\bf b}$ を経て、${\bf c}$ に転移する際の確率振幅」と呼ぶべきものである。同様に $({\bf a}, {\bf b}')({\bf b}', {\bf c})$ は、「${\bf a}$ の光子が ${\bf b}'$ を経て、${\bf c}$ に転移する際の確率振幅」である。${\bf a}$ から ${\bf c}$ へ至る過程（経路と言う方がよいかもしれない）が ${\bf b}$ を経由する過程と ${\bf b}'$ を経由する過程の二通りあるのだが、確率振幅 $({\bf a}, {\bf c})$ は、それぞれの経路に対応する確率振幅の和であり、かつ、各々の経路の確率振幅は、経由する状態までの確率振幅とそれから後の確率振幅の積なのである。
異なる経路に対応する確率振幅を考えると、それら二つの「干渉」が存在することがわかる。例えば、上の装置の図の $x$ 軸から $y$ 軸の方向へ ${\bf b}$ を $45$ 度回転したベクトルを ${\bf a}$ とする。${\bf c}$ は角 $\theta $ だけ回転したベクトルとする、すなわち
$${\bf a}={1\over {\sqrt 2}}\pmatrix{ 1 \cr 1},\hskip 2mm {\bf c}=\pmatrix{ \cos \theta \cr \sin \theta }$$である。この時
$$({\bf a}, {\bf b})={1\over {\sqrt 2}}, \hskip 3mm ({\bf b}, {\bf c})=\cos \theta $$ $$({\bf a}, {\bf b}')={1\over {\sqrt 2}}, \hskip 3mm ({\bf b}', {\bf c})=\sin \theta $$だから
\begin{eqnarray*} ({\bf a}, {\bf b})({\bf b}, {\bf c})&=&{1\over {\sqrt 2}}\cos \theta \\ ({\bf a}, {\bf b}')({\bf b}', {\bf c})&=&{1\over {\sqrt 2}}\sin \theta \end{eqnarray*}である。よって
$$({\bf a}, {\bf b})({\bf b}, {\bf c})+({\bf a}, {\bf b}')({\bf b}', {\bf c})={1\over {\sqrt 2}}\cos \theta +{1\over {\sqrt 2}}\sin \theta =\cos (\theta -{\pi \over 4})$$となる。
例えば、$n$ を整数として
$$\theta ={\pi \over 4}+2n\pi $$の時、${\bf a}$ から ${\bf c}$ へ転移する確率は最も大きな値 $1$ を取るけれども、この時、二つの経路に対応する確率振幅は共に $1/2$ である。また
$$\theta ={\pi \over 4}+(2n+1)\pi $$の時も、${\bf a}$ から ${\bf c}$ へ転移する確率は $1$ であるが、二つの経路に対応する確率振幅は共に $-1/2$ である。正と負の違いはあるけれども、二つの確率振幅がお互いを助け合い、全体の絶対値を最大化している。つまり、二つの経路に対応する確率振幅は互いを強める形で干渉していると言える。
他方、
$$\theta ={{3\pi }\over 4}+2n\pi $$の時には ${\bf a}$ から ${\bf c}$ へ転移する確率は $0$ だが、二つの経路に対応する確率振幅は $-1/2$ と $+1/2$ となり、お互いを打ち消す形での干渉が起きている。
$$\theta ={{3\pi }\over 4}+(2n+1)\pi $$の場合も同様である。
以上で、途中に二つの経路があり、しかもどちらを通るかの検出がなされない場合、最初から最後までの確率振幅、あるいはその転移の確率を、二つの経路と結びつける方法にどんなものがあり得るかが大体わかった。次回は、この例を参考に、問題になっている、『時間をさかのぼっての事実が消去される』謎を解いてみたい。
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