四方山話 (アインシュタイン曰く『量子力学は不完全である』-その参)(2022年1月1日）
『物理的実在を記述する理論としては、量子力学は不完全である』という結論を導く際、アインシュタインたちが出発点とした前提は、『ある物理系をまったく攪乱することなく、ある物理量の値を確実に予測できるならば、その物理量はその系において実在性を持つ（回りくどく言うなら、その物理量に対応する物理的実在の一つの要素が存在する）』というものだった。
彼らはこの前提を状態
\begin{equation} {\bf a}={1\over {\sqrt 2}}\left( {\bf b}_A\otimes {\bf b}'_B-{\bf b}'_A\otimes {\bf b}_B\right) \label{eq:anohyougen-4} \end{equation}にある光子対の片割れに適用した（実際に考えられた状況は光子対ではないが、実質的には変わりない）。つまり、偏極の方向が互いに直交する光子対を生成し、その対の片方の光子にこの前提を適用したのである。対を成す光子のそれぞれがアリスとボブのもとへ送られるとして、アリスは自分のもとへ来る光子の偏極方向を測定する。その結果を見ることにより、ボブに向かう光子がどの方向に偏極してボブの装置を通過するかを正確に予言できる。
アインシュタイン達は更に、『アリスがボブから十分離れた位置にあれば、アリスの測定行為がボブの光子を攪乱することはどんな意味においてもない』という前提のもとで考えた。ボブの光子を一つの物理系とみなし、これら二つの前提を適用することにより、どの方向に偏極して装置を通過するかは、一つ一つの光子において実在性を持つ属性だと結論したのである。しかもアリスの測定行為が原因となってボブの光子がその属性を持つことになったとは考えられない。何故ならば、アリスの行為はボブの光子を攪乱することはなく、従ってその行為がもとでボブの光子が新たな性質を獲得したとは考えられないからである。よってその属性はアリスの測定行為とは関係なく、それ以前から（二つの光子が遠く離れ、それらの間の相互作用がなくなった時から）ボブの光子に備わっているものだと考えられる。
しかし、それでは二つの光子の状態は、それぞれが水平、あるいは垂直に偏極する状態
$${\bf b}_A\times {\bf b}'_B, \hskip 2mm {\bf b}'_A\times {\bf b}_B$$のどちらかであることになる。しかし実際にはアリスの測定が行われる前では ${\bf a}$ の状態にあり、上記の状態のどちらとも異なる。
つまり量子力学の理論の中で考える限り、${\bf a}$ によって表される状態の光子対の片方に対して上の二つの前提を適用することはできないのである。この適用は量子力学とは両立しないのである。従って、もしこの適用を強行すれば、量子力学と何らかの意味で相いれない結果に導かれることは容易に想像できる。それが『量子力学は実在を記述する理論としては不完全である』という結論であったと思われる。
量子力学に相いれない結果の一つとして、6月29日の記事で紹介した「ベルの不等式」も含まれる。この不等式を考慮することにより、二つの前提を ${\bf a}$ で表される状態の光子対の片方に適用してはいけないことが、実験によって確認される。この意味で大事な関係式であるので、もう一度復習しておく：上で述べたように、これら二つの前提から、ボブの光子はそれぞれ
の装置に通された時にどちらの方向に偏極して通過するかをあらかじめ決めていることが導かれた。ここでボブはこの図の装置（$h$ 偏光子と呼ぶ）の他に、それを $z$ 軸の周りに $\phi $ 度回転した装置（$\phi $ 偏光子）と、$\theta $ 度回転した装置（$\theta $ 偏光子）も用いるとする。例えばボブが $\phi $ 偏光子に光子を通すというのであればアリスも同じ方向の偏光子に自分の光子を通すことによって、ボブの光子がどの方向に偏極してボブの装置を通過するかが正確に予測できる。従ってボブの光子一つ一つは、$\phi $ 偏光子を通過する時の偏極の方向をあらかじめ決めていることになる。しかも、$h$ 偏光子を通過する時の偏極の方向も、依然としてそのまま持ち続けていると考えられる。何故ならば、もしそれが変わったり消滅したりするのであれば、アリスが自分の光子を測定するための装置を置き換えたがためにそのような変更が引き起こされたと考えざるを得ないからである。アリスの測定行為がボブの光子を攪乱することはないのだから、それはあり得ない。
$\theta $ 偏光子を通過する時の偏極方向についても同様だから、結局
$$n(h_+, \phi _-), \hskip 2mm n(h=+, \phi =+, \theta =-)$$のような個数が定義できる。前者は、『$h$ 偏光子に遭遇すれば水平方向に、$\phi $ 偏光子に遭遇すれば $\phi +90$ 度方向に、それぞれ偏極して通過する』という属性を持つ光子の個数とする。後者は、『$h$ 偏光子に遭遇すれば水平方向に、$\phi $ 偏光子に遭遇すれば $\phi $ 度方向に、$\theta $ 偏光子に遭遇すれば $\theta +90$ 度の方向に、それぞれ偏極して通過する』という属性を持つ光子の個数である。
この時ベルの不等式
\begin{equation} n(h_+, \phi _+)+n(\phi _-, \theta _+)\geq n(h_+, \theta _+) \label{eq:Bellfutou-v1} \end{equation}が成り立つ。証明は簡単で
$$n(h_+, \phi _+)=n(h=+, \phi =+, \theta =+)+n(h=+, \phi =+, \theta =-)$$ $$n(\phi _-, \theta _+)=n(h=+, \phi =-, \theta =+)+n(h=-, \phi =-, \theta =+)$$ $$n(h_+, \theta _+)=n(h=+, \phi =+, \theta =+)+n(h=+, \phi =-, \theta =+)$$であり、三行目の右辺に現れる項はすべて、一行目と二行目にあるからである。
ボブの光子が一つの物理系を成すと考え、先の二つの前提を適用すれば、この不等式がすべての $\phi , \theta $ に対して成り立たねばならない。一方、光子の対がベクトル ${\bf a}$ の状態にあることから、ベルの不等式に現れる各項の値を、量子力学に従って計算することができる。7月7日の記事で導いたが、結果は
$$n(h_+, \phi _+)={N\over 2}\cos ^2\phi $$ $$n(\phi _-, \theta _+)={N\over 2}\sin ^2(\theta -\phi ), \hskip 2mm n(h_+, \theta _+)={N\over 2}\cos ^2\theta $$である。$N$ は光子対の個数とする。これらの値を不等式に代入すれば
$$\cos ^2\phi +\sin ^2(\theta -\phi )\geq \cos ^2\theta $$が得られる。
容易にわかることだが、この不等式はすべての $\phi $ と $\theta $ に対して成立するわけではない。何故ならば：$\phi $ を任意の値に固定した上で $\theta $ の関数
$$f(\theta )=\cos ^2\phi +\sin ^2(\theta -\phi )-\cos ^2\theta $$を考える。$f(\phi )=0$ であることに着目する。
$$f'(\theta )=2\sin (\theta -\phi )\cos (\theta -\phi )+2\cos \theta \sin \theta $$だから
$$f'(\phi )=2\cos \phi \sin \phi =\sin 2\phi $$である。よって $\sin 2\phi >0$ である $\phi $、例えば $\phi =\pi /4$ の前後で、$f(\theta )$ は負の値にも正の値にもなり得る。
こうして、アインシュタイン達に倣って、先の二つの前提条件をボブの光子に適用することは、量子力学とは両立しないことがはっきりした。『物理理論が完全であるためには、物理的実在のすべての要素がその理論の中に対応物を持たねばならない』という判定条件を導入することにより、『不完全である』という結論を三人は導いたのだが、そもそも、光子対の片割れに対してこれら二つの前提を適用すること自体が、量子力学の立場からは禁止される行為なのである。
のみならず、ベルの不等式がすべての $\phi $ と $\theta $ に対しては成立しないことが、最近の実験によって確かめられた。つまり二つの前提を ${\bf a}$ で表される状態にある光子対の片割れに対して適用することが、現実に起きる現象に矛盾する結果を導くのである。実験は量子力学から導かれる事柄の方を確認した。
状態
$${\bf a}={1\over {\sqrt 2}}\left( {\bf b}_A\otimes {\bf b}'_B-{\bf b}'_A\otimes {\bf b}_B\right) $$は、アリスの光子の何らかの状態 ${\bf c}_A$ と、ボブの光子の何らかの状態 ${\bf d}_B$ を用いて
\begin{equation} {\bf c}_A\otimes {\bf d}_B \label{eq:productstate} \end{equation}と書けるような状態ではない。その意味で『もつれあった』状態にある。もし二つの光子が、(\ref{eq:productstate}) で表されるように、それぞれ独立な状態にあるならば、先の前提を光子の片割れに適用することは問題ないと推測できる。しかし、もつれた状態にある二つの光子については、してはいけないことなのである。これが意味している物理的内容が何なのかを、もう少し掘り下げたいところである。
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