四方山話（シュレデイガー著「生命とは何か」その弐） (2021年9月26日）
9月12日のページで紹介したが、われわれが眼にしたり触ったりできる巨視的物体は、$10^{23}$ 個というような莫大な個数の原子や分子から成っている。何故そんなにたくさんの原子や分子から成るのか？と、著者はまず問いかける：
もともと物理法則というものは原子や分子に関する統計に基づき、近似的なものに過ぎない。例えばある気体が、ある温度と圧力の下である密度を持つという結論が、ある法則から従うとする。一つ容器を用意し、この法則を適用した結果、中に含まれる気体分子の個数が $N$ 個であるという結論が得られたとしよう。この時、実際に分子の個数を測ってみると、きっかり $N$ であることは稀で、${\sqrt N}$ 個程度の誤差が生じる。つまり、誤差の全体の個数に対する比は $1/{\sqrt N}$ となる。この「${\sqrt N}$ 則」は極々一般の法則に対して言えることであって、その法則に参与する分子や原子の個数を $N$ とすれば、その法則は $1/{\sqrt N}$ の程度の誤差率の範囲内でのみ正しい。
法則の統計的性質から、その程度の誤差が避けられないのだが、ただ、$10^{23}$ というような莫大な個数の原子や分子が関わると、誤差率は極めて小さくなり、法則は非常に正確な形で現れることになる。巨視的物体の法則に則った安定的な振る舞いの背景には、このような事情がある。
ところが、個体の一つの形質を支配する遺伝子の大きさが、X 線を使用して調べられた結果、比較的小さいことが判明した。それらの遺伝子は、$1000$ 個程度、あるいはもっとずっと少ない個数の原子から成る。$N=1000$ とするなら、${\sqrt N}=32$ であり、誤差率は約 $3.1$ パーセントとかなり大きく、この集団は短時間の内に予測のつかない振る舞いをするようになることが推測できる。
ところが、われわれが経験的に知っているように、遺伝形質の中には何世紀もの間変化することなく、子孫に伝えられるものがある。従って、非常に安定で、規則正しく動作し、突然変異が起きるとしても極めてまれにしか起きない遺伝子が存在することになる。この矛盾はどう考えれば解消できるだろうか？シュレデインガーの答えは、『量子力学によって解決できる』というものである。
シュレデインガーの推論を理解するための準備として、前回、21日のページで水素原子の中の電子の振る舞い、特にそのエネルギーの状態についてのボーアの推論を紹介した：原子のような小さな世界では、電子はいわば、飛び飛びの軌道を回ることしか許されない。原子核から軌道までの距離は飛び飛びの離散的なものになり、それぞれの離れ具合に対応して、エネルギーも
$$E_n=-{{2\pi ^2me^4}\over {h^2}}{1\over {n^2}} \hskip 2mm (n=1, 2, \cdots )$$という離散的な値を取る。
こうした離散性の他に、もう一点重要なことは「遷移」と呼ばれる現象である：$E_n$ はエネルギー準位と呼ばれるが
$$E_1 < E_2 < E_3 < \cdots < 0$$であって、$E_n$ の準位にある電子が、別の準位 $E_k$ に突然飛び移ることがある。この現象を「遷移」と呼ぶ。もし $E_n > E_k$ であればその遷移と共に
$$h\nu =E_n-E_k$$によって決まる $\nu $ を振動数とする光子が放出される。もし、$E_n < E_k$ であれば
$$h\nu =E_k-E_n$$である $\nu $ を振動数とする光子が外から吸収される。
このような場合に放出、あるいは吸収されるエネルギーの大体の大きさを知っておくと、後々役に立つ：$E_1$ は
$$E_1=-{{2\pi ^2me^4}\over {h^2}}=-2.2\times 10^{-18} J$$である。ミクロな世界で普通にやり取りされるエネルギーの大きさを表すには $1$ ジュールは大きすぎて不便であり、代わりに、電子が電位差 $1$ ボルトの二点間で加速される時に得るエネルギーを使う。$1$ 電子ボルトと言い、$1 eV$ で表すが、
$$1 eV=1.6\times 10^{-19} J$$である。この単位でなら
$$E_1=-14 eV$$である。ちなみに
$$E_2={1\over 4}E_1=-3.5 eV$$ $$E_3={1\over 9}E_1=-1.6 eV$$ $$E_4={1\over {16}}E_1=-0.88 eV$$であり、バルマー先生の考えた遷移の内
$$E_3\rightarrow E_2, \hskip 2mm E_4\rightarrow E_2$$で放出されるエネルギーは、それぞれ
$$1.9 eV, \hskip 3mm 2.6 eV$$である。
さて、遺伝子があまりに少数の原子から成るにもかかわらず、安定的な振る舞いをし得る理由を、シュレデインガーがどう説明するかを見てみよう：
同じ一群の原子が分子をつくるのに、二つ以上の仕方で結合する場合のあることが化学者の間で知られています。そのような分子は異性体と呼ばれています。異性体を作ることは例外的なことではなく、ごく普通のことなのです。分子が大きければ大きいほど、互いに異性体をなすものが多く現れます。第 14 図に示したのは最も簡単な場合の一例で、二種類のプロピルアルコールであって、ともに三個の炭素原子（$C$）と八個の水素原子（$H$）と一個の酸素原子（$O$）からなっています。この最後の一個の酸素は、どの一つの水素と炭素との間にも置くことができますが、図に示した二つの場合だけが異なる物質です。そして二種類とも実際に存在します。両者の物理的及び化学的性質に関する定数ははっきり違います。両者のエネルギーも異なり、二つは「異なる準位」を表します。（「生命とは何か」-岩波文庫- pp.106-7）
遺伝子は高度な秩序を持つ原子結合体であって、様々な原子配列が可能であり、遺伝情報はその配列によって記録される、と彼は考える。例えばモールス信号では、僅か二種類の符号を四回まで使うだけで三十個の異なる「文字」を作り出すことができる。これでアルファベットの文字数には十分であり、われわれの書くすべての文章を表現できるはずである。これから類推するに、遺伝子が比較的少数の原子から成るとしても、生物の成長に関わる複雑な情報を記録するに十分多様な、原子の配列が可能であると考えてよいであろう。
ただ、同一の分子であっても、原子の配列が異なる異性体が存在する。この異性体の間で稀に起きる飛び移りの現象が「突然変異」に他ならない、とシュレデインガーは主張する。
注目すべきことは、両分子は共にまったく安定であって、双方ともあたかも「最低の準位」にあるかのように振る舞うことです。いずれか一方の状態からもう一つの状態に自発的に遷移を起こすことはありません。（訳本 pp.107-8）
水素原子の場合は最低エネルギー準位は一つだけであって、その準位 $E_1$ の状態は安定である。もし、$E_2-E_1$ 以上のエネルギーを外から供給すれば $E_2$ 以上の高い準位に遷移するかもしれないが、遷移したとしてもほとんどすぐに $E_1$ の準位に自発的に戻ってしまう。そして、$E_1$ の準位まで落ちれば、少しばかりのエネルギーで揺さぶったとしてもそのままそこにあり続ける、その意味で安定である。電子の位置とエネルギーの値の間の大雑把な関係をグラフにすれば次のようになる。
このアルコール分子の場合はそのような安定なエネルギー準位が二つある。
横軸は酸素原子の位置を表すとし、縦軸はエネルギーの値を表すとすれば、この分子のエネルギー準位はこの図のようにイメージできる。$1$ と $2$ は二つの異性体をあらわすが、一方から他方への遷移は両者のいずれよりも高いエネルギーの状態を経由しなくては起こり得ない。すなわち、酸素を一方の位置から引き抜いて他方の位置へ移すには、途中でかなり高いエネルギーの状態、図では $3$ で示した状態を経ることが必要である。$1$ から $2$ へ遷移するためには $E_1$ だけのエネルギーが供給されなくてはいけないし、$2$ から $1$ への遷移のためには $E_2$ のエネルギーの供給を必要とする。共に $3$ の状態をいったん経由して相手の状態へ遷移する。図の $E_0$ だけのエネルギーを $1$ の状態に供給したとしても、すぐにそのエネルギーは放出され、元の状態 $1$ へ自発的に戻ってしまう。状態 $2$ へ遷移することはない。
このような異性体間の遷移のみが、当面の生物学上の応用においてわれわれに関係のある遷移であるということです。・・・われわれが考えている「量子飛躍」は一つの比較的安定な分子的配列状態からもう一つのものへの遷移です。（訳本 p.109）
分子にエネルギーが供給され、より高いエネルギー準位に遷移するもっともありふれた過程は、周囲の原子や分子に衝突されることによってエネルギーのやり取りが起きる場合である。
遺伝子は一つの巨大な分子のような構造を持ち、原子の配列換えにより異性体的分子に変わるような不連続的変化のみを行うことができるものだと仮定しましょう。この配列換えはその遺伝子のほんの一小部分にだけ起こるもので、莫大な数の色々な配列換えが可能だと考えられます。実際の配列状態と、起こり得る異性体的配列状態のどの一つをとっても、両者を境するエネルギーの敷居の高さは、（原子一個の平均的熱エネルギーと比べて）十分高くて、その間の移り変わりがめったに起こらないようになっていなければなりません。そのような稀な出来事が自発的な突然変異そのものであると考えましょう。（訳本 pp.111-2）
熱運動はまったく不規則なものであって、この温度を超えたら確実に、しかも直ちに遷移が生じるというような性格のものではない。ただ、ある温度であるエネルギーが供給され遷移が起きるまでの「期待時間」、すなわちその遷移が起きるまでの平均的な「待ち時間」は計算できる。
周囲の温度を絶対温度で表し $T$ とし、遷移において飛び越えるべき敷居の高さをエネルギー $E$ とするなら、期待時間 $t$ は
\begin{equation} t=\tau e^{E/kT} \label{eq:kiyaijikan} \end{equation}で表される。但し $\tau $ は $10^{-13}$ ないし $10^{-14}$ 秒程度の定数であり、$k$ はボルツマン定数と呼ばれる普遍定数で
$$k=1.4\times 10^{-23} J\cdot K^{-1}$$である。$K$ は絶対温度の単位「ケルビン」である。
ちなみに、気体の原子一個が温度 $T$ で持つ平均の運動エネルギーは $(3/2)kT$ である。室温として $T=300 K$ とすると
$${3\over 2}kT=4.1\times 10^{-2} eV$$となる。
期待時間の式に指数関数が現れることに注意すべきである。増加のスピードが急激に増す時、『指数関数的に増加する』とよく言うが、確かにこの関数の勾配は変数の増加と共に急激に増す。従って、(\ref{eq:kiyaijikan}) 式で表される $t$ は、$E$ や $T$ の変化に対して非常に敏感なはずである。
実際
$$E/kT=30, \hskip 2mm 50, \hskip 2mm 60$$のそれぞれに対応して
$$t=0.1 秒, \hskip 3mm 16 ヶ月, \hskip 3mm 3 万年$$になる。例えば $T$ を室温として $300 K$ とすると
$$kT=4.2\times 10^{-21} J$$であり、上の三つのケースの $E$ はそれぞれ
$$0.75 eV, \hskip 3mm 1.3 eV, \hskip 3mm 1.6 eV$$である。$E$ が二倍にもならないのに、期待時間は何万倍にもなっている。
つまり、隣の異性体への敷居のエネルギー $E$ が少し高いだけで、その遷移は極めて稀にしか起きないことになる。従って、その原子配列が記述している遺伝情報の暗号文は、非常に長い間、書き直されることなく安定に保たれることになる。関与する原子の個数が比較的少ないにもかかわらず、遺伝情報が安定に保たれ得る理由が、量子力学的な遷移の考え方によってこうして説明できる。
また、中間的な形質が出現しないという突然変異の特徴は、不連続的に異なるエネルギー準位の間で起きる、遷移の特徴とぴったり合致する。その意味でも、「突然変異」を安定なエネルギー準位間の遷移とみる見方が正当であることを、シュレデインガーは強調している。
目次を表示このように考えてくると、われわれが考えている分子のある部分にたまたま振動エネルギーの偶然な揺らぎによって配列状態の異性体的変化が起こることは十分稀な出来事であって、これが自発的に起こる突然変異であるとの解釈が成り立つように思われます。このようにして量子力学の原理そのものによって、突然変異に関する最も驚くべき事実、すなわち突然変異は「飛躍的」な変異であって、中間形が生じることはないということが説明されるのです。(訳本 p.124)
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