四方山話（ボーアの推論） (2021年9月21日）
われわれが粒子と考えてきた、例えば電子のようなものでも、波としての側面を持つこと、あるいは逆に、光のような波として考えてきたものも粒子としての側面を持つことに人々が気付いたのが 1900 年代初めの頃。粒子としての側面と波としての側面を行き来する時の変換規則は、アインシュタイン - ド・ブロイの関係式と呼ばれる
$$E=h\nu , \hskip 3mm p={h\over {\lambda }}$$で与えられる。但し $E, p$ は粒子としてのエネルギーと運動量（$=$質量 $\times $速度）を、$\nu , \lambda $ は波としての振動数と波長を表す。$h$ はプランク定数と呼ばれる定数で
$$h=6.6\times 10^{-34} J\cdot s$$である。
$$J=kg\cdot m^2\cdot s^{-2}$$はエネルギーの単位「ジュール」である。
以前述べたように、金属の表面に光が当たると電子が飛び出してくる現象、いわゆる「光電効果」は、光から電子へのエネルギーの受け渡しが連続的に行われるのではなく、離散的に行われると考えないと説明できない。つまり、光はある一定量（$h\nu $）のエネルギーを運ぶ粒子の流れとなって金属に衝突し、一つの粒子（光子）と一つの電子の衝突を通して、それだけのエネルギーがやり取りされると考えられる。よって、光電効果の現象には光の粒子的側面が現れると言える。一方で、狭い隙間を通過した後に光が広がる現象等は、「波の干渉」を考えるとうまく説明できる。従ってこのような現象においては、光は波としての側面を見せると言える。
電子のような、われわれがもともと物質粒子だと考えてきた粒子も、波としての側面を持つ。この考え方からは、前回示したように、関係式
\begin{equation} \Delta x\cdot \Delta p_x\approx h \label{eq:deltaxdeltapx} \end{equation}を導くことができる。$\Delta x$ は粒子の位置の不確定の幅を、$\Delta p_x$ は運動量の不確定の幅を、それぞれ表す。粒子の $x$ 座標を $\Delta x$ の精度で測定する、あるいはその精度で位置を決めた粒子を用意すると、粒子のその後の運動量の $x$ 成分 $p_x$ は、必ず
$$\Delta p_x\approx {h\over {\Delta x}}$$程度の範囲で不確定になることを、(\ref{eq:deltaxdeltapx}) 式は意味している。もちろん、真っ先に $p_x$ を $\Delta p_x$ の精度で測定する場合には、その後の位置を
$$\Delta x\approx {h\over {\Delta p_x}}$$の程度以上の精度で予測することができない。$y, z$ 座標についてもまったく同様である。
なお、1925 年頃に完成した量子力学による正確な計算をしてみると、任意の状態の粒子について、位置の分布の標準偏差 $\Delta x$ と運動量の分布の標準偏差 $\Delta p_x$ の間には
$$\Delta x\cdot \Delta p_x\geq {h\over {4\pi }}$$の関係があることがわかる（$y, z$ 座標についても同様）。正確にはこの不等式をハイゼンベルグの関係式と言うべきだが、『位置と速度を両方とも正確に決定することはできない』ことを強調することが目的であって、定量的な何かの計算をすることが目的ではないので、初等的な方法で出すことのできた (\ref{eq:deltaxdeltapx}) 式
$$\Delta x\cdot \Delta p_x\approx h$$を、ハイゼンベルグの関係式と呼んで今後も使うことにする。
ただ、この関係式を心のどこかの引き出しにしまい込む時、誰でも必ず次の疑問を抱く。『電子は本当は正確な位置と速度を常に持っているのだが、ただそれらを測定する時の誤差の間に、この関係式が成り立つ』と考えるべきか、それとも、『電子の位置と速度は何らかの意味で本質的に不確定であり、その不確定の幅がこの関係式を満たす』 と考えるべきか。
正解は後者であるようだということを感じてもらうために、今回は二つの事柄を紹介する。ここで紹介するのは、厳格な理論としての量子力学が完成する前に、粒子と波の二重性などを手がかりにして、ボーアという人が導き出した事柄である。その頃は、電子などを従来のニュートン力学で扱うと矛盾が生じることは分かっていたが、しかしかといって新しい力学が発見されていたわけではなく、古い理論の何を残して何を捨てるべきかもよくわかっていない時だった。ボーアの推論も、当然、明白な根拠に基づいているとは必ずしも言えない、かなり危なっかしいものだったが、それでも現実世界に現れる現象とぴったり合う結論が幾つか導き出された。そういう推論の積み重ねが、量子力学という新しい力学の発見につながった。
まず、一個の水素原子を考えよう。その中には一つの電子が、原子核（陽子）からの力を受けて閉じ込められている。従来の意味での位置と速度を電子が持つとすると、電子はらせん運動の末に、ごく短時間で陽子と合体してしまうことは前回述べた。つまり水素原子は崩壊してしまう。しかしこれは、自然界で実際に起きていることと明らかに矛盾する。ハイゼンベルグの不確定性関係がこの矛盾の解消に何かの役割を果たし得るかを見てみよう。
電子が核から距離 $a$ のあたりまで引き寄せられたとしよう。すると、例えば $x$ 軸方向の位置の不確定性 $\Delta x$ は
$$\Delta x=a$$と考えられる（核からの距離を $a$ としたのだから、右辺は $2a$ にすべきだと思うかもしれない。そうしても別に構わない。ここでの関心事は、$a$ に下限があるかどうかである）。この時、ハイゼンベルグの関係式により
\begin{equation} \Delta p_x\approx {h\over a} \label{eq:deltapxapp} \end{equation}なので、$a$ が小さい程 $\Delta p_x$ は大きく、電子が大きな速さを持つことを意味する。その運動エネルギーも大きくなるが、それは言わば『電子が暴れ回る』ことを意味し、$a$ を押し広げる効果を持つはずである。従って、$a$ はむやみには小さくなり得ないことになり、先に述べた矛盾を回避できそうである。もう少し詳しく見てみよう。
核から距離 $r$ にある電子の位置エネルギーは
$$-{{e^2}\over r}$$と書ける。但し、$e^2$ は電子の電荷に依存する定数で
$$e^2=2.3\times 10^{-28}kg\cdot m^3\cdot s^{-2}$$である。ちなみに、電子が陽子から受ける力、すなわちクーロン力は、その大きさが
\begin{equation} {{e^2}\over {r^2}} \label{eq:e2overr2} \end{equation}である。
位置エネルギーはその値を減らす傾向を持ち、電子を核へ引き寄せる働きをする。それと共に $a$ は減少するが、不確定性の働きにより運動エネルギーは増加する。よって、それら二つのエネルギーの和、つまり全エネルギーが停留する $a$ が存在すると予想できるが、その付近で $a$ が安定すると推測するのは自然なことではなかろうか。もしそのような $a$ が存在するのであれば、その値は大体原子の大きさに一致するはずであり、実測値と比べることによりこの推論の妥当性が検証できる。
念のために少しくどいが強調しておく：この推論が妥当だとわかり、$a$ に下限があるとなったとしても、『電子はクーロン力で引っ張られているのだから核に落ち込むことは避けられないはずだ。$a$ に下限など存在するはずがない』と言いたくなるかもしれない。しかし、原子のような小さな世界でニュートン力学が破綻していることはもう既に知っていることであり、この反論の前提は崩れているのである。ただ、それに代わる新しい力学を知らない段階で、その手掛かりを求めたボーアの苦心の跡を、われわれはたどっていると理解して欲しい。
(\ref{eq:deltapxapp}) 式の
$$\Delta p_x\approx {h\over a}$$程度の運動量を持つ電子の運動エネルギーは
$${1\over 2}mv^2={{h^2}\over {2ma^2}}$$の程度である（但し、$a$ の大体の大きさを求めたいだけなので、$x$ 方向の運動だけを考えた）。よって
$$E={{h^2}\over {2ma^2}}-{{e^2}\over a}$$が全エネルギーである。
停留点があるかどうかは微分すればわかる。$a$ で微分すると
$${{dE}\over {da}}=-{{h^2}\over {ma^3}}+{{e^2}\over {a^2}}$$であり、よって確かに $a$ が
$$l={{h^2}\over {me^2}}=2.1\times 10^{-9} m$$に等しい時 $E$ の値は停留する。よって電子はこの $l$ 以上にひどく原子核に近づくことはないと考えられる。現在の観測によれば、原子の大きさは大体 $10^{-10} m$ なので、ここで展開した推論は基本的は正しいと思ってよい。
従って、不確定性関係を正しく取り込んだ理論が完成すれば（それが現在の量子力学だと思われるが）、電子が原子核に落ち込んでたちまちの内に原子が崩壊してしまう困難は解決できそうである。その理論の中ではもちろん、われわれが巨視的な物体を通して養ってきた位置や速度についての考え方をかなり修正しなくてはいけないだろう。
実は、量子力学の理論では、位置や運動量など、すべての物理的な量は行列、もしくは演算子とみなされる。そしてその行列や演算子の固有値が、その物理量の測定値として出現すると考えられる。その辺が、線型代数の論理が現実世界に姿を現す代表的な例として、量子の世界を持ち出した理由である。
もう少し大胆な、しかしある意味、非常に単純で愉快な推論もボーアはしている：電子が核を中心とする半径 $r$ の円周上を周回するとして
$$2\pi r=n\lambda \hskip 2mm (n=1, 2, \cdots )$$の関係に $r$ と波長 $\lambda $ がある時、その電子はある程度安定な状態、「定常状態」を取ると考える。両端を固定した弦が振動する場合、弦の長さと波長の関係が整数倍の時に定常波になるが、その類推がボーアの頭の中にあったのかもしれない。以下で説明するが、このような $r$ は各 $n$ に対してただ一つ定まる。
アインシュタイン - ド・ブロイの関係式により
$$\lambda ={h\over p}$$だから
$$2\pi r=n{h\over p}=n{h\over {mv}}$$よって速さ $v$ は
\begin{equation} v={{nh}\over {2\pi mr}} \label{eq:vganhov} \end{equation}と表される。
ところで半径 $r$ の円運動は、時間を $t$ とすれば
$$(r\cos \omega t, r\sin \omega t)$$と書ける。この時の速さと加速度はそれぞれ
$$r\omega , \hskip 2mm r\omega ^2$$である。よって加速度を $v$ で表すことができて
$$加速度={{v^2}\over r}$$となる。一方、核が電子を引っぱるクーロンの力は、(\ref{eq:e2overr2}) でも述べたが、その大きさが
$${{e^2}\over {r^2}}$$である。従ってニュートンの運動方程式は
\begin{equation} m{{v^2}\over r}={{e^2}\over {r^2}} \label{eq:nundohoute} \end{equation}となる。
もちろん、電子に軌道があると考えてはいけないし、ニュートン力学も原子の内部で破綻していることはよく承知している。しかし $r$ と $v$ の関係式は、これ以外の方法では求まりそうにない。それに、古い考え方のすべてを見捨ててしまうことは、『何とかを捨てて、赤子まで』ということになる可能性もある。従ってかなり綱渡り的な推論だが、このまま続けることにする。
ちなみに、(\ref{eq:nundohoute}) 式は
\begin{equation} mv^2={{e^2}\over r} \label{eq:nundohoute-2} \end{equation}とも書けるが、後に運動エネルギーを計算する際これを使う。
さて、等式 (\ref{eq:nundohoute-2}) の左辺に (\ref{eq:vganhov}) 式
$$v={{nh}\over {2\pi mr}}$$を代入して $r$ について解くと
\begin{equation} r_n=n^2{{h^2}\over {4\pi ^2me^2}} \label{eq:rnnituite} \end{equation}が得られる。
この円運動のエネルギーを $E_n$ と置くと (\ref{eq:nundohoute-2}) 式
$$mv^2={{e^2}\over {r_n}}$$を使って
$$E_n={1\over 2}mv^2-{{e^2}\over {r_n}}=-{1\over 2}{{e^2}\over {r_n}}=-{{2\pi ^2me^4}\over {h^2}}{1\over {n^2}}$$が得られる。
以上で、われわれにとっての「定常状態」は、各 $n=1, 2, \cdots $ に対して存在し、そのエネルギーは
\begin{equation} E_n=-{{2\pi ^2me^4}\over {h^2}}{1\over {n^2}} \label{eq:enerugijyuni} \end{equation}であることがわかった。ここで値が負であることは、この電子が原子内に束縛されていることの必然的結果であって、その束縛を振り払って自由になるためには、この値の逆符合のエネルギーが外から与えられなくてはいけないことを示している。
ここで
$$E_1 < E_2 < E_3 < \cdots < 0$$であって $n$ が大きくなるにつれて徐々に隣との幅は狭くなる。図は朝永振一郎著「量子力学 I」（みすず書房）p.95 から拝借した。右の番号 $1, 2, \cdots $ が $n$ を表し、横線が対応するエネルギー準位 $E_n$ を表す。左の数字は気にしない。ここでボーアは次の二つの仮説を導入した：
仮説 (I) 原子は古典的な理論で信じられていたような連続的にあらゆる値のエネルギーを取り得るのではなく、原子に特有の幾つかの飛び飛びのエネルギー $E_1, E_2, \cdots $ だけを取ることが許される。そして、この状態では原子は光の射出（つまり、電磁波の射出）や吸収を行わない。この状態を定常状態と名付け、可能なエネルギーの値 $E_n$ をエネルギー準位と名付ける。
仮説 (II) 原子は周囲からの何らかの攪乱などをきっかけに、一つの定常状態から他の定常状態へ遷移を行うことがある。その時、最初の定常状態のエネルギー準位を $E_n$、遷移する先のエネルギー準位を $E_k$ とすると、もし $E_n>E_k$ であれば
$$h\nu =E_n-E_k$$によって決まる振動数 $\nu $ の光子が外部へ射出され、もし $E_n < E_k$ であれば
$$h\nu =E_k-E_n$$によって決まる振動数 $\nu $ の光子が外部から吸収される。
ボーアがこのような仮説を置いたのは、もちろん、次のような実験事実があったからである：水素ガスからでてくる光を分光器を通して見ると、その振動数、あるいは波長は連続的に分布せず飛び飛びの箇所に現れる。上の図（「量子力学 I」の口絵をコピーした）は可視光線の領域から紫外線部にかけての、その様子を示す写真である。
ところで、世の中には非常に偉い人がいるもので、スイスの中学校の Balmer （バルマー）先生は、この写真にもある 4 本のスペクトル線
$$H_{\alpha }, \ H_{\beta }, \ H_{\gamma }, \ H_{\delta }$$の波長が
$${9\over 5}h, \ {{16}\over {12}}h, \ {{25}\over {21}}h, \ {{36}\over {32}}h$$の形で表されることを見出した（1885 年）。但し
\begin{equation} h=3.6456\times 10^{-7} m \label{eq:hnoatai} \end{equation}である（プランク定数ではない）。よく見るとこれらの分数は
$${{n^2}\over {n^2-4}} \hskip 2mm (n=3, 4, 5, 6)$$と書ける。つまりバルマー先生はこれら $4$ 本のスペクトル線の波長が
\begin{equation} \lambda =3.6456\times 10^{-7}\times {{n^2}\over {n^2-4}}\ \ m \hskip 3mm (n=3, 4, 5, 6)\label{eq:balmersan} \end{equation}に一致することを見出したのである。
ボーアの仮説の正否についてバルマー先生のこの結果が何か言ってくれているかどうか、われわれにとって是非知りたい点である：ボーアの仮説に従うなら、$E_n>E_k$ の時、エネルギー準位 $E_n$ から $E_k$ への遷移に伴って射出される光の振動数 $\nu $ は
$$h\nu =E_n-E_k$$を満たす。従ってその光の波長を $\lambda $ で表すと、$c$ を光速として
\begin{equation} \lambda ={c\over {\nu }}={{ch}\over {E_n-E_k}}={{ch^3}\over {2\pi ^2me^4}}{{n^2k^2}\over {n^2-k^2}} \label{eq:hiklarihacyo} \end{equation}と書ける。
ここで $k=2$ と置く。すると
$$\lambda ={{2ch^3}\over {\pi ^2me^4}}{{n^2}\over {n^2-4}}$$だが
$${{2ch^3}\over {\pi ^2me^4}}=3.6\times 10^{-7} m$$である。
つまり、バルマー先生の発見した経験式 (\ref{eq:balmersan}) は、ボーアが仮説に述べた「遷移」が、実際に現実世界で起きていることを示している。ボーアの打ち下ろしたつるはしは、確かに何か大きな鉱脈にガチリと突き当たったのである。
ハイゼンベルグの関係式
$$\Delta x\cdot \Delta p_x\approx h$$を、単なる測定誤差の間の関係式としてとらえるべきか、あるいはそうでなくて、粒子についての何かもっと本質的な事柄を表す関係式として捉えるべきか、という疑問から今回の二つの話を始めた。特に最初の話の中では、ハイゼンベルグの関係式は本質的な役割を演じ、その結論として原子の実際の大きさを、かなりな精度で言い当てることができた。単なる測定誤差の間の関係式からそのような事柄が結論されると考えるのは、相当無理がある。やはり、電子自体の本質に深く根差した関係式として理解すべきであろう。
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