四方山話（ハイゼンベルグの不確定性関係） (2021年9月17日）
例えば自動車については、『どこそこの位置をこれだけの速度で通過する』という言い方を、われわれ平気でする。野球のボールについても、『時速 160 キロの速球が、内角高めのストライクゾーンぎりぎりをかすめる』と言われても何の違和感もない。ところが、電子のような微視的な物体については、このような言い方は許されない。
電子の位置と速度が、両方ともある時刻で確定していると仮定するならば、「速度」の定義によりその直後の位置が確定する。その過程は何度でも繰り返され、厳密には微分方程式によって軌道が定まることになる。この仮定は原子の中の電子にも適用できるはずだが、そこでは中心にある原子核からの引力によって軌道は曲線となり、加速度運動をすることになる。電荷を持つ物体が加速度運動をすると電磁波の形でエネルギーが放出されることは、電磁気学からの必然であって（携帯電話やテレビ等は、この現象を利用した機器である）、電子は徐々にエネルギーを失い原子核に落ち込んでいく。最も簡単な水素原子の場合で計算してみると、電子の最初の位置が原子核から妥当な位置に離れていたとしても、$10^{-11}$ 秒程度の極めて短時間の内に原子核と合体してしまうことが導かれる。しかし自然界に水素原子は安定的に存在する。つまり、最初の仮定が自然界で成り立っていると考えることはできない。電子について、その位置と速度が同時に確定していると考えることはできないのである。
ではどう考えるべきか？この問題は、野球のボールや惑星のような巨視的物体が、そのまま小さくなったものとして電子をとらえ、位置や速度の概念もそのまま受け継いで考えている限り、解決の糸口を見出すことはできそうにない。
粒子の位置や速度に対してわれわれ一人一人が抱いている常識は、眼に見える大きな物体を通して得てきたものであり、電子のような微視的な物体を見たり触ったりして得たものではない。そう考えるならば、われわれの常識がそのままでは電子などミクロな粒子に適用できないとしても、不思議ではない。よって、電子のような粒子の位置や速度を、実際に確認するための方法に、今一度立ち戻って考えてみる必要がありそうである。
位置をある狭い範囲に限定するためには図のような簡単な方法がある：縦の直線は $x-y$ 平面に作られた壁を、切れ目は壁に開けられた隙間を、$\Delta y$ は隙間の幅を表す。壁の左側から $x$ 方向へ粒子を打ち込み、隙間を通過したものだけを考えることにすれば、通過後の粒子の $y$ 方向の位置は $\Delta y$ の範囲で確定することになる。
この時もし、隙間を通過後の粒子がそのまま $x$ 方向（図の a の方向）へ直進するのであれば、$y$ 方向の速さは $0$ である。従って、$\Delta y$ をいくら狭く絞ってみても、$y$ 方向の速さには何の影響も現れない、常に $0$ のままである。実は現実にはこうはならず、壁の後ろに回り込んで（図の b や c の方向へ）進む粒子が現れる。つまり、$y$ 方向に $0$ でない速さを獲得する粒子が現れる、しかも $\Delta y$ を小さく絞れば絞るほど、より大きな $y$ 方向の速さでもって斜めに進行する粒子が現れる。
これに似た現象をわれわれは容易に経験することができる：夜、遠方の街灯などの点光源からやってくる光を、親指と人差し指の間に狭い隙間を作って、それを通して見ればよい。隙間を徐々に狭くすると、指の方向と直角の方向に光が広がって見える時がある。
この経験から推測できるように、隙間を通過後の粒子が壁の後ろに回り込んで進む現象は、粒子が波として振る舞うと考えると（以下に示すように）説明できる。もちろん、粒子と言えばある狭い範囲に凝集した物体を指し、波と言えば、水の波のように、ある程度広い範囲に分布した何かが山と谷を交互に繰り返して振動する現象を指す。常識から言えば、粒子が波として振る舞うなどということは、どう理解していいかまったくわからない。この不思議な二重性は、量子力学を確立し「確率の波」という新たな概念を導入して初めて理解できるようになる（歴史的には 1926 年頃）。
実に意外な、同時に興味深いことだが、 粒子としての特質と波としての特質は、同じ一つの実在が持つ二つの違う側面であることがわかる。物理現象を捉えたり記述するための直観や言葉を、われわれは巨視的な物体を扱うことを通して養ってきた。そうした直観や言葉は、このような実在を正確に描写することにぴったり適しているとは言えないようである。
粒子と波の間を行き来する際の規則として、アインシュタインとド・ブロイが次の関係式を提案した（それぞれ $1905$ 年と $1924$ 年）。
\begin{equation} \nu =E/h, \hskip 2mm \lambda =h/p \label{eq:Einsteindeb} \end{equation}但し、$E$ と $p$ は粒子としてのエネルギーと運動量（$=質量\times 速度$）を、$\nu $ と $\lambda $ は波としての振動数と波長を、それぞれ表す。$h$ はプランク定数と呼ばれる普遍定数で
$$h=6.6\times 10^{-34} J\cdot s $$である。$s$ は時間の単位「秒」だが、$J$ はエネルギー（仕事量）の単位「ジュール」を表し
$$J=kg\times m^2\times s^{-2}$$である。
この関係式に慣れるために少し遊んでみる。以前 5月13日の「光量子仮説」のページで説明したことだが、われわれの眼が感じる光の振動数について類推してみる：写真の撮影は光によって臭化銀分子 AgBr が Ag と Br に分解することを使うが、その反応式は
$$AgBr=Ag+Br-24 kcal$$である。これは臭化銀分子一モルを分解するのに
$$24 kcal=24\times 10^3\times 4.2 J=1.0\times 10^5 J$$だけのエネルギーが必要であることを示している。但し $1$ カロリーは $4.2$ ジュールである。一モル中の分子数は
$$N=6.0\times 10^{23}$$であり、よって一つの臭化銀分子を分解するに必要なエネルギーを $E$ で表せば
$$E={{1.0\times 10^5 J}\over {6.0\times 10^{23}}}=1.7\times 10^{-19} J$$となる。
われわれが光を感じる刺激も、網膜上の各視細胞に一つの光子が衝突することによって、この程度のエネルギーが移される時に生じると解釈してみる。光子が上記のエネルギー $E$ を持つのであれば、その時の光波はアインシュタイン - ド・ブロイの関係式 (\ref{eq:Einsteindeb}) の前半により
$$\nu ={E\over h}={{1.7\times 10^{-19} J}\over {6.6\times 10^{-34} J\cdot s}}=2.6\times 10^{14} s^{-1}$$の振動数を持つ。実際の可視光線の振動数は $4\times 10^{14} s^{-1}$ から $8\times 10^{14} s^{-1}$ であり、われわれの解釈が大きくは外れていないことを示している。
さて、本論に帰ろう。壁の左側から $x$ 方向に運動量 $p$ でもってやって来た電子がたまたまスリットを通過したとして、その電子が波として振る舞うならばその後どのように運動するかを考察してみよう。その波の波長 $\lambda $ はアインシュタイン - ド・ブロイの関係式 (\ref{eq:Einsteindeb}) の後半によれば
$$\lambda =h/p$$である。
さて、想像力を高めるために、この壁は水面に設けられた壁であるとし、左側から波長 $\lambda $ の水の波がやって来るとする。波の大部分は壁によって遮られるが、一部は隙間を通過して壁の右側へ抜ける。通過した波はどう伝播していくだろうか？おそらく、隙間の幅をそのまま保って右方向に伝播すると言うより、上下に少し広がって伝播すると考える方が自然であることは、各自それぞれ湖や池の側に立ったことが一度や二度はあるはずだから、そんな経験を思い出せば納得してもらえるであろう。
この広がりは次のように考えると、三角関数に関する基本だけを使って容易に計算できる（ただ、少し長くなるのでここでは省く）：図の二点 $P, Q$ 間の任意の点を考えると、その近傍の水は左からやって来る波によって上下に揺さぶられる。その振動はその点を中心とする円形の波となって四方八方へ伝播する。$P, Q$ 間の各点の近傍から生じるこれらの円形波がお互いに干渉し、すべて足し合わさった結果、壁の右側へ伝わる波が形成される。
隙間を通過する波の伝播を以上のように解釈すると、波の広がりの角度 $\theta $ が
\begin{equation} \sin \theta ={{\lambda }\over {\Delta y}} \label{eq:sinthetalamdel} \end{equation}で与えられることがわかる。但し、当然のことだが、右辺の値が $1$ 以下の場合にのみこの等式は適用可能である。
先に、夜間に遠方の街灯などの点光源を、指の間に作った隙間を通して見ると指の方向と直角な方向に光が広がって見えると書いた。その場合の広がりも上の等式によってわかるはずなので、確認しておく：可視光線の波長は $400$ から $800$ ナノメートルの間にある。$1$ ナノメートルは十億分の一メートルなので、中間を取って
\begin{equation} \lambda =6\times 10^{-7} m \label{eq:kasikouhacyo} \end{equation}とする。指を狭めて作る隙間の幅を（測ったわけではないのでおおよそだが）
$$\Delta y={1\over {10}} mm=10^{-4} m$$とすると、(\ref{eq:sinthetalamdel}) によれば
$$\sin \theta ={{\lambda }\over {\Delta y}}=6\times 10^{-3}$$である。この値は十分小さいので $\sin \theta $ はほとんど $\theta $ に等しく、よって
\begin{equation} \theta =6\times 10^{-3} \times {{180}\over {3.14}} 度=0.34 度 \label{eq:hikarithta} \end{equation}となる。実際に見てみればわかるが、大体うなずける値だと思う。
電子の波としての側面に着目した議論はここまでで、再び粒子としての側面に戻ろう。それにはアインシュタイン - ド・ブロイの関係式 (\ref{eq:Einsteindeb}) の後半
$$\lambda =h/p$$によって波長を運動量に置き直せばよい。
\begin{equation} \sin \theta ={h\over {p\Delta y}} \label{eq:sinthetahovepx} \end{equation}が得られる。角度 $\theta $ は波の広がりとして定義されたが、粒子像に戻って解釈するなら、隙間を通過した電子がこの範囲に広がって進むと考えるべきだろう。広がると言っても、一つの電子がこの角度まで膨らんで広がるという意味では、もちろんない。粒子としての電子を考えているのだから、そういうことではない。隙間を通過した電子の内、あるものはそのまままっすぐに進み、あるものは少し上側へ曲がって進む、もちろん下側へ曲がって進むものもある、ただ、ほとんどすべての電子の曲がり方が、$\pm \theta $ の間に納まる、ということである。
$\theta $ はどの程度の値になるのか、$p$ と $\Delta x$ を適当に設定して計算してみる：電子の質量は
$$m_e=9.1\times 10^{-31} {\rm {kg}}$$である。速さとしては、電圧も何も加えていない時の自由な速さを使うとして、室温（$300 K$ として）での熱運動から計算すると
$$v=6.8\times 10^4 m\cdot s^{-1}$$が得られる。この時
$$p=m_ev=6.2\times 10^{-26} kg\cdot m\cdot s^{-1}$$である。
隙間の幅としては、先に指で作る隙間の幅として使った
$$\Delta x=10^{-4} m$$を使うと、プランク定数 $h$ は
$$h=6.6\times 10^{-34} J\cdot s$$だから
$$\sin \theta ={{6.6\times 10^{-34} J\cdot s}\over {8.6\times 10^{-26} kg\cdot m\cdot s^{-1}\times 10^{-4} m}}=1.1\times 10^{-4}$$である。
よって
$$\theta =1.1\times 10^{-4}\times {{180}\over {3.14}} 度=6.3\times 10^{-3} 度=0.0063 度$$が得られる。可視光線の場合の (\ref{eq:hikarithta}) 式
$$\theta =0.34 度$$と比べると $1/100$ 程度小さい。これは、この時の電子の波長が
$$\lambda ={h\over p}={{6.6\times 10^{-34} J\cdot s}\over {6.2\times 10^{-26} kg\cdot m\cdot s^{-1}}}=1.1\times 10^{-8} m$$であり、可視光線の波長
$$\lambda =6\times 10^{-7} m$$の $1/100$ 程度であることの反映である。
さて (\ref{eq:sinthetahovepx}) 式
$$\sin \theta ={h\over {p\Delta y}}$$に帰って、ここから何が結論できるか、推論を続けよう。これを変形すると
\begin{equation} \Delta y\times p\sin \theta =h \label{eq:psinthteat} \end{equation}である。ところで、電子が上下に曲がって進むということは、$0$ でない $y$ 方向の速度成分が生じることを意味する。それに質量をかけた値、つまり運動量の $y$ 成分を $p_y$ で表す。隙間を通過するたくさんの電子についての $p_y$ の平均は $0$ だが、その周りでのばらつきの範囲を $\Delta p_y$ で表すと
$${{\Delta p_y}\over p}\approx \sin \theta $$だと考えられる。よって (\ref{eq:psinthteat}) から
\begin{equation} \Delta y\times \Delta p_y\approx h \label{eq:DeltaxDeltapx} \end{equation}が導かれる。
(\ref{eq:DeltaxDeltapx}) 式はハイゼンベルグの不確定性関係と呼ばれている。ここでは隙間を通過させることにより位置を絞る方法でこの式を結論したが、どんな方法であっても、とにかく、不確定度 $\Delta y$ の範囲内で $y$ 座標を確定すると、$y$ 方向の運動量が必ず
$$\Delta p_y\approx {h\over {\Delta y}}$$の程度の不確定度を持つ、と解釈されている。以上では $y$ 方向だけを取り出して考えたが、三次元空間の中の $x, z$ 方向についても同様で
$$\Delta x\times \Delta p_x\approx h, \hskip 2mm \Delta z\times \Delta p_z\approx h$$である。
ハイゼンベルグの関係式は、正確に位置を決めると、運動量の方が大きく揺らぐことを意味している。逆に、運動量がある程度正確に決まった粒子を用意すると、それらの位置は、大きく揺らいでいることになる。位置や運動量を絞る方法すべてについてこの関係式を確かめたわけではないし、そんなことはできない。この関係が普遍的に成り立つとしてその論理的帰結を探り、それが現実に起きる諸々の現象を予言するかどうかを見るという方向に、歴史は進んだ。
ハイゼンベルグの関係式とわれわれの常識の間の齟齬についての注意：ハイゼンベルグの関係式を導く際の推論をもう一度たどればわかるが、微視的粒子でないといけない箇所は一切ない。すべてが粒子としての側面と波としての側面を持つことを認めれば、あらゆる物体に対してこの関係式を結論することができる。一方で、われわれは誰でも、物体の位置と速度はいくらでも正確に決めることができると信じてきたはずである。ここには明らかな矛盾があるように見える。
われわれが日常生活で見たり触ったりできるもの例として、今私の目の前にある消しゴムを考えてみる。質量は
$$m=10 g=10^{-2} kg$$程度であろう。じっとしているように見えるけれども、周囲の熱により四方八方から突き動かされているはずで、一つの座標軸方向の速さを室温 $300 K$ で計算すると
$$v\approx 6.5\times 10^{-10} m\cdot s^{-1}$$となる。従って、この座標軸方向への運動量の不確定度は
$$\Delta p\approx 6.5\times 10^{-12} kg\cdot m\cdot s^{-1}$$としてよいであろう。 ここでハイゼンベルグの関係式を適用して位置の不確定度を評価すると
$$\Delta x\approx {h\over \Delta p}\approx 1.0\times 10^{-22} m$$となる。この値は水素の原子核（陽子）の直径
$$1.8\times 10^{-15} m$$の一千万分の一である。このような小さな位置の揺らぎは、われわれの五感には決してかからない。このような事情があって、『位置と速度はどちらも正確に確定できる』とわれわれは信じ込んできたと考えられる。
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