目次を表示

四方山話（ベルの不等式-その弐） (2021年7月7日）

　前々回「ベルの不等式（2021年6月29日）」の復習を少し：反対方向に飛ぶ二つの光子を作り出し、しかもそれらの偏極方向を測定する時必ず互いに直交する、その意味で互いに相関するようにできる。

　こういう相関が起きる場合の簡単な例としては、中の見えない箱に $10$ 個のボールを入れた後、横から境を挿入して箱を二つに分割し遠方に運ぶ場合がある。この時二つの箱を開けてボールの個数を数えてみると、左に運んだ箱の中身が例えば $3$ 個のボールあれば、右に運んだ箱のボールは $7$ 個である。常に、合計が $10$ 個であるという意味の相関がある。

　この $3$ と $7$ の個数はいつ決定されたか、もちろんもとの箱が二つに分割された時である。箱を開いた時ではない。光子対の場合も同様であって、それらが生成された時、将来の振る舞い方を記したルールブックが二つの光子に渡されると考えると非常にわかりやすい。その規則集には、例えば $h$ 偏光子に遭遇しそれを通過する時には水平方向に偏極して通過しろとか、$\phi$ 偏光子を通過する時には $\phi =-$ 状態で通過しろとか、そんな命令が記載されている。作り出された時に将来の振る舞いの仕方が決定されるとするこの考え方を、「決定論」と今後呼ぶ。

　一方、信号や影響が瞬時に離れた地点へ及ぶことはないという考え方を「局所性」と呼ぶことにして、これら「決定論」と「局所性」を正しいと仮定すると必然的にベルの不等式

$$n(h_-, \phi _+)+n(\phi _+, \theta _+)\geq n(h_-, \theta _+)$$

が導かれることを示した。

　但し、A 君が左へ飛ぶ光子を測定し、B 君が右へ飛ぶ光子を測定するとして、A 君が彼の光子を $h$ 偏光子に通して $h=-$ の状態（すなわち垂直方向に偏極した状態）の光子を検出し、B 君が彼の光子を $\phi$ 偏光子に通して $\phi =+$ の状態を検出する対の個数を $n(h_-, \phi _+)$ で表す（光子対は全部で $N$ 個生成されたとする）。$n(h_-, \theta _+)$ についても同様で、B 君は $\theta$ 偏光子に取り換え、A 君が垂直方向の偏極を検出し、B 君が $\theta =+$ 状態の光子を検出する対の個数を $n(h_-, \theta _+)$ で表す。もちろん、同じ光子を違う検出装置に通すことはできないから、改めて $N$ 個の光子対を生成し測定に当たるとする。

　個数 $n(\phi _+, \theta _+)$ についても同様である。これら三つの個数の間のベルの不等式が実際には成り立っていないというのがアスペの実験の結果であった。ベルの不等式が、極めて自然な考え方だと思われる「決定論」と「局所性」から必然的に導かれるだけに、アスペのこの結果は、自然のあり様についての非常に革新的な事柄を意味していると考えられる。

　ジョン・S・ベルが彼の不等式を世に出したのが 1969 年、アスペの実験がなされたのが 1982 年のことであり、量子力学が一応完成されたのはそれよりずっと以前の 1925 年頃である。量子力学は一見したところ非決定論的な理論であるかに見えるのだが、真の意味でそうなのか、実は背後に決定論的な理論があるのだが、ただそれがわれわれには認識できないだけかもしれない、と言う疑問が根強くあった。その疑問を解くためにベルの不等式が案出され、アスペの実験が行われた。

　そこで次に、量子力学の考え方に従うと三つの個数

$$n(h_-, \phi _+), \hskip 2mm n(\phi _+, \theta _+), \hskip 2mm n(h_-, \theta _+)$$

の間にどんな関係があるか、そしてその関係はアスペの実験によって支持されたのか、という点について考えてみよう。

　念のためにここでもう一度、量子力学の考え方を復習しておく：光子の偏極方向を測る測定器は次の図のようなものである。

方解石の結晶を通過した光が互いに直交する方向に偏極することを利用した装置であって、図では水平方向（紙面に垂直な方向）と垂直方向（紙面に平行な方向）への偏極を測れるように置かれている。この装置の測定器としての機能は次の図のようにして確認できる。

方解石 $\Gamma$ を通過した光子をもう一度 $\Gamma '$ と $\Gamma ''$ に通す。すると $\Gamma '$ に付けた検出器は必ず $D_{b'}$ が作動し、点線で示した経路の先の検出器のブザーは決して鳴らない。同様に $\Gamma ''$ に付けた検出器については $D_b$ だけが作動する。$\Gamma$ の左から任意の状態の光子が入射しても、この状況は変わらない。

　さて、光子の任意の状態 $a$ は、複素数体上の $2$ 次元ベクトル空間の一つのベクトルで表される。ここで紙面に垂直な長さ $1$ のベクトルを $b$ で、紙面に平行な長さ $1$ のベクトルを $b'$ でそれぞれ表せば、$b, b'$ はこの $2$ 次元空間の基底になり得る。よって何らかの複素数 $\alpha , \beta$ によって

$$\begin{equation} a=\alpha b+\beta b' \label{eq:anobbdash} \end{equation}$$

と書き表される。もちろん

$$\alpha =(a, b), \hskip 2mm \beta =(a, b')$$

である。

　方解石と二つの検出器 $D_b, D_{b'}$ からなる上の図の測定装置に、($\ref{eq:anobbdash}$) 式の状態 $a$ の光子が一つ入射する場合に何が起きるかを、もう一度考えておく：光子は光量子とも呼ばれるが、いつでも一塊の実体として観測され、二つ以上に分裂して観測されたことは未だかつてない。従って、この場合にも二つの検出器 $D_b, D_{b'}$ の内一つ、そして一つのみが鳴る。入射する各光子についてどちらのブザーが鳴るかは、完全に確率的に決定され、それぞれ $\vert \alpha \vert ^2, \vert \beta \vert ^2$ の確率で鳴る。つまり、表と裏がこの確率で出るコインが投げられ、表が出れば $D_b$ が鳴らされ、裏が出れば $D_{b'}$ が鳴らされるというわけである。それぞれ $b, b'$ の状態として方解石を通過したと解釈される。

　繰り返しになるが、強調しておく。量子力学では各光子はそれぞれの振る舞い方をあらかじめ決めているわけではない。参照すべき規則集は持っていない。代わりに、その時々コインを投げて、完全に偶然に身をゆだねて行動する。以上が量子力学の考え方であって、理論の公理である。

　さて、いよいよこの量子力学の公理に従ってベルの不等式に現れる三つの個数

$$n(h_-, \phi _+), \hskip 2mm n(\phi _+, \theta _+), \hskip 2mm n(h_-, \theta _+)$$

を計算してみよう。その為にはまず二つの光子からなる光子対の状態を書き表す必要がある：左右に飛ぶ光子をそれぞれ A 君と B 君が捕まえるとして、A 君のもとへやって来る光子の水平方向へ偏極した状態を $b_A$、垂直方向へ偏極した状態を $b'_A$ でそれぞれ表す。$b_B, b'_B$ は B 君の光子の状態である。この時、今われわれが扱っている光子対の状態を $a$ で表すならば

$$\begin{equation} a={1\over {\sqrt 2}}\left( b_A\otimes b'_B-b'_A\otimes b_B\right) \label{eq:anohyougen} \end{equation}$$

と書き表せる。以下はその理由の、但しかなり直観的な説明である：

　まず右辺に現れる

$$b_A\otimes b'_B$$

は、A 君の光子が水平に偏極し、B 君の光子が垂直に偏極していることを表す為に案出した記号である。もう一方の片割れの

$$b'_A\otimes b_B$$

は、A 君の光子が垂直に偏極し、B 君の光子が水平に偏極していることを表す。妙な記号 $\otimes$ が気になるかもしれないが、別になくてもよい。この記号を挟む左右の偏極が共に成立していることを強調するために考案した記号である。

　一つの光子の状態は $b$ と $b'$ の線形結合として表すことができた。よって、二つの光子の状態は、

$$b_A\otimes b'_B, \hskip 2mm b'_A\otimes b_B$$

の他に

$$b_A\otimes b_B, \hskip 2mm b'_A\otimes b'_B$$

の四つの状態の線形結合として表されることは、少なくとも感覚的には納得できると思う。今われわれが問題にしている光子対の場合は、偏極の方向が互いに直交するのだから

$$b_A\otimes b_B, \hskip 2mm b'_A\otimes b'_B$$

の二つは必要でなくて、

$$b_A\otimes b'_B, \hskip 2mm b'_A\otimes b_B$$

の線形結合で表されることになる。

　最後に、($\ref{eq:anohyougen}$) 式

$$a={1\over {\sqrt 2}}\left( b_A\otimes b'_B-b'_A\otimes b_B\right)$$

に現れるマイナスの必然性を示す：ベクトル $b$ を $+\phi$ だけ回転したベクトルを $c$ で表す。$\phi$ はどんな角度でもよい。この時

$$\begin{equation} c=\cos \phi b+\sin \phi b' \label{eq:cnohyouji} \end{equation}$$

と書けるが、$c$ を更に $+90$ 度回転したベクトルを $c'$ とすれば

$$\begin{equation} c'=-\sin \phi b+\cos \phi b' \label{eq:cdashnohy} \end{equation}$$

である。

　この時 A 君の光子が $c$ の方向に偏極し B 君の光子がそれに垂直な $c'$ の方向に偏極している状態を

$$c_A\otimes c'_B$$

で表すと

$$\begin{eqnarray*} c_A\otimes c'_B&=&\left( \cos \phi b_A+\sin \phi b'_A\right) \otimes \left( -\sin \phi b_B+\cos \phi b'_B\right) \\ &=&-\cos \phi \sin \phi b_A\otimes b_B+\cos ^2\phi b_A\otimes b'_B\\ &&-\sin ^2\phi b'_A\otimes b_B+\sin \phi \cos \phi b'_A\otimes b'_B \end{eqnarray*}$$

となる。

　また A 君の光子が $c'$ の方向に偏極し B 君の光子が $c$ の方向に偏極している状態を

$$c'_A\otimes c_B$$

で表すなら、同様な計算により

$$\begin{eqnarray*} c'_A\otimes c_B&=&-\sin \phi \cos \phi b_A\otimes b_B-\sin ^2\phi b_A\otimes b'_B\\ &&+\cos ^2\phi b'_A\otimes b_B+\cos \phi \sin \phi b'_A\otimes b'_B \end{eqnarray*}$$

が得られる。よって

$$c_A\otimes c'_B-c'_A\otimes c_B=b_A\otimes b'_B-b'_A\otimes b_B$$

が成り立つ。つまり、このマイナスのお陰で、($\ref{eq:anohyougen}$) 式で表される状態 $a$ では、A 君の光子が $c$ 方向に偏極していれば B 君の光子は $c'$ に偏極し、A 君の光子が $c'$ 方向に偏極していれば B 君の光子は $c$ に偏極していることになる。$c$ の方向は任意であり、よって、$a$ は確かに、二つの光子の偏極方向が互いに直交するという条件を満たす。

　さて $n(h_-, \phi _+)$ をまず計算する：A 君が $h=-$ の偏極を、B 君が $\phi =+$ の偏極を検出する確率を $a$ の表示

$$a={1\over {\sqrt 2}}\left( b_A\otimes b'_B-b'_A\otimes b_B\right)$$

を使って計算すればよい。($\ref{eq:cnohyouji}$) 式

$$c=\cos \phi b+\sin \phi b'$$

と ($\ref{eq:cdashnohy}$) 式

$$c'=-\sin \phi b+\cos \phi b'$$

を逆に解くと

$$b=\cos \phi c-\sin \phi c'$$ $$b'=\sin \phi c+\cos \phi c'$$

が得られるから、

$$\begin{eqnarray*} a&=&{1\over {\sqrt 2}}\left[ b_A\otimes b'_B-b'_A\otimes b_B\right] \\ &=&{1\over {\sqrt 2}}\Bigl[ b_A\otimes ( \sin \phi c_B+\cos \phi c'_B) -b'_A\otimes (\cos \phi c_B-\sin \phi c'_B)\Bigr] \\ &=&{1\over {\sqrt 2}}\Bigl[ \sin \phi b_A\otimes c_B+\cos \phi b_A\otimes c'_B-\cos \phi b'_A\otimes c_B+\sin \phi b'_A\otimes c'_B\Bigr] \end{eqnarray*}$$

と書ける。

　従って、量子力学の公理に従うと、A 君が $h=-$ の偏極を、B 君が $\phi =+$ の偏極を検出する確率は、上の式の $b'_A\otimes c_B$ の係数の絶対値の $2$ 乗、つまり

$$\vert -{1\over {\sqrt 2}}\cos \phi \vert ^2={1\over 2}\cos ^2\phi$$

である。よって

$$n(h_-, \phi _+)={N\over 2}\cos ^2\phi$$

が得られた。

　まったく同様の計算をすれば

$$n(\phi _+, \theta _+)={N\over 2}\sin ^2(\theta -\phi ), \hskip 2mm n(h_-, \theta _+)={N\over 2}\cos ^2\theta$$

が得られる。

　これらをベルの不等式へ代入すると

$$\begin{equation} \cos ^2\phi +\sin ^2(\theta -\phi )\geq \cos ^2\theta \label{eq:cos2phi+sin2phi} \end{equation}$$

が得られる。容易にわかることだが、この不等式はすべての $\phi$ と $\theta$ に対して成立するわけではない。何故ならば：$\phi$ を任意の値に固定した上で $\theta$ の関数

$$f(\theta )=\cos ^2\phi +\sin ^2(\theta -\phi )-\cos ^2\theta$$

を考える。$f(\phi )=0$ であることに着目する。

$$f'(\theta )=2\sin (\theta -\phi )\cos (\theta -\phi )+2\cos \theta \sin \theta$$

だから

$$f'(\phi )=2\cos \phi \sin \phi =\sin 2\phi$$

である。よって $\sin 2\phi >0$ である $\phi$、例えば $\phi =\pi /4$ の前後で、$f(\theta )$ は負の値にも正の値にもなり得る。

　この結果は、量子力学が予言する現象を「決定論$+$局所性」を保つ論理で説明することが不可能であることを意味する。また、先に述べたように、アスペの実験は「決定論$+$局所性」から導かれる不等式が、測定装置の配置によっては成り立たないことを示した。しかしそのような配置に対しても、量子力学から得られる関係式は成り立っていた。

　こうして、量子力学の予言を慣れ親しんできた古典的な考え方によって説明することは不可能であること、そして自然は、量子力学の考え方の方を採用していそうだということが、明らかになった。確かに、量子力学の予言に反する現象が見出されたことはこれまで一度もない。

　数学的な推論と実験によればどうしてもそういう結論へと導かれてしまう。それは避けがたい。しかし、量子力学の考え方がいかにも奇妙なものであることは、落ち着いて考えてみるとよくわかってくる。

目次を表示

このページの先頭へ