四方山話（確率振幅の干渉） (2021年6月5日）
前回の復習を少し：方解石の単結晶はそれに固有な特別な方向を持ち、その方向に偏極した光は直進させるが、その方向と直交する方向に偏極した光は表面で屈折させる。いずれの場合も、結晶を出た後の光の偏極方向は入射する前と変わらない。ここでは紙面に垂直な方向を黒丸で表し、紙面に平行な方向を矢印で表して、前者の方向に偏極した偏光は直進させるが後者の方向に偏極した光は屈折させる結晶を考える。
この方解石に左側から光が入射すると、もとから紙面に垂直、もしくは平行に偏極していない限り、右側からは二本の光線が出る。直進して出る光は紙面に垂直に偏極していて、ずれて出る光は紙面に平行に偏極している。従って言わば、二枚の偏光板の役割を一つの方解石の結晶が演じるとも言える。
図のように、右側の二つの経路の行く手に光子を検出する検出器を置く。左から状態 $a$ の光子を一発ずつ入射すると、その度ごとに検出器のブザーが鳴る。ただ、一方だけが鳴り、両方が鳴るということはない。その意味で光子は分裂することなく、どちらか一方の検出器に飛び込む。
紙面に垂直な方向のベクトルを $b$、平行な方向のベクトルを $b'$ で表すとして、もし $a=b$ であれば必ず検出器 $D_b$ が鳴り、$D_{b'}$ が鳴ることはない。$a=b'$ であれば反対の現象が起きる。一般の $a$ に対しては $\vert (a, b)\vert ^2$ の確率で検出器 $D_b$ が反応し、$\vert (a, b')\vert ^2$ の確率で $D_{b'}$ が反応する。
さて、この方解石の結晶（$\Gamma $）と、同じものを裏返して（${\overline {\Gamma }}$ で表す）配置した図のような装置を作る。
この装置の左側から光を入射すれば、方解石 $\Gamma $ で二つの光線に分裂し、${\overline {\Gamma }}$ で再び合体して一つの光線となって右側へ出る。
問題は、この装置に、任意の状態 $a$ の光子を入射する時、出てくる光子の状態（図で ? で示した状態）が何であるかだが、状態の時間的変化が線形写像であることを使うと、入射した時の状態 $a$ であることがわかった。このことは、光子が、最初の結晶で $b$ もしくは $b'$ の片方に転移してこの装置を通過していると考えると、決して説明できない。従って、$b$ と $b'$ の双方にいるとか、下の経路と上の経路を同時にたどっていると考えざるを得ない。
光子は、ある時には（例えば光電効果を用いて検出する時）、はっきり粒子としてわれわれの前に姿を現す。しかしある時には、別々の二つの経路を同時に通過していると考えざるを得ない振る舞いをする。われわれの常識では、一かたまりの粒子が別々の二ヶ所に同時に存在することはあり得ない。つまり、光子の振る舞いのすべての側面を的確に言い表し得る言葉を、残念ながらわれわれは持ち合わせていない。
その理由はもちろん、われわれの常識や言葉が、日々の経験から形作られてきたことにある。子どもの頃、光子をおもちゃにして遊んだ経験は無い。また、夏の浜辺で遊んでいる時、今にして思えば光子のじゅうたん爆撃を受けていたことになるが、そんな時でさえ、その存在について考えたことは一度もない。そのような中で形成された常識や言葉から、光子という存在がはみ出してしまったとしても何ら不思議はない。
光子は別々の二つの経路を同時に通過すると言わざるを得ない場合があるのだが、今回は光子のこの振る舞いを、もう少し数学的に正確な形に表現してみる：
偏光板 $B$ を通過する光子の状態を $b$ で表すならば、状態 $a$ の光子が $B$ を通過して状態 $b$ に転移する確率は $\vert (a, b)\vert ^2$ である。この時 $(a, b)$ を、「$a$ から $b$ へ転移する際の確率振幅」と呼ぶ。雑な言い方をするなら、確率の平方根である。
さて、もう一度図の装置を考える。
偏光板 $C$ を $?$ のすぐ後方に置くとし、$C$ を通過後の光子の状態を $c$ で表す。左側から $a$ の状態の光子を打ち込むと、 $?$ の位置を $a$ の状態で通過するから、$C$ を通り抜けて状態 $c$ へ転移する確率は $\vert (a, c)\vert ^2$ であり、確率振幅は $(a, c)$ である。
一方、等式
$$a=(a, b)b+(a, b')b'$$が成り立つから
\begin{equation} (a, c)=(a, b)(b, c)+(a, b')(b', c) \label{eq:acwoabtoa} \end{equation}である。ここで、
$$\vert (a, b)(b, c)\vert ^2=\vert (a, b)\vert ^2\vert (b, c)\vert ^2$$は、状態 $a$ の光子がいったん状態 $b$ に転移して後、更に $c$ に転移する確率を表す。よって $(a, b)(b, c)$ は、「$a$ の光子がいったん $b$ を経て、$c$ に転移する際の確率振幅」と呼ぶべきものである。同様に $(a, b')(b', c)$ は、「$a$ の光子がいったん $b'$ を経て、$c$ に転移する際の確率振幅」である。
つまり (\ref{eq:acwoabtoa}) 式は、打ち込まれた状態 $a$ の光子が偏光板 $C$ を通過して状態 $c$ に転移する確率振幅 $(a, c)$ が、いったん $b$ と $b'$ を経由して $c$ へ転移する確率振幅の和であることを示している。
偏光板 $C$ の偏極の方向が、水平線（図の $x$ 軸の方向）から $y$ 軸方向へ角度 $\theta $ だけ回転した位置にあるとする。また、議論を具体的に進める為だが、$a$ の偏極方向は $x$ 軸から $+45$ 度の方向であるとする。この時、
\begin{eqnarray*} (a, b)(b, c)&=&{1\over {\sqrt 2}}\cos \theta \\ (a, b')(b', c)&=&{1\over {\sqrt 2}}\cos (\theta -{\pi \over 2})={1\over {\sqrt 2}}\sin \theta \end{eqnarray*}である。よってもし仮に、$a$ の光子が $b$ もしくは $b'$ を経由して $c$ へ転移するのであれば、その確率は
$$\vert {1\over {\sqrt 2}}\cos \theta \vert ^2+\vert {1\over {\sqrt 2}}\sin \theta \vert ^2={1\over 2}$$となる。つまり、装置の左側から次々に光子が撃ち込まれるなら、それらの光子の半数が状態 $c$ へ転移して偏光板 $C$ の右側へ現れることになる。しかもこれは偏光板の角度 $\theta $ が何であっても変わらない。
しかし実際には、
$$(a, b)(b, c)+(a, b')(b', c)={1\over {\sqrt 2}}\cos \theta +{1\over {\sqrt 2}}\sin \theta =\cos (\theta -{\pi \over 4})$$であって、$a$ から $c$ へ転移する確率は
$$\cos ^2(\theta -{\pi \over 4})$$である。従って、例えば
$$\theta ={3\over 4}\pi $$の角度に偏光板 $C$ を設定すると、$C$ を通り抜ける光子はない。この角度では実は
$$(a, b)(b, c)=-{1\over 2}, \hskip 4mm (a, b')(b', c)={1\over 2}$$であり、確率振幅が互いに打ち消し合い、加えると $0$ になっている。つまり二つの経路に対応する確率振幅が互いに干渉して打ち消し、その結果 、$b$ もしくは $b'$ をいったん経由するのであれば転移するはずの状態に、まったく転移しないという状況が生まれている。
いくら強調しても足りないほどに著しい特徴は、この確率振幅の間の干渉が、一個の光子に対して起きる現象であって、多数の光子がないと起きない性格のものでは、決してないことである。われわれは一つの光子に対し推論して上の結論を得た。従って、この装置内にいる光子が一時には高々一個であるように十分な時間間隔をもって打ち込まれる場合にも、この干渉は起きる。
(\ref{eq:acwoabtoa}) 式
$$(a, c)=(a, b)(b, c)+(a, b')(b', c)$$は、二つの経路に対応する確率振幅の和によって、偏光板 $C$ を通り抜けるかどうかが決まることを示している。少し擬人的に表現するならば、二つの確率振幅を共に知って初めて、光子は自分のその後の振る舞いを決めることができる。その意味で、各光子は、両方の経路を共に経験した上で、この装置を通過していると言える。
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