四方山話（ベルの不等式） (2021年6月29日）
セロファンの話は、実はコガネムシと関係があります。たまたま私のブドウ棚を荒らしに来たにっくきコガネムシを捕まえたのですが、少し小さ過ぎて、果たして話題のネタにできるものかどうかはっきりしません。現在葉っぱを食べさせて大きくなるのを待っています。そのつなぎに今回は、量子論の発展に貢献した極めて重要な、しかし極めて単純な不等式を紹介します：
ある条件を満たす原子の中には、エネルギーを放出する過程で、二つの光子を正反対の方向へ射出するものがある。しかも、これからの議論にとって好都合なことに、二つの光子の偏極の方向が常に互いに垂直になっている。左へ飛んだ光子がもし水平方向に偏極していれば、右へ飛んだ光子は必ず垂直方向に偏極している。これは水平と垂直方向に限られることではない。右へ進んだ光子が、例えば水平方向から $+45$ 度の方向へ偏極しているとすると、左へ進んだ光は必ず $-45$ 度の方向（$+135$ 度の方向とも言える）へ偏極しているという具合である。
この状況を正確に理解しておくために下図の装置を考える。
中央には件の原子の塊があり、適当な時間間隔をもって左右へ光子が次々に放出されるよう調整済みである。左右へ飛ぶ光子はその通路上に置かれた方解石を通過し、その先の検出器によって、水平（$x$ 軸方向）、もしくは垂直（$y$ 軸方向）のどちらかの方向へ偏極したかを測定される。上で述べた『対を成す二つの光子が互いに垂直に偏極している』とは、左の検出器の「水平」を示すブザーが鳴る時には、右の検出器の「垂直」を示すブザーが鳴る、逆も真であることを意味する。
この図では水平方向と垂直方向の偏極を測るよう左右の方解石を置いた。しかし $z$ 軸の周りにそれぞれを少し回転させ、例えば $x$ 軸から$+30$ 度の方向と $+120$ 度の方向の偏極を測るようにもできる。この場合は、左の光子が $+30$ 度の方向へ偏極していることを知らせるブザーが鳴る度に、右の光子が $+120$ 度に偏極していることを右のブザーは知らせる。
光子に関するこの現象を目にすれば、多くの人はおそらく次のように考える：『光子の対はそれが作り出される時、将来の行動の仕方 をインプットされる。偏極方向を測る装置に突入する時、左右の光子がどちらの方向に偏極するかは、その時にインプットされる情報により予め決定されている。』
方解石に入る前に、光子は自分がどちらの方向に偏極してその結晶を通過するかをあらかじめ知っているとするこの考え方は、例えば次の例を想い浮かべると一層自然に思える：中の見えない一つの箱にボールを $10$ 個入れる。入れた後で仕切りを横から挿入し、二つの箱に分ける。もちろん内部は見えないから、$10$ 個のボールが二つの箱にいくつづつ分配されたかは分からない。一方の箱を西のずっと遠くにいる A 君のもとへ、他方の箱を東のずっと遠くにいる B 君のもとへ運ぶ。A 君と B 君が箱のふたを開けると、例えば $3$ 個と $7$ 個のボールがそれぞれ入っているというような相関を見い出す。ただ、その場合の個数 $3$ と $7$ は、仕切りが挿入されて二つの箱が作り出された時に確定されたものである、運ばれる途中、あるいは両君が箱を開ける時になって決定されるものではない。
この考え方は次のように言い換えてもよい：各光子は自分の振る舞い方に関するルールブックを持っていて、例えば何かの測定装置に遭遇する時どう行動するかは、（もちろん相手の状態も考慮に入れなくてはいけないが）そのルールブックに従って決定する。その規則集の内容は光子が作り出された時に確定する。この考え方を今後の参照の便利を考えて「決定論」と名付ける。
これをもう一度明確に理解しておくために、さいころの例も挙げておく：さいころを投げる時、『確率 $1/6$ で $1$ の目が出る』という言い方をよくする。しかしさいころが手から空中に放出された時の高さ、方向、速さ、回転の具合、あるいはさいころの正確な形、質量の分布、硬さ等、その後の空気から受ける抵抗や床に衝突した時の跳ね返り方等を計算する上で必要な、すべての事柄を知ることがもしわれわれにできれば、どの目が出るか計算で求めることができるはずである。床に衝突する時のきわめてわずかな角度の違いによって、結果はおそらく大きく異なる。しかしその角度の違いもそれを生み出す原因はさいころが手から離れた時に仕組まれたはずであって、その瞬間に作成されたルールブックのどこかにはっきり記載されていると思われる。もちろん、その記載内容すべてをわれわれが知ることは実際上不可能である。だからこそ『確率 $1/6$ で $3$ の目が出る』というような言い方でわれわれは我慢する。
われわれにとって極めて自然な考え方であるこの「決定論」は、実は、一つ一つの光子の振る舞いを考える時、無条件で受け入れることのできないことが、理論と実験の、非常に巧みな、見事としか言いようのない方法によって明らかにされた。そして量子力学の考え方は、これに代わるものとして登場する。
その辺の顛末を紹介したいのだが、まず「ベルの不等式」と呼ばれているある不等式を決定論を仮定した上で導く：
上で述べた意味で相関した光子対を左に位置する A 君と右に位置する B 君とがそれぞれの持つ装置に通すのだが、彼らは $3$ 種類の装置を持っている。まず先に挙げた図
の装置を「$h$ 偏光子」と呼ぶ。方解石と二つの検出器からなるこの装置を光子が通過すると、ある時には $x$ 軸の方向に偏極したことを知らせる検出器のブザーが鳴り、またある時は $y$ 軸の方向に偏極したことを知らせるもう一方のブザーが鳴る。下のブザーが鳴る時の光子の状態、つまり紙面に垂直な方向に偏極した光子の状態を $h=+$ で表し、そうでなく紙面に平行な方向に偏極した光子の状態を $h=-$ で表す。光子対は上で述べた意味で相関しているから、A 君が $h=+$ の光子を認めるならば B 君は必ず $h=-$ の光子を見出す。逆も真である。
ベルの不等式にはもう二種類の装置を必要とする。一つは、$x$ 軸と $+\phi $ の角度を成す方向とそれに垂直な $\phi +\pi /2$ の方向のどちらに偏極したかを測定する装置で、これを「$\phi $ 偏光子」と呼ぼう。つまり $h$ 偏光子を $z$ 軸を中心にして $+\phi $ だけ回転して得られる装置である。$\phi =+$ と $\phi =-$ によって、この装置を通過後二つの方向へ偏極した光子の状態を表す。同様に $h$ 偏光子を $z$ 軸を中心にして $+\theta $ だけ回転して得られる装置を $\theta $ 偏光子と呼び、それを通過後の光子の状態を $\theta =+$ と $\theta =-$ で表す。
先に述べた意味で相関した光子の対を $N$ 対作り、A 君と B 君はまず次の測定をしてデータを集める：A 君は $h$ 偏光子に、B 君は $\phi $ 偏光子に、それぞれのもとへやって来る光子を通し $\pm $ のどちらに転移するかを観測する。この時、A 君が $h=-$ の光子を検出し B 君が $\phi =+$ の光子を検出する対の個数を
$$n(h_-, \phi _+)$$で表す。
さて、対を成す二つの光子は偏極方向が直交しているという意味で相関関係にある。よって $n(h_-, \phi _+)$ 個に含まれる光子対の場合、B 君のもとへ到着する光子は、もしそれを $h$ 偏光子に通すならば $h=+$ の状態に偏極して通過するはずである。よって、その光子のルールブックには、『$h$ 偏光子を通る場合には $h=+$ の状態になり、$\phi $ 偏光子を通過する場合には $\phi =+$ の状態になって通過せよ』という一文が書き込まれていたことになる。
但し、ここで一点注意しておくべきことがある。A 君は彼のもとへやって来る光子を偏光子に通し検出器でその行く手を遮った。その意味でその光子を攪乱した。当然その光子がそれまでに持っていたルールブックの内容は、その攪乱の為に書き直されるかもしれない。ではもう一方の光子、つまり B 君のもとへ到着する光子については大丈夫だろうか。A 君の測定行為によってこの光子もまた攪乱されることはないだろうか。もし攪乱されるのであれば、そのルールブックも改訂され、それ以前のものとは異なる内容を持つものになる可能性がある。B 君の測定によって $\phi =+$ の状態に偏極したことが確認されたとしても、ルールブックの作成時の内容がそうであったとは言えなくなる可能性が生じる。
ただ、A 君から $B$ 君の位置へ何らかの影響が伝わるとしても、アインシュタインの原理によってその速さが光速を超えることはない。従って、A 君と B 君は遠く離れているが故に、そのような影響がもしあったとしても B 君の光子を攪乱するまでにはいくばくかの時間を要する。よって、両君の測定が時間をずらすことなく十分素早く行われれば、上の推論はそのまま正しいと考えてよかろう。しかしとにかく、『何らかの影響や作用が、瞬間的に離れた地点に及ぶことはない』という前提の上に、われわれの推論が成り立っていることは確かである。そこで、この前提を「局所性」と名付け、決定論とこの局所性を元に推論を進めていることを忘れないようにしよう。
光子対の個数
$$n(h_-, \phi _+)$$を得ることができたら、次にもう一度 $N$ 対の相関した光子を作り、A 君は前回と同じように $h$ 偏光子を通すけれども、B 君は $\theta $ 偏光子を通す測定を行う。この時、A 君が $h=-$ の光子を検出し B 君が $\theta =+$ の光子を検出する対の個数を求め、これを
$$n(h_-, \theta _+)$$で表す。この数値は、B 君のもとへ飛んでくる光子の内で、『$h$ 偏光子を通る場合には $h=+$ の状態になり、$\theta $ 偏光子を通過する場合には $\theta =+$ の状態になって通過せよ』という命令文が、ルールブックに書かれてある光子の個数を表す。
さて最後にもう一度 $N$ 対の光子を作り、A 君は $\phi $ 偏光子を使い B 君は $\theta $ 偏光子を使って、A 君が $\phi =+$ の光子を検出し B 君が $\theta =+$ の光子を検出する対の個数を記録して
$$n(\phi _+, \theta _+)$$と置く。従って B 君のもとへやって来る光子の内で、『$\phi $ 偏光子を通る場合には $\phi =-$ の状態になり、$\theta $ 偏光子を通過する場合には $\theta =+$ の状態になって通過せよ』という文が、ルールブックにある光子の個数を求めたことになる。
実はこれら三つの個数の間に不等式
\begin{equation} n(h_-, \phi _+)+n(\phi _+, \theta _+)\geq n(h_-, \theta _+) \label{eq:Bellfutou} \end{equation}が成り立つ。この不等式はベルの不等式と呼ばれるが、次のように証明できる：第一段階の測定において、B 君のもとへ飛んでくる $N$ 個の光子の中で、そのルールブックに『もし $h$ 偏光子を通過するのであれば $h=+$ の状態で、もし $\phi $ 偏光子に遭遇した場合には $\phi =+$ の状態で、もし $\theta $ 偏光子に飛び込んだ場合には $\theta =+$ の状態となって、それぞれを通過するように』と書き込まれている光子の個数を、記号
$$n(h=+, \phi =+, \theta =+)$$で表す。三つのプラスの内幾つかがマイナスになる場合も同様である。すると
\begin{equation} n(h_-, \phi _+)=n(h=+, \phi =+, \theta =+)+n(h=+, \phi =+, \theta =-) \label{eq:nh-phi+kakikae} \end{equation}と書ける。
同様に
\begin{equation} n(\phi _+, \theta _+)=n(h=+, \phi =-, \theta =+)+n(h=-, \phi =-, \theta =+) \label{eq:nphi+theta+kakikae} \end{equation}であり、
\begin{equation} n(h_-, \theta _+)=n(h=+, \phi =+, \theta =+)+n(h=+, \phi =-, \theta =+) \label{eq:nh-theta+kakikae} \end{equation}である。
ここでよく見ると、(\ref{eq:nh-theta+kakikae}) 式の右辺に現れる項の内最初のものは、(\ref{eq:nh-phi+kakikae}) 式の右辺の最初に現れ、二番目のものは (\ref{eq:nphi+theta+kakikae}) 式の右辺の最初に現れる。従って (\ref{eq:nh-phi+kakikae}) 式と (\ref{eq:nphi+theta+kakikae}) 式の和は、(\ref{eq:nh-theta+kakikae}) 式の値より小さくなることはない。つまりベルの不等式が証明できた。
ベルの不等式は「決定論」と「局所性」がこの世界の隅々で、特に一つ一つの光子の振る舞いについても成り立っているとすれば、必然的に満たされるべき不等式である。逆に、もしこの不等式が不成立な $\phi , \theta $ が一組でも存在するのであればその時には、これら二つの前提条件の少なくとも一つが、現実世界のある階層で破綻していることになる。実はそのような角度の組が実際に存在することを実験によって示した人がいる。
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