四方山話（簡単な予想とその確認） (2021年6月20日）
前回の復習を少し：セロファンには互いに直交する二つの特別な軸がある。それらの軸の方向に偏極した偏光は、明るさを減じることなく通過する。つまり、それらの軸方向を向く長さ $1$ のベクトルを $b, b'$ で表し、通過前の光子の状態に通過後の光子の状態を対応させる線型写像を $U$ で表すならば、
$$\vert (U(b), b)\vert ^2=\vert (U(b'), b')\vert ^2=1$$が成立する。これは
$$U(b)=\gamma b, \hskip 3mm U(b')=\delta b'$$となる絶対値が $1$ の定数 $\gamma $ と $\delta $ が存在することを意味している。
一方で、絶対値が $1$ の複素数を $U$ に乗じた写像ともとの $U$ は区別がつかない。そこで $\gamma =1$ と仮定することができる。さて $\delta $ についてだが、前回は『絶対値 $1$ の複素数すべてを相手にするのは大変だから』という、かなり横着な理由で $\delta =\pm i$ を天下り的に選んだ。しかし、少し考えるとそんなごまかしをしなくても簡単な実験からその二つの選択肢しかないことがわかる。セロファンを $2$ 枚重ねると（もちろん、二つの軸はそれぞれ一致させて）、その働きは $U^2$ で表され
$$U^2(b)=b, \hskip 3mm U^2(b')=\delta ^2b'$$である。そこで、この $2$ 枚重ねのセロファンを $2$ 枚の偏光板で挟み、視線の周りに偏光板を回転させる。まず、偏光板の方向を揃える場合、その方向が $b$ もしくは $b'$ に一致する時は、向こう側の景色の明るさはセロファンがあってもなくても同じである。ただ、このことは $\delta $ について
$$\vert \delta ^2\vert ^2=1$$を意味しているだけであり、何ら新しいことを教えてはくれない。
次に、偏光板の方向を揃えたままで、その方向が $b+b'$ の方向を向くまで回転すると真っ暗になる（実際に実験をしてもらえばすぐわかることなので本当のことを言うが、実は真っ暗になるわけではない。私のセロファンでは紫色の光は透過してやって来る。しかし、それ以外の色の光は通過できないように見える。そこで、可視光の領域の大部分は通過しないが、例外もある、しかしその例外はここでは無視するということで話を進める。つまりある程度限定した色の光だけを対象にすることにする）。この時、$1$ 枚目の偏光板を通過する光子の状態は
$${1\over {\sqrt 2}}(b+b')$$であり、これが $2$ 枚重ねのセロファンを通過すると
$${1\over {\sqrt 2}}(b+\delta ^2b')$$へ転移する。よって $2$ 枚目の偏光板を通過する確率振幅は
$${1\over 2}(b+\delta ^2b', b+b')={1\over 2}(1+\delta ^2)$$である。$2$ 枚目の偏光板を通過する確率が $0$ であるためには、従って
$$\delta ^2=-1$$でなくてはいけない。すなわち
$$\delta =\pm i$$しか選択肢がない。
念のために $2$ 枚の偏光板の向きを直交するように保ち、視線の周りに回転してみる。すると $1$ 枚目の偏光板の向きが $b$ もしくは $b'$ の方向に一致する時は真っ暗であり、それが $b+b'$ の方向に一致する時は明るい。この前半の結果からは何も新しいことは得られない。後半についてだが、この場合 $1$ 枚目の偏光板を通過後の光子は
$${1\over {\sqrt 2}}(b+b')$$の状態にあり、それが $2$ 枚のセロファンを通過すると
$${1\over {\sqrt 2}}(b+\delta ^2b')$$に変わる。従って $2$ 枚目の偏光板を通過する確率振幅は
$${1\over 2}(b+\delta ^2b', b-b')={1\over 2}(1-\delta ^2)=1$$であり、その確率も $1$ である。これは上で述べた実験結果をよく説明している。
最後に $U(b')=\pm ib'$ の符号のどちらを選ぶべきかが問題になるが、これは本質的な問題ではない：われわれは $U(b)=b$ から出発したのだが、$U(b')=b'$ から出発しても差し支えないはず。この時 $U(b)=ib$ とすれば
$$(-i)U(b)=b, \hskip 3mm (-i)U(b')=-ib'$$である。$(-i)U$ と $U$ は区別がつかないと考えているから、よって
$$U(b)=b, \hskip 3mm U(b')=\pm ib'$$の符号は $b$ と $b'$ を取り換えることにより互いに移りあえることになる。すなわち両方を考えなくても推論の一般性は失われない。以下では
$$U(b')=ib'$$で考える。
ところで、セロファンが持っている二つの軸に沿うベクトルとして、$b, b'$ を定めたけれども、これだけの条件では $b, b'$ の取り方に任意性がかなり残り、写像 $U$ の定義も不明確に解釈される可能性がある。そこでもう少し条件を加えておきたい：そもそも、これら二つの軸方向に偏極した光子に対し、セロファンの働き具合が違うということは、この二つの方向に沿ってのセロファンの構造が物理的に異なることを、おそらく意味している。例えばセロファンを構成している分子が球形のような対称的な形ではなく、楕円体のような形をしていることが考えられる。長軸の方向がほぼ揃うように分子が並んでいれば、その方向に偏極した光に対する反応と、それに直角な方向に偏極した光に対する反応が異なったとしても不思議ではない。
そこで、これら二つの軸方向の非対称性を忘れないために、交差する長短の線分で区別する。（上記のたとえ話で言えば、楕円体の長軸の方向を長い直線で、短軸の方向を短い直線で、それぞれ表すという具合。私が購入した $1/4$ 波長板には、「Slow axis 遅延軸」と書いた直線が表示されていた。）
$b$ は長い直線に沿う長さ $1$ のベクトル、$b'$ は短い直線に沿う長さ $1$ のベクトルを、それぞれ表すと約束する（もちろん逆でもよい。大事なことは、いったんどちらかに決めたら途中で変更しないということ）。但しこれだけでは $b, b'$ の向きに $\pm $ の自由度が残るので、光がセロファンのどちらの面から入射するかを考慮し、
$$b, \hskip 2mm b', \hskip 2mm 光の進行方向$$の三者がこの順で右手系を成すという条件を加える。これで
$$U(b)=b, \hskip 2mm U(b')=ib'$$により定める線型写像 $U$ をあいまいさなく把握できる。
復習はこれくらいにして、線型写像 $U$ を用いて何か予測じみたことができないかを、今回は考えてみる。
まず少し気になるのはセロファンに裏表の別があるかどうかということ。つまり、任意の状態の光子を通す場合、セロファンを裏返して通しても通過後の状態が同じになるかどうかということ。裏返す前のセロファンの働きを
$$U(b)=b, \hskip 2mm U(b')=ib'$$なる $U$ で表すとする。この時、裏返したセロファンの働きを ${\overline U}$ で表すならば、ここまでの推論によれば
$${\overline U}(b)=b, \hskip 2mm {\overline U}(b')=\pm ib'$$の二通りの可能性しかない。よってもしセロファンに裏表の違いがあるのであれば
$${\overline U}(b')=-ib'$$であるはず。従って
$${\overline U}U(b)=b, \hskip 2mm {\overline U}U(b')=b'$$である。つまり、一枚のセロファンを二つに等分し片方を裏返して重ねる時、両者の長軸と短軸をそれぞれ一致させるように重ねるのであれば、どんな状態の光子もその状態を変えずに通過できることになる。しかし、このように重ねたセロファンを $2$ 枚の偏光板で挟んで実験してみると、そうはなっていないことがすぐわかる。$2$ 枚の偏光板の向きを、例えば直交する向きにすると、もし推論通りであるなら偏光板をどのように回転しても真っ暗なはずである。実際、偏光板の向きがセロファンの長軸、あるいは短軸と一致する場合には真っ暗となる。しかし、その中間まで回すと明るくなる。ちなみにその様子は、セロファンの片方を裏返しても変わらない。よって、セロファンに裏表の別がないことがわかった。
さて本論に入ろう：偏光板の上にセロファンを下図の左のように重ねる。偏光板の向きは両端に矢を持つ矢印で示した、すなわち $b+b'$ の方向である。
紙面の裏側からこの $2$ 枚を通り抜けて来る光子の状態を $a$ で表せば
$$a={1\over {\sqrt 2}}(b+ib')$$である。ここでもう一枚のセロファンを用意し（図の右）、その長軸を先のセロファンの長軸から角度 $\theta $ だけ傾け、$a$ の状態の光子をこのセロファンに当てる、つまり最初のセロファンの上に $2$ 枚目のセロファンを重ねる。この時、$2$ 枚目のセロファンを通過する光子の状態を求めたい。
ベクトル $c, c'$ を図のように定め、$2$ 枚目のセロファンの働きを写像 $U$ で表すと
$$U(c)=c, \hskip 2mm U(c')=ic'$$である。一方
$$a=(a, c)c+(a, c')c'$$だから
\begin{eqnarray*} &&U(a)=(a, c)c+i(a, c')c'\\ &&={1\over {\sqrt 2}}\left[ \{ (b, c)+i(b', c)\} c+i\{ (b, c')+i(b', c')\} c' \right] \\ &&={1\over {\sqrt 2}}\left[ \cos \theta c+i\cos ({{\pi }\over 2}-\theta )c+i\cos (\theta +{{\pi }\over 2})c'-\cos \theta c' \right] \\ &&=e^{i\theta }\times {1\over {\sqrt 2}}(c-c') \end{eqnarray*}つまり、状態
$$a={1\over {\sqrt 2}}(b+ib')$$の光子は $2$ 枚目のセロファンを通過した後
$${1\over {\sqrt 2}}(c-c')$$の定数倍（絶対値 $1$）の状態に変わる。特に、$c-c'$ 方向の偏光板を $1$ の確率で通過できるが、$c+c'$ 方向の偏光板を通過することは決してできない。$\theta $ が何であってもこれは成り立つ。
以上の計算結果を簡明に言い表す為に次の定義を置く：上の状態
$$a={1\over {\sqrt 2}}(b+ib')$$を「右円偏光」の状態と呼び、簡単の為に $R$ で表す。何が「右」なのかは後でわかると思う（分かるように話を進めたいと思っている）。状態 $R$ を作り出す装置、すなわち、偏光板の上にセロファンを重ね、偏光板の向きが、セロファンの長軸方向から短軸方向に向けて $+45$ 度の角度を成すように固定した装置を、「$R$ 円偏光子」と呼ぶ。
上の計算で得た、『状態
$$a={1\over {\sqrt 2}}(b+ib')=R$$の光子は $2$ 枚目のセロファンを通過した後 $c-c'$ 方向の偏光板を $1$ の確率で通過できる』という結果は、『状態 $R$ を $R$ 円偏光子のセロファンの側から通すと $1$ の確率で透過する』と言い表すことができる。何故ならば、$R$ 円偏光子を裏返すと下図の右のようになり、偏光板の向きは $c-c'$ の方向を向くからである。念のために注意しておくが、これらの図で光は常に紙面の裏から表へぬける。
上の計算で得た結果の後半、『$c+c'$ 方向の偏光板を通過することは決してできない』を同じように言い換えるために、
$$L={1\over {\sqrt 2}}(b-ib')$$を「左円偏光」の状態と呼び、下図の左のように偏光板とセロファンを重ねた装置を、「$L$ 円偏光子」と呼ぶ。$L$ 円偏光子を裏返すと、図からわかるように、偏光板の向きは $c+c'$ の方向を向く。
よって上の計算で得た結果の後半は、『状態 $R$ の光子は、$L$ 円偏光子のセロファンの側からはけっして透過出来ない』と言い表すことができる。もちろん、$L$ 円偏光子をどのように回転しても、である。
以上の計算の結果は、セロファンの働きを線型写像 $U$ で表すことにより得られた簡単な一つの予想だが、実験によって確かに成り立っていることが確認できる。$R$ 円偏光子からの光が、そのまま見えたり、あるいはまったく見えなくなる様子には、しかも眼に近い方の偏光子をどのように回転しても状況が変わらないことには、ひょっとすると私だけかもしれないが、かなり感動する。
ただ、これらの実験は $1/4$ 波長板を使うと非常にうまくいくのだが、手持ちのセロファンを使うと、完全には真っ暗にならないような場合が起きて、感動の程度が少し下がる。おそらくセロファンの厚さに問題があり、その働きが正確に線型写像 $U$ で表されるものにはなっていないと考えられる。教材として身近なものをと思ったのだが、残念な限界である。
ちなみに、セロファンと偏光板で $R$ 円偏光子や $L$ 円偏光子を作ってみるとすぐ気づくが、セロファンの長軸と短軸を入れ替えると、$R$ 円偏光子は $L$ 円偏光子に、$L$ 円偏光子は $R$ 円偏光子に、それぞれ変わる。従って、この意味でも、いったん決めた長軸と短軸の方向は途中で変えてはいけない。
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