身近にあり、かつ光に関して興味深い働きをするものにセロファンがある。今回は、線型代数の練習問題として、セロファンとは何ぞや？と問いたい。もちろんセロファンの化学的構造を知りたいわけではなく、光を通す際にどんな働きをするかを問題にする。
包装などに使われていたセロファンが $1$ 枚や $2$ 枚は必ず家の中にあると思うが、手で触ってみると厚さに色々あることがわかる。私の家には $2$ 種類あったので薄い方について考えた。実は「$1/4$ 波長板」と呼ばれる透明なプラスチックのシートが、光学機器を扱う店舗で売られている。私が今回セロファンを使って行った実験はすべて、この「$1/4$ 波長板」を使っても同じようにでき、結果も一致した。その意味では、化学的組成や厚さ等に関して $2$ つは同じと思ってよさそうである。
まずセロファンが偏光板でないことはすぐわかる。偏光板と重ねて、視線を軸に回転しても向こう側の景色の明るさに変化はない。では、『ある方向に偏極した光を通す時、通過後の光が偏極している』かどうかを調べてみよう。その為に $1$ 枚目の偏光板の手前にセロファンを重ね、更にその手間に $2$ 枚目の偏光板を重ねる。$1$ 枚目の偏光板を通った偏光がセロファンを通過後 $2$ 枚目の偏光板をどの程度通過するかを見る。
まず $2$ 枚の偏光板の方向を同じにして、セロファンを固定した上でそれら $2$ 枚の偏光板を視線を軸に回転する。すると、$45$ 度回転する度に、暗くなったり明るくなったりする。しかも、明るくなる時の明るさはセロファンがあってもなくても変わらない。
このことは、セロファンには直交する $2$ つの方向があり、それらの方向に偏極した光はセロファンをそのまま通過することを示している。念を押して確認するためには、それらの方向の一つに $1$ 枚目の偏光板の方向を合わせ、その上で $2$ 枚目の偏光板の方向を $1$ 枚目の方向と直交するようにする。$1$ 枚目の方向に偏極した偏光がそのままセロファンを通過するのであれば、$2$ 枚目は通過できないはずだが、確かに真っ暗になる。
セロファンの持つこの二つの特別な方向のベクトル（長さ $1$）を $b, b'$ で表す。セロファンがそれを通過する光にどのような作用を及ぼすか、つまり通過前と通過後で光は、あるいは光子はどのように変化しているかを知りたいのだが、そこで
と仮定して推論してみる。推論の結果から何か新しい現象を予測できて、実験によってその現象を確かめることができれば、これらの仮定に相応の真実性があると判断することにしたい。
上でその存在を確認したベクトル $b, b'$ は、互いに直交しているから、平面ベクトルの空間の基底になり得る。つまり任意のベクトル $a$ は、適当な定数 $\alpha , \beta $ を用いて
$$a=\alpha b+\beta b'$$と書ける。$a$ の状態の光子がセロファンを通過した後の状態を $U(a)$ で表すと、上の仮定により $U$ は線型写像であって
$$U(a)=\alpha U(b)+\beta U(b')$$である。よって $U(b)$ と $U(b')$ を知ることができれば、問題の解決に近づく。
まず $U(b)$ について考えよう。セロファンは $b$ の方向に偏極した光をそのまま通すから、$b$ の状態の光子は通過後も $b$ の状態のままだと思われる。つまり $U(b)=b$。$b'$ についても同様なので $U(b')=b'$、従って
$$U(a)=\alpha b+\beta b'=a$$となり、セロファンはすべての光子を素通りさせることになる。しかしながらこれでは説明のつかない現象がある。
その現象の説明を簡明にするために、少し約束事を置く：今後、$2$ 枚の偏光板の間にセロファンを挟み、向こう側の景色を見るという実験をするけれども、基本的にはセロファンは動かさず、偏光板の方を動かす（視線を軸に回転させる）と考えて欲しい。よって、ベクトル $b$ の方向を $x$ 軸の正方向、$b'$ の方向を $y$ 軸の正方向として直交する座標軸 $x, y$ を頭に描き、$2$ 枚の偏光板の各方向がその直交座標系でどの方向を向いているかを頭に描くとわかりやすい。
さて、向きが互いに直交するように置いた $2$ 枚の偏光板の間にセロファンを挟んで視線を軸に回転してみる。もしセロファンを光子が素通りするのであれば、いつでも真っ暗のはずである。しかし実際には回転の角度によって明るくなったり暗くなったりする。$1$ 枚目の偏光板の方向が $b$ もしくは $b'$ と平行な時（すなわち $x$ 軸、もしくは $y$ 軸と平行な時）はもちろん真っ暗だが、$1$ 枚目の偏光板の方向が、例えば $x$ 軸から $+45$ 度の角を成す時にはそうではない。いくらか明るい。その時、$1$ 枚目の偏光板を通過後の光子の状態は
$${1\over {\sqrt 2}}(b+b')$$でありこれを $a$ と置けば、$2$ 枚目の偏光板を通過後の光子の状態は
$${1\over {\sqrt 2}}(b-b')$$なので、 もし $U(a)=a$ であれば必ず
\begin{equation} (U(a), {1\over {\sqrt 2}}(b-b'))=0 \label{eq:Ua1sqr2b} \end{equation}となって、この『いくらか明るい』という現象は説明できない。この (\ref{eq:Ua1sqr2b}) の内積の値が $0$ でない $U(a)$ が、どうしても必要となる。
何がいけないのか？もちろん $U$ の線型性などの仮定が、ひょっとしたら間違っているかもしれない。しかしそれを捨ててしまうと推論の為の手持ちの武器が無くなってしまう。そこは最後まであきらめたくない。従って疑うとしたら
$$U(b)=b, \hskip 3mm U(b')=b'$$と考えた点のみである。
$b$ の方向に偏極した偏光は、セロファンを通過後も同じ方向に偏極していることから
$$U(b)=b$$だと考えたのだが、
$$U(b)=-b$$と考えるべきかもしれない。というのは、この点についてはこれまであやふやなままでやり過ごしてきたのだが、「偏光板の方向」を長さ $1$ の平面ベクトルで表す時、一通りではない。互いに逆向きの $2$ つのベクトルが考えられる。
$U(b')$ についても同様だから、
$$U(b)=\pm b, \hskip 2mm U(b')=\pm b'$$の可能性がある。例えば
$$U(b)=b, \hskip 2mm U(b')=-b'$$とすれば、内積 (\ref{eq:Ua1sqr2b}) の値が $0$ でなくなるだろうか。
$U$ を上のように置くと、$1$ 枚目の偏光板を通過した光子
$$a={1\over {\sqrt 2}}(b+b')$$はセロファンを通過することにより
$$U(a)={1\over {\sqrt 2}}(b-b')$$に変わる。よって内積 (\ref{eq:Ua1sqr2b}) の値は
\begin{equation} (U(a), {1\over {\sqrt 2}}(b-b'))=1 \label{eq:Ua12bbdash} \end{equation}となる。つまり、$U(a)$ の光子は $2$ 枚目の偏光板を $1$ の確率で通過できる。特に $0$ ではない。つまり、セロファンを通過した後の光子は $2$ 枚目の偏光板を通過できることになる。
つまり
$$U(b)=b, \hskip 2mm U(b')=b'$$としたのでは通過できないはずの光子が通過できることになる。その意味で、説明できなかった現象が説明できるようになった。
ただこれはぬか喜びであって、具合の悪いことが一目でわかる。というのは、(\ref{eq:Ua12bbdash}) の値が $1$ だから $U(a)$ の状態の光子はすべて $2$ 枚目の偏光板を通過する。従って $2$ 枚目を取り除いても明るさに変化がないことになる。
しかし実際には、$2$ 枚目の偏光板を取り除くと明るく（約 $2$ 倍程度明るく）なる。よって
$$U(b)=b, \hskip 2mm U(b')=-b'$$は間違っている。しかしかといって
$$U(b)=\pm b, \hskip 2mm U(b')=\pm b'$$の他の組み合わせを考えてみても同様な困難に陥る。そもそも、これらをどう組み合わせてみても
$$U^2(b)=b, \hskip 2mm U^2(b')=b'$$となる。これはセロファンを $2$ 枚重ねるとすべての光子が素通りすることを意味している。ところが向きの直交する $2$ 枚の偏光板で $2$ 枚重ねのセロファンを挟み回転すると、明るくなったり暗くなったりする。$2$ 枚重ねのセロファンを光子が素通りするのであれば、真っ暗なままのはずで、明るくなるわけがない。
よっていよいよ、$U$ の線型性などの仮定を諦める時が来たかなと思うが、もう一度推論を再点検し抜け道がないか探ってみる：セロファンは $b$ の方向、もしくは $b'$ の方向に偏極した光をそのまま通すように見える。明るさも減じない。以上の事柄が確かだとすると、状態 $b$ の光子はセロファンを通過後 $1$ の確率で $b$ へ転移する。これは
\begin{equation} \vert (U(b), b)\vert ^2=1 \label{eq:vert Ubbvert2} \end{equation}を意味する。
一方、$b, b'$ は基底だから
$$U(b)=\gamma b+\delta b'$$となる定数 $\gamma , \delta $ が存在するはず。ここで $U(b)$ は一つの状態を表すベクトルだから長さは $1$、よって
$$1=(U(b), U(b))=\vert \gamma \vert ^2+\vert \delta \vert ^2$$でなくてはいけない。ところが (\ref{eq:vert Ubbvert2}) によれば $\vert \gamma \vert ^2=1$ であり、よって $\delta =0$ となる。つまり
$$U(b)=\gamma b, \hskip 3mm \vert \gamma \vert =1$$となる定数 $\gamma $ が存在することになる。$U(b')$ についても同様で
$$U(b')=\delta b', \hskip 3mm \vert \delta \vert =1$$と書けることになる。
こう考えてみても、絶対値が $1$ の定数は $\pm 1$ 以外になく、結局
$$U(b)=\pm b, \hskip 2mm U(b')=\pm b'$$となってしまう。万事休すである。
ただ、ここまで丁寧に書いてみると気付くのだが、定数の範囲を実数に限らずに複素数まで広げるともう少し先に行けそうである。つまり $\gamma $ と $\delta $ を絶対値 $1$ の複素数と考えてはどうだろうか。もちろんそうすると、『光子の状態はすべて平面ベクトルで表される』という仮定を捨てることになる。けれども、直線的に偏った状態以外の光子の状態があって、しかもそのような状態を表すには複素数が欠かせないのかもしれない。
平面ベクトルは二つの実数の組だと思えるから、二つの複素数の組だとも解釈できる。その意味で、平面ベクトルの空間は複素 $2$ 次元のベクトル空間の一部だとみなし得る。つまり各平面ベクトルは、複素 $2$ 次元のベクトル空間のメンバーである。そこで、先に挙げた『光子の状態は平面ベクトルで表される』という仮定を、『光子の状態は複素 $2$ 次元空間のベクトルで表される』という仮定に置き直して先へ進むことにする。
さて、今まで説明できなかった現象が $\gamma $ と $\delta $ を複素数の範囲で上手にとることによって説明できるようになるかを知りたい。とは言ってみても、$\gamma $ と $\delta $ として絶対値 $1$ の複素数すべてを対象にしろと言われると、少し引いてしまう。そもそも妙に複雑な複素数が現れるとはちょっと考えられない。せいぜい $\pm i$ 程度（$i={\sqrt {-1}}$ は虚数単位とする）だとやりやすい。そこで
$$\gamma =\pm 1, \hskip 2mm \pm i, \hskip 5mm \delta =\pm 1, \hskip 2mm \pm i$$の $16$ 通りの中に欲しいものがあるかどうか見てみよう。
ところで、$\rho $ を絶対値が $1$ の勝手な複素数とする時、ある $U$ と $\rho U$ は見分けがつかない。何故ならば、任意のベクトル $a, c$ に対し
$$(\rho U(a), c)=\rho \times (U(a), c)$$だから
$$\vert (\rho U(a), c)\vert ^2=\vert (U(a), c)\vert ^2$$であり、よってセロファンを通過した光を別の偏光板に通して明るさの増減を見るという実験だけでは、 $U$ と $\rho U$ の間の区別をつけることはできない。セロファンを通過した光を別の光と干渉させる実験を行うことができれば、区別をつけることができるかもしれないが、そのような実験にはかなり精密な装置が必要なはずであり、おいそれとできるようなものではない。そこで $\gamma =1$、すなわち $U(b)=b$ の範囲内で正解を探してみることにする。
この時、候補としては
$$U(b')=\pm ib'$$しかありえない。$U(b')=ib'$ とすれば、はたして問題の現象が説明できるだろうか？すなわち
$$a={1\over {\sqrt 2}}(b+b')$$に対して、(\ref{eq:Ua1sqr2b}) の内積
\begin{equation} (U(a), {1\over {\sqrt 2}}(b-b')) \label{eq:Ua1sqr2bbdash} \end{equation}の値が $0$ でもなくかつ $1$ でもない、という状況が起きるだろうか。実際に計算してみると
$$a={1\over {\sqrt 2}}(b+b')$$に対し、
$$U(a)={1\over {\sqrt 2}}(b+ib')$$である。よって問題の内積は
\begin{eqnarray*} (U(a), {1\over {\sqrt 2}}(b-b'))&=&{1\over 2}(b+ib', b-b')\\ &=&{1\over 2}(1-i) \end{eqnarray*}となる。確かに $0$ でもなく $1$ でもない。うまくいったかもしれない！「セロファンを抜けた光子が $2$ 枚目の偏光板を通過する確率」に直すと
$$\vert {1\over 2}(1-i)\vert ^2={1\over 2}$$となる。
向きが互いに直交する $2$ 枚の偏光板でセロファンを挟む時、$1$ 枚目の偏光板の向きが $x$ 軸から $+45$ 度の角を成す場合に、$3$ 枚が重なっている部分が真っ暗ではなくいくらか明るい、しかし $2$ 枚目の偏光板を取り去る時より若干（半分程度）暗いことが、これで見事に説明できた。$U(b')=-ib'$ としても同じ結果が得られる。つまり、万事休すと考えられた困難を、複素数を取り入れることにより回避することができた。
最後に、
$$U(b')=\pm ib'$$の符号のどちらを選ぶべきかが気になるかもしれない。ただこれはあまり本質的な問題ではなさそうである。と言うのは、われわれは $U(b)=b$ と最初に仮定して推論を始めた。しかし $U(b')=b'$ と仮定して初めてもいいはずである。この時
$$U(b')=b', \hskip 2mm U(b)=ib$$として $U$ を定めると
$$(-i)U(b)=b, \hskip 2mm (-i)U(b')=-ib'$$となる。しかも、先に述べたように、$(-i)U$ と $U$ とは区別できない。つまり、
$$U(b)=b, \hskip 2mm U(b')=\pm ib'$$によって $U$ を定める場合、符号の相違によって本質的に異なる $U$ が得られるように思えるが、実は $b$ と $b'$ を入れ替えることにより互いに移りあえる。従って本質的な差はないと考えられる。
よって、セロファンの働きは
$$U(b)=b, \hskip 2mm U(b')=ib'$$によって表されると考えて良い。少なくともここまでで見てきた現象はすべて、この $U$ で説明できる。
以上でセロファンのことが随分わかった。特に、
$$a={1\over {\sqrt 2}}(b+b')$$の状態の光子は、セロファンを通過後には
\begin{equation} U(a)={1\over {\sqrt 2}}(b+ib') \label{eq:Uaga1over} \end{equation}の状態に転移する。
$b+ib'$ はもはや平面ベクトルの範囲には含まれない。従って (\ref{eq:Uaga1over}) の状態は、直線的に偏った光子の状態ではない。上の $a$ と直交する状態
$$a'={1\over {\sqrt 2}}(b-b')$$をセロファンに通すと
$$U(a')={1\over {\sqrt 2}}(b-ib')$$に転移するが、これらの状態
\begin{equation} {1\over {\sqrt 2}}(b\pm ib') \label{eq:1over2bpmb} \end{equation}は、「円偏光の状態」と呼ばれている。 名前はどうでもよいが、(\ref{eq:1over2bpmb}) 式の二つの状態は共に長さが $1$ であって、かつ内積が $0$ である。従って、光子の状態ベクトルの空間として今考えている複素 $2$ 次元の線型空間の基底である。その意味では、平面ベクトル $b, b'$ とまったく対等である。
次回はここで見つけた $U$ が何か新しい現象を予測するかを、非常に難しそうだが、考えてみたい。
最後に実験をやり出すとありがちな具合の悪い話を一つ：ここまで読んでくれた人ならおそらく次の点に気づく。『探し当てた $U$ は
$$U^4(b)=b, \hskip 3mm U^4(b')=b'$$を満たす。何故なら $i^4=1$ だから。従って、セロファンを $4$ 枚重ねるとすべての光子は素通りするはず』と。実際実験してみる。それぞれの $b, b'$ の向きを揃えて $4$ 枚のセロファンを重ね、まず向きを一致させた偏光板で挟んで回転させる。この場合にはいつでも明るいまま。『しめしめ！うまくいってるぞ』と思う。
ではと言うので、向きを直交させた偏光板で挟んでみる。この場合はどう回転させようが真っ暗のはず。ところが、回転させると、偏光板の方向が $x$ 軸から $\pm 45$ 度のあたりでほんの少しだけ明るくなる。もう少し詳しく言えば、いつでも暗いままな色と、若干明るくなる色がある。すなわち、この $U$ に従ってセロファンを通過する光は、どんな色の光でもよいという訳にはいかないようである。
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