四方山話（光子の不思議な振る舞い-その弐） (2021年5月28日）
前回の復習を少し：ある方向に伝播する光を、その経路に垂直においた偏光板を通過させることにより、色々な方向に偏極した偏光が得られる。あるいは色々な方向に偏極した光子が得られる。振動数などは一定にした上で、この「偏極」という性質だけに着目するなら、光子のあり様（状態）はその偏極方向を向く長さが $1$ の平面ベクトルで表すことができる（向きの反対な二つのベクトルがあり得るが、この点はここでは深く詮索せず、どちらを選んでもいいと考えておく。）
そこで $b, b'$ を互いに直交して長さが $1$ のベクトルとすると、平面ベクトルの空間は二次元だから、$b, b'$ はその空間の基底になり得る。従って他の任意のベクトル $a$ は $b, b'$ の線型結合
\begin{equation} a=\alpha b+\alpha 'b' \label{eq:aalphab+} \end{equation}によって表すことができる。但しここで、係数 $\alpha , \alpha '$ は一意的に決まり
$$\alpha =(a, b), \hskip 2mm \alpha '=(a, b')$$である。括弧はベクトルの間の内積を表す。
ところでベクトルの概念を含む論理の体系は線型代数だが、そこではベクトルの間の定数倍や和の考え方が本質的な役割を果たす。従って、自然もおそらくその論理を採用していると考えるなら、(\ref{eq:aalphab+}) 式
$$a=\alpha b+\alpha 'b'$$は何らかの物理的な事柄をも、言い表している可能性がある。
例えば状態 $a$ を、$x$ 軸の方向から $+45$ 度回転した方向へ偏極した光子の状態とし、$b, b'$ をそれぞれ $x, y$ 軸の正の方向へ偏極した状態とする。この時、これらの状態間に
$$a={1\over {\sqrt 2}}(b+b')$$の関係があることになる。『二つの状態の和が、新たな状態になる』ことを意味していると解釈できるが、この点を今回はもう少し掘り下げてみたい：
線型代数の論理の中で、もう一つ重要な役割を果たす概念に「線型写像」がある。すなわち各ベクトル $a$ に対し何らかのベクトル $T(a)$ を対応させる対応 $T$ であって、
$$T(a+b)=T(a)+T(b), \hskip 2mm T(\alpha a)=\alpha T(a)$$がすべてのベクトル $a, b$ とすべての定数 $\alpha $ に対して成り立つものを言う。よって光子の世界でも上の性質を持つ写像が重要な場面で登場すると予想される。例えば、何かの重要な物理的働きが各状態に対し何らかの状態を生み出し、その対応が線型になっているような場合が考えられる。
実際、各状態は時間の経過とともに一般に変化するものだが、最初の状態を $a$ としてある時間間隔後の状態を $U(a)$ とすると、各状態 $a$ に $U(a)$ を対応させる対応 $U$ が線型写像であることが知られている。一つ具体例を示す為に方解石の結晶を考える。
まず方解石の結晶について少し復習しておく： 方解石の単結晶にはそれを形成する分子の形状から決まる特別な方向があり、その方向に偏極した光が入射する場合は直進しそのまま出ていくが、その方向と直交する方向に偏極した光は表面で屈折し、入射光とずれて出ていく。いずれの場合も、結晶を出た後の光の偏極方向は入射する前と同じである。
図ではそれら二つの方向を紙面に垂直な方向（黒丸）と紙面に平行な方向（矢印）で表した。なお、図では左から入射する光を描いたが、同じ結晶に右から入射する光は、図に描いた経路を逆向きにたどって左へ抜ける。もちろん偏極方向も変化しない。このことは後で使う。
この方解石に左側から光を入射すると、その光がもとから紙面に垂直、もしくは平行に偏極していない限り、右側からは二本の光線が出る。直進して出る光は紙面に垂直に偏極していて、ずれて出る光は紙面に平行に偏極している。従って言わば、二枚の偏光板の役割を一つの方解石の結晶が演じるとも言える。
光子レベルで何が起きるかを知るためには光を弱め、方解石を通過している光子が一時にせいぜい一つであるようにすればよい。
図のように、右側の二つの経路の行く手に光子を検出する検出器（例えば光電効果を増幅して、光子の飛来をブザーで知らせるような機器）を置く。左から状態 $a$ の光子（つまり、ベクトル $a$ の方向に光を偏極させる偏光板を通過してきた光子）を一発ずつ入射すると、その度ごとに検出器のブザーが鳴る。ただ、一方だけが鳴り、両方が鳴るということはない。その意味で光子は分裂することなく、どちらか一方の検出器に飛び込む。
紙面に垂直な方向のベクトルを $b$、平行な方向のベクトルを $b'$ で表すとして、もし $a=b$ であれば必ず検出器 $D_b$ が鳴り、$D_{b'}$ が鳴ることはない。$a=b'$ であれば反対の現象が起きる。
さて、この方解石の結晶（$\Gamma $ で表した）と、同じものを裏返して配置した（${\overline {\Gamma }}$ で表した）図のような装置を作る。
この装置の左側から光を入射すれば、方解石 $\Gamma $ で二つの光線に分裂し、${\overline {\Gamma }}$ で再び合体して一つの光線として右側へ出る。もちろんかなり正確に二つの方解石を固定する必要があり、十分な注意をもって組み立てなくてはいけない。しかし実現可能な装置であり、最近の実験室ではしばしば使われているそうである。
さて問題は、この装置に、任意の状態 $a$ の光子を入射する時、 出てくる光子の状態（図で ? で示した状態）が何であるかである。
光子がこの装置の左側から出発し右側の ? の位置へ抜ける時間間隔の間に、状態 $a$ から状態 $U(a)$ に変わるとすると、先に述べたように対応 $U$ は線型写像である。従って $a$ を
$$a=\alpha b+\alpha 'b'$$と表すならば
$$U(a)=\alpha U(b)+\alpha 'U(b')$$となる。ところで、先に述べたように $b, b'$ の状態の光子はまったく状態を変化させることなく右側に抜ける。つまり
$$U(b)=b, \hskip 3mm U(b')=b'$$である。従って
$$U(a)=\alpha b+\alpha 'b'=a$$となる。よって、? の位置を光子は入射時と変わらない状態で通過する。（従ってこの装置による時間発展 $U$ は、最も簡単な線型写像である恒等写像である。）
これが事実であることを、実際に確かめることができる。すなわち、$a$ を作り出したと同じ偏光板を ? の位置に置くと、出てきた光子はそれを必ず通過する。
しかし、よくよく考えてみるとこれは極めて奇妙な現象である。何故かと言うと：方解石 $\Gamma $ を通過後、光子は $b$ か $b'$ のいずれか一方へ転移していると考えられる。もし $b$ に転移していれば下の経路を通り ${\overline {\Gamma }}$ へ入るが、${\overline {\Gamma }}$ は $b$ の状態の光子ならそのまま通すから、従って ? の位置でも $b$ のままのはず。また、$\Gamma $ の通過後 $b'$ へ転移したのであれば、上側の経路を通り ${\overline {\Gamma }}$ へ入り、その状態のまま ? の位置に来る。
つまり、? の位置で光子は、$\vert (a, b)\vert ^2$ の確率で $b$、 $\vert (a, b')\vert ^2$ の確率で $b'$ の状態を、それぞれとると考えられる。これは、$U(a)=a$ であるという上で述べた結論と、明らかに食い違う。
具体的に議論を進める為に、以下ではベクトル $a$ の方向を、図の $x$ 軸方向から $y$ 軸方向へ $+45$ 度回転した方向とする。 $b, b'$ はそれぞれ $x, y$ 軸方向の長さ $1$ のベクトルとすれば、
$$\vert (a, b)\vert ^2=\vert (a, b')\vert ^2={1\over 2}$$である。従ってそれぞれ $1/2$ の確率で、$b, b'$ の光子が ? の位置を通過することになる。
$a$ を作り出したのと同じ偏光板を ? の位置に置くと、$b, b'$ の状態の光子はそれぞれ $1/2$ の確率でしかその偏光板を通過できない。従って全体の半数の光子しかその偏光板を通過できない。しかし実際には、$U(a)=a$ なのだから、すべてが通過するはずである。
これは、$\Gamma $ の左から送り込まれる $a$ 状態の光子の各々が、$b$ に転移して下の経路を、もしくは $b'$ に転移して上の経路を、それぞれたどっていると考えると、実際に起きることが決して説明できないことを意味している。しかし一方で、もし方解石 $\Gamma $ の直後に偏光板や検出器を置けば（その時は光子の通行をそこで妨げることになるが）、光子が確かに $b$ あるいは $b'$ に転移して、下あるいは上の経路の一方を通っていることが確認できる。
従って、もし観測を行えば必ずどちらかの状態に転移していることが確認できるにもかかわらず、観測を行わない状況下では、どちらかの状態に転移しているとは決して考えていけないことを意味している。敢えて言えば、「$b$ でも $b'$ でもない状態」、言い換えれば「$b$ と $b'$ の双方にいる状態」にいると考えざるを得ない。従って、下の経路と上の経路を同時に通過しているという言葉を使わざるを得ない。状態の間の等式
$$a=\alpha b+\alpha 'b'$$に現れるプラスの記号は、このような奇妙な光子の振る舞いを表していると考えられる。
しかし、数学的にはそれでいいかもしれないが、心情的には非常に落ち着かない気分にさせられる：以前説明したように、光電効果の現象は光子が一つの粒子として振る舞うことを実証した。一つの物理的実体が、ある時は粒子として、ある時は二つの経路を同時に通過できるようなものとして振る舞う、この事実を知って戸惑いを感じない人はおそらくいないのではなかろうか。
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