四方山話（光子の不思議な振る舞い） (2021年5月23日）
ポーラロイド、あるいは偏光板と呼ばれる面白い板がある。何の変哲もない、透明な板で、それを通して景色を見ると、少し暗く感じる程度でそれ以上の特別なことはない。しかし、二枚を通して見ると妙な現象が起きる。視線に対し直角に二枚を置くとし、例えば向こう側の偏光板を固定した上で、手前の偏光板を視線を軸として回転する。するとある方向で、視界が真っ暗になり向こう側の景色がまったく見えなくなる。更に回転を続けると、徐々に明るくなり、最も明るくなるのは真っ暗になった位置から $90$ 度回転した時である。更に回転すると、今度は徐々に暗くなり、最初の真っ暗の位置からちょうど $180$ 度の位置で再び何も見えなくなる。手前の偏光板を回転するにつれてこれが繰り返される。もちろん一枚だけを通して景色を眺める時には、いくら回転してみても明暗に変化はない。
想像力をできるだけたくましくして、以上の現象から何が引き出せるかを考えてみよう：向こう側の偏光板を $A$、手前の偏光板を $B$ とする時、$B$ を回転するにつれて明るくなったり暗くなったりする、しかもそれが $90$ 度ごとに繰り返す。これは、
- 偏光板の面上にはある特定の方向があり、その偏光板を通過した光はその方向に何らかの意味で『偏っている』と考えられる
- その偏った光が別の偏光板 $B$ を通過する時、偏光板 $A$ と $B$ の方向の成す角を $\theta $ とするなら、$B$ を通過する光の強さは、$A$ を通過した後の強さの $\cos ^2\theta $ 倍に減ずる
ことを意味していると解釈するのが、おそらく最も素直で単純な推論であろう。ここで $\cos ^2\theta $ を持ち出した理由は、$\theta $ が $90$ 度変化する毎に $0$ と $1$ の間を繰り返す関数として最も簡単なものだという、ただそれだけの理由である。がしかし、おそらく実験によって確かめられるはずである。
ある方向を持つ偏光板を通過した光を、その方向に偏極した光、いわゆる偏光と呼ぶことにする。普通の自然光、例えばある花からやって来る光を一枚の偏光板を通してみる時、回転によって明るさが変化することはない。と言うことは、自然光はいろんな方向に偏極した光から成っていると考えるのが自然である。花を形成する一つ一つの原子が発する光の偏りの方向は、われわれが検出できないほどの短時間の内に色々な方向に変化すると考えればよいだろう。
さて前回は光子の存在について論じた。金属の表面に、その金属に特有な振動数以上の光を照射すると、照射を始めた途端に電子が飛び出してくるという、いわゆる光電効果の現象がある。この現象は、光の運ぶエネルギーが連続的に空間に分布していると考えると説明できない。そうではなく、光は振動数に比例するある正のエネルギーを運ぶ沢山の粒子の集まりであると考えると、非常にうまくこの現象が説明できる。この粒子を光子と呼ぶ。
光子を検出するのは、従って光電効果を利用すればよい。光が強い場合、すなわちたくさんの光子から成っている光が当たると、一時に沢山の電子が飛び出してくる。しかし徐々に光の強さを減じていくと、ぽつりぽつりと電子が飛び出すようになる。これは、その度ごとに、光子が検出器に飛び込んだことを示している。
ある偏光板を通過した後の光は、その偏光板に特有な方向に偏極していると考えたのだが、ここで光を光子の流れと解釈するならば、当然一つ一つの光子の偏極方向を定義できるかが問題になる。最も自然な定義は、『ある方向の偏極板を通過する光子をその方向に偏極した光子と呼ぶ』となるであろう。ある偏極板の左側から弱い光を照射し、右側に置かれた検出器が時折光子の飛来を告げる時、そこで捕らえられた光子はその偏極板の方向に偏極していると定義するのである。
ただこの定義が矛盾を含まないことを確かめておかねばならない。ある偏極板を通過して現れた光子がもう一度同じ方向の偏極板に遭遇する時、それを通過しないことがもしあれば、この定義は矛盾を含む。『ある方向の偏極板を通過する光子をその方向に偏極した光子と呼ぶ』と定めた以上、ある偏極板を通過して現れた光子がもう一度同じ方向の偏極板に遭遇する時、常にそれを通過しなくてはいけない。
しかしこの点は大丈夫である。何故ならば、偏光板 $A$ を通過した光を別の偏光板 $B$ に当てる時、二つの方向が一致するなら光はそのままの強さを保って $B$ を通過する。つまりこの時、光が運ぶエネルギーが減じることはない。従って、光子がエネルギーを担う粒子である以上、$A$ を通過した光子はすべて $B$ を通過しなくてはいけない。
さて、以下のように三枚の偏光板を光が通過する場合を考えると、非常に奇妙な現象が起きることに気づく：一枚目の偏光板 $A$ の方向を、例えば水平の方向とし、三枚目の偏光板 $C$ の方向を垂直とする。$A$ と $C$ の間に挿入する偏光板 $B$ の方向は、水平方向から反時計回りに $45$ 度回転した方向とする。この時、$A$ を通過した後の光の偏極の方向と $B$ の方向とは $45$ 度（$=\pi /4$）の角度を成し
$$\cos ^2{{\pi }\over 4}={1\over 2}$$なので、$A$ を通過した後の光の半分の強さの光が $B$ の右側に現れることになる。更に、その光の偏極の方向と偏光板 $C$ の向きとは再び $\pi /4$ の角度を成す。従って、更に半分の強度に減じた光が $C$ を通過する。光の強度が半分に減じることは、それが運ぶエネルギーが半分に減じることを意味し、光子の個数が半分になることを意味する。従ってこの時、$A$ を通過した光子の内の $1/4$ の個数の光子が、$C$ の右側に現れるはずである。
さて次に偏光板 $B$ を取り除き $A, C$ だけを残す。すると $C$ を通過してその右側へ現れる光子の個数は、$B$ を取り除く前と比較してどう変化するだろうか。
偏光板は、$A$ であっても $B$ であっても、やって来る光子を差し止めてその一部しか通さない。その意味ではいわば関所のようなものだと考えられよう。従って $B$ を取り去れば当然、より多くの光子が $C$ の右側に現れると推測できる。しかし現実の自然は、そのようには振る舞わない。$A, C$ の方向は直交しているから、$A$ を通過した光子のすべてが $C$ で止められ、$C$ の右側に現れる光子は一つもない。すなわち $B$ を取り去ると、$C$ の右側に現れる光子の個数は取り去る前より増加するどころか $0$ 個になってしまう。
この現象にどの程度心打たれるかは、人それぞれだと思う。がしかし、以下に見るように、この現象をよく考えてみると非常に思いがけない内容が垣間見えてくる：今後は $A, B, C$ の向きを特別指定せずに推論を進める。それぞれの向きに偏極した光子の状態を、記号 $a, b, c$ で表すことにしよう。$a$ の状態の光子は $B$ を通り抜ける時、自分の向きを変化させて $b$ の状態へ移ることになる。ただすべての光子が $b$ の状態へ移って $B$ を通過することに成功するわけではない。中には失敗して $B$ に吸収されてしまう光子もある。成功の割合は $\cos ^2\theta $ である（$\theta $ は $A, B$ の方向の成す角）。
$a$ から $b$ への光子の転移は数学的に記述できるはずと考えるなら、その転移の特性を表す何らかの数学的な対象物があると考えてよかろう。それが何かは今のところ分からないが、$a, b$ によって決まるという意味で記号 $(a, b)$ で表すことにする。$(a, b)$ は単なる数値かもしれないし、もう少し複雑な行列のようなものかもしれない。ただ何らかの方法で、光子がその転移に成功する割合である $\cos ^2\theta $ という数値が関連づくようになってなくてはいけない。
偏光板 $B$ の右側に現れた光子が $C$ を通り抜ける時、もう一度向きを変えて状態 $c$ へ移る。$a$ の状態の光子が $b$ を経て、更に $c$ へ転移することに成功する割合は、$B$ の方向と $C$ の方向との間の成す角度を $\eta $ とすると
$$\cos ^2\theta \times \cos ^2\eta $$である。ここで積が出現した。ならば
$$(a, b), \hskip 3mm (b, c)$$の積
\begin{equation} (a, b)(b, c) \label{eq:sinpukuseki} \end{equation}を考えてみたくなるのは普通の感覚であろう。但し、$(a, b)$ や $(b, c)$ が何者なのかも定めていないのだから、それらの積も定めようがない。ただ単に積っぽく書いてみて、その形から何かを思いつくことを期待しているだけである。
(\ref{eq:sinpukuseki}) は、光子が $a$ から $b$ を経て $c$ へ転移する時のその特性を記述していると考えられる。一方で $B$ を取り除いた時に起きる $a$ から $c$ への転移には
\begin{equation} (a, c) \label{eq:akarache} \end{equation}が対応する。（状態を書く順番についてだが、時間の順序に従うようにしている。ここでは左から右へ書くようにした。順番を保つ方が推論がスムーズに進む可能性が上がると考えたからである。）
さてこの時、(\ref{eq:sinpukuseki}) と (\ref{eq:akarache}) を結び付けることはできないだろうか？
ここで、ベクトルのことを少しでも勉強した人であれば、おそらく次のことに気づく：$a, b, c$ が平面上の長さが $1$ のベクトルであって、$(a, b)$ 等がベクトルの内積であるなら
\begin{equation} (a, b)(b, c)+(a, b')(b', c)=(a, c) \label{eq:kangenkousiki} \end{equation}の関係がある。但しここでベクトル $b'$ は、$b$ に直交する長さ $1$ のベクトルである。
念のために (\ref{eq:kangenkousiki}) 式が成立する理由を復習しておく：この等式の基本には、等式
\begin{equation} (a, b)b+(a, b')b'=a \label{eq:anobunkai} \end{equation}がある。 確かに、(\ref{eq:kangenkousiki}) 式は (\ref{eq:anobunkai}) 式の両辺と $c$ の内積をとれば得られる。
$$(a, b)b, \hskip 2mm (a, b')b'$$はそれぞれ、ベクトル $a$ を $b, b'$ 方向へ射影したものであり、それらを加えればもとの $a$ が再現されることを考えれば、 (\ref{eq:anobunkai}) 式はほとんど明らかである。
さて本論へ帰る：ベクトル $a, b$ の成す角が $\theta $ であるなら
$$(a, b)=\cos \theta $$であり、よって $(a, b)$ の絶対値の二乗をとれば、$a$ から $b$ への転移が成功する割合 $\cos ^2\theta $ が得られる。
この簡明さは、何か意味のあることに気づいた兆候かと思われる。そこでこれからは、光子の状態 $a$ は、偏光板 $A$ の方向を向く長さが $1$ のベクトルによって表されるとみなす。$b, c$ についても同様である。このように考えた上でもう一度 (\ref{eq:anobunkai}) 式
\begin{equation} (a, b)b+(a, b')b'=a \label{eq:(ab)a+} \end{equation}を考える。今われわれは『状態はベクトルである』と考えている。$b$ はベクトルであり、$(a, b)$ は数値であるから、
$$(a, b)b$$もベクトルであり、従って一つの状態である。
$$(a, b')b'$$もしかり、よって (\ref{eq:(ab)a+}) 式を状態の間の等式と見るなら、左辺の和の記号は『光子の二つの状態に対し、それらを加えるという操作が物理的に意味を持ち、新たな状態と考えられる』ことを示している。
例えば上の図のように $a$ の偏りの方向が水平で、$b, b'$ が水平から $\pm 45$ 度の方向へ偏った状態であるなら、
$$(a, b)=(a, b')=1/{\sqrt 2}$$であるから、よって
$$a={1\over {\sqrt 2}}(b+b')$$が成り立つ。つまり $\pm 45$ 度偏った状態の和は、$1/{\sqrt 2}$ 倍すれば水平に偏った状態に等しいことになる。
二つの状態の和という考え方は、われわれの常識にはない。例えば、よく引き合いに出されるのが「シュレデインガーの猫」である。もし一匹の猫に対して光子に対してと同じ論理を推し進めていくと、実は、息をして生きている状態と完全に息絶えて死んでいる状態の和
$$「生きている状態」+「死んでいる状態」$$が、猫の何らかの状態を表しているという結論に導かれる。しかしそのような状態はわれわれの常識の内には存在しない。（「瀕死の状態」と考えるかもしれないが、瀕死であっても立派に生きている状態であって、少し違う。）つまり、状態の和という概念は、光子のようなミクロなものを扱って初めて見えてくるものである。
(\ref{eq:(ab)a+}) 式
$$a=(a, b)b+(a, b')b'$$からは、方解石の単結晶の働きが思い起こされる：方解石の結晶を光が通過すると二つの経路に分かれて出てくる。それらの光はともに偏光であり、偏極の方向は方解石の結晶のある特別な方向に平行及び垂直になっている。従って、それらの偏光の方向のベクトルを $b, b'$ で表すと、状態 $a$ の光子を $N$ 個打ち込む時、$b, b'$ の状態に転移して出て来る光子の個数は、それぞれ
$$\vert (a, b)\vert ^2N, \hskip 2mm \vert (a, b')\vert ^2N$$のはずである。一方で (\ref{eq:(ab)a+}) 式
$$a=(a, b)b+(a, b')b'$$の両辺のそれ自身との内積をとれば、
$$(a, a)=(b, b)=(c, c)=1, \hskip 3mm (b, b')=0$$を考慮して
\begin{equation} 1=\vert (a, b)\vert ^2+\vert (a, b')\vert ^2 \label{eq:kakuritunosiki} \end{equation}が得られる。つまり、方解石の単結晶に打ち込まれた各光子は必ず $b, b'$ の片方を選択して出てくることになる。この選択についてだが、通説によれば、どちらが選択されるかを予測する手段はまったくない。自然は因果律に従って動いていて、$a$ の状態にある光子は既に $b, b'$ のどちらを選択するかをあらかじめ決めているはずだと信じる人には極めて受け入れがたいことだが、光子は、いわばコインを投げて、まったく偶然によってどちらかを選択する。こう判断する根拠は後に触れたいけれども、惑星やリンゴのようなマクロな物体の運動だけを見て常識を養ってきたわれわれが、ミクロの世界で初めて遭遇する意外な事柄である。
従って、
$$\vert (a, b)\vert ^2, \hskip 2mm \vert (a, b')\vert ^2$$はそれぞれ、「状態 $a$ の光子が状態 $b$、もしくは $b'$ の光子へ転移する確率」と呼ぶのが妥当である。それに対応し
$$(a, b), \hskip 3mm (a, b')$$はそれぞれ、「状態 $a$ の光子が状態 $b$、もしくは $b'$ の光子へ転移する確率振幅」と呼ばれる。
確率振幅の概念にたどり着いたので、もう一度 (\ref{eq:kangenkousiki}) 式
$$(a, b)(b, c)+(a, b')(b', c)=(a, c)$$について考える。
$$\vert (a, b)(b, c)\vert ^2=\vert (a, b)\vert ^2\times \vert (b, c)\vert ^2$$の値は、「状態 $a$ の光子が $b$ の状態を経て後 $c$ に転移する確率」を表す。従って
$$(a, b)(b, c)$$は、$a$ の光子が $b$ を経て後 $c$ に転移する確率振幅、と呼ばれるべきものである。同様に
$$(a, b')(b', c)$$は、$a$ の光子が $b'$ を経て後 $c$ に転移する確率振幅である。よって (\ref{eq:kangenkousiki}) 式
$$(a, b)(b, c)+(a, b')(b', c)=(a, c)$$は、『$b$ を経て $a$ から $c$ へ転移する確率振幅と、$b'$ を経て $a$ から $c$ へ転移する確率振幅の和は、直接 $a$ から $c$ へ転移する確率振幅に等しい』ことを示している。
例えば $a$ が水平、$c$ が垂直、$b, b'$ が $\pm 45$ 度のベクトルが示す状態である時
$$(a, b)(b, c)={1\over {\sqrt 2}}\times {1\over {\sqrt 2}}={1\over 2}$$ $$(a, b')(b', c)={1\over {\sqrt 2}}\times (-{1\over {\sqrt 2}})=-{1\over 2}$$であり、
$$(a, b)(b, c)+(a, b')(b', c)=0$$となるが、確かに
$$(a, c)=0$$である。
さて、数学的に興味のある式には何か意味のある物理的な状況が対応しているだろうと考えて、ここまで推論してきた。今最も謎めいた式は (\ref{eq:kangenkousiki}) 式
$$(a, b)(b, c)+(a, b')(b', c)=(a, c)$$である。この数式にどんな物理的状況が対応しているのか、特にプラスの記号は何を暗示しているのか、その辺のことが、最後に残された大問題であるように感じる：偏光板 $A, C$ の間に偏光板 $B$ という関所を設け、$a$ から $c$ への転移の途中で状態 $b$ を経るよう強いる時、$a$ から $c$ への転移の確率振幅は
$$(a, b)(b, c)$$であり、その確率は
$$\vert (a, b)(b, c)\vert ^2$$である。また、$B$ の方向と直交する向きを持つ偏光板 $B'$ を $A, C$ の間に挿入し、状態 $b'$ を経るよう強いると、$a$ から $c$ へ転移する確率は
$$\vert (a, b')(b', c)\vert ^2$$である。従って、$B, B'$ の二つを光子が自由に通行できるような場面設定をもしすることができれば、光子はどちらかを選んで $C$ に到達するはずである。その時 $a$ から $c$ へ転移する確率は、$B$ を通る場合と $B'$ を通る場合の確率の和のはずだから
$$\vert (a, b)(b, c)\vert ^2+\vert (a, b')(b', c)\vert ^2$$となる。
例えば、$a$ が水平、$c$ が垂直、$b, b'$ が $\pm 45$ 度のベクトルが示す状態である時、この確率の和は
$${1\over 4}+{1\over 4}={1\over 2}$$となる。つまり半数の光子が $c$ へ転移することに成功する。
ところが (\ref{eq:kangenkousiki}) 式
$$(a, b)(b, c)+(a, b')(b', c)=(a, c)$$に現れるのは、確率の和ではなく、確率振幅の和であり、まったく違う。上の等式がもし何かの物理的状況を表しているのであれば、確率の和ではなく、確率振幅の和が本質的な意味合いを持つ物理的状況が存在することになる。
ここで思い出すのは、以前紹介した「光子の裁判」の話である。あの裁判の中では、光子は二つの窓を同時に、二つとも通過したと考えざるを得ない状況があった。もしそのような振る舞いを光子がするのであれば、$B$ と $B'$ の二つの関所を自由に通行できるようにする時も、片方だけでなく両方を通過したと考えざるを得ない結果が生じるのかもしれない。確率の和が現れたのは、確かに、各光子が片方の偏光板のみを通過すると考えた結果であって、あたかも幽霊のように両方を通過するのであれば、結果が違ってくることは大いにあり得る。
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