一昨日（5月11日）、公安委員会での学科試験に合格し、真新しい免許証を手にしました。実を言うと、これは私の人生にとってかなり象徴的な意味合いを持つ画期的な出来事でして、人間性のある面に関して、普通の人が二十そこらで容易に達するレベルに、私は七十を過ぎてやっと到達できたことを意味します。正に感慨無量の心持です。家内の病気は、幸いここのところ小康状態で、病院へは自分で運転して通ってくれます。時間的猶予が与えられたこの間によく練習して、彼女が安心して乗ってくれるような運転技術を身につけたいものだと考えています
さて、昨年の 12 月 10 日以来更新を休んでいた、「老いぼれ教育者の独り言」の欄を再開します。実は、数年前から書き始めた「教師のための数学」のシリーズを完成すべく、今も少しづつ書いています。『自然科学の素材を数学教育に取り入れれば、数学を教えることは随分楽しくなりますよ』と訴えたいのですが、何といっても私自身、知らないことが多すぎる身で、以前教え子の一人に『限りなき停滞』と批判されたことがあるのですが、正にその通りで、この先まだ当分かかりそうです。浅学菲才の身には無謀な試み以外の何物でもないことはよくわかっているのですが、新しいことを知ると思わず興奮してしまう若さはまだ持っています。そんな気持ちが残っている限り、この試みは続けようかと考えています
現在は「線型代数」の部分にかかっていますが、これに関係する科学的分野と言えば、まず最初に量子論が思い浮かびます。数学教育に取り入れることができる、あるいはそれに当たる際のバックボーンとして役立つ形に量子論を調理し直すことが、果たして可能かどうか、今のところ一寸わかりません。しかし、ガリレオやニュートン等が成した近代科学革命、アインシュタインによる時空の幾何学的記述、それらを人類が成し遂げた科学上の革命と捉えるならば、量子論の発見もそれらに並び称されるべきものであることは確かです。「実在」、あるいは何かの働きや情報の「局所性」と言ったものに関して、われわれが現在抱いている常識がかなり皮相的なものであることを、それは教えてくれているようです。量子計算機とか量子テレポーテーション等を通して、一般の人々の常識も変容を強いられることになると思うのですが、おそらく数十年先になるはずです。すなわちこの分野の科学革命は今現在進行中なのです。逆にそれだけに、数学教育に取り入れる素材としては、いろんな意味で面白いものにできる可能性があります。そんなことを考えながら、ぼちぼち書き進めていきます。
写真は、一昨年の冬に植え付けたぶどう（ピオーネ）が、初めてつけてくれた小さな花のつぼみです。一つ一つがぶどうの実一つになるはずです。
四方山話（アインシュタインの光量子仮説） (2021年5月13日）
光線を金属の表面に当てると電子が飛び出してくる現象は 19 世紀の終わりには知られていたが、20 世紀に入って Lenard（レナード）によって詳しく研究され、以下のことが明らかにされた：
- 当てる光の振動数がある値より高い時にのみ電子は飛び出し、高振動の光を当てる時ほど、飛び出してくる電子の運動エネルギーが高い。
- 振動数は変えずに、光の強さを増すと、つまりエネルギーをより多く運ぶ光を当てると、単位時間あたりに飛び出してくる電子の個数は増加するが、しかし各電子の運動エネルギーは増加しない。
光を振動する電場と磁場の波と考えてこの現象を説明しようとするなら、次の描像を想いうかべるしか、おそらく方法がない：原子核や周囲の電子達からの力を受けて金属内に束縛されている電子は、光の照射を受けると、その振動する電場によってゆさぶられ、次第に大きな振幅で振動するようになる。そして最後には、周囲の束縛力を振り切って原子の外へ飛び出す。
もしこう考えるなら、飛び出してくる各電子のエネルギーは、飛び出る直前の一周期、もしくは半周期において光の電場から得たものだということになる（それ以前に得たエネルギーは振幅を増すために費やされる）。それは当然、電場の強さが大きい程、つまり光が運ぶエネルギーが大きい程、大きいはずである。ところが、Lenard の観測によれば、光の強さを増しても各電子のエネルギーは増加せず、ただ個数が増すだけであった。従って Lenard の得た結果は、当時の人々にとって非常に意外なものであり、説明に窮するものであった。
ここでまたしても Einstein が登場する。1905 年の論文で彼は次のように言い出した：『光は、その振動数に比例したエネルギーを持って光速で飛ぶ、粒子の集まりのように振る舞う。』この粒子は光量子、あるいは光子と呼ばれるようになるのだが、電子と出会うとそのすべてのエネルギーを一個の電子に与える。光子から電子へのエネルギーの移行は、他の光子の存在とは無関係になされる。
金属表面に束縛されている状態を振り切って電子が外部へ飛び出すためには、束縛力に対してある大きさだけの仕事をする必要がある。この仕事量を $P$、一つの光子が持つエネルギーを $h\nu $ で表すなら（$\nu $ は光の振動数、$h$ はプランク定数と呼ばれる定数）、従って
$$h\nu \geq P$$の場合にのみ、電子は束縛力を振り切ることができるはずである。その際余分なエネルギーは電子の運動エネルギーに変換されると考えられるから
$$h\nu =P+{1\over 2}mv^2$$が成り立つはずである。以上は Lenard の得た第一の事実、『当てる光の振動数がある値より高い時にのみ電子は飛び出し、高振動の光を当てる時ほど、飛び出してくる電子の運動エネルギーが高い』に正しく合致している。
更に、例えば光の強さが 2 倍になることは、光が運ぶエネルギーが 2 倍になることなので、入射する光子の個数が 2 倍になることを意味する。従って、金属表面から飛び出す電子の個数が 2 倍になることになる、しかし、各電子の持つ運動エネルギーは変化しないはずである。 これは Lenard の得た第二の事実、『振動数は変えずに、光の強さを増すと、つまりエネルギーをより多く運ぶ光を当てると、単位時間あたりに飛び出してくる電子の個数は増加するが、しかし各電子の運動エネルギーは増加しない』に他ならない。
「量子力学」という有名な教科書の中で、朝永振一郎博士が次のように言っている：『光の粒子性というものは、量子物理学者だけがもの好きに考えていることだとか、それを実現させるにはものものしい実験装置が必要であるなどと言って敬遠してはいけない。われわれの日常生活のいたるところで、その表れが見いだされるのである。』そこに引用されている例を二つ、紹介しておく。
酸素からオゾンが作られる時の反応式は
$$O_2=O+O-117 kcal$$であり、酸素分子 1 モルを原子の状態に分解するには $117$ キロカロリーのエネルギーが必要であることを示す。1 モル中の分子数は
$$N=6.02\times 10^{23}$$であり $1$ キロカロリーは
$$4.18\times 10^{10} エルグ$$だから酸素分子一個に反応を起こさせるエネルギーは
$$E={{117\times 4.18\times 10^{10}}\over {6.02\times 10^{23}}}\approx 8.1\times 10^{-12} エルグ$$となる。一方、オゾンのこの分解反応は紫外線の照射によって初めて起きることが知られているが、紫外線の波長は $10 nm$ から $400 nm$ の間であり、従って振動数は
$$7.5\times 10^{14} s^{-1}$$ から $$3\times 10^{16} s^{-1}$$の範囲に分布する。おおよその計算をしたいだけなので
$$\nu _{紫外}=10^{15} /s$$として、$h\nu _{紫外}$ だけのエネルギーが酸素分子に与えられ、その結果オゾン反応が起きるとするなら
$$h\nu _{紫外}=E$$と置くべきである。
この等式から
$$h=8.1\times 10^{-27} erg\cdot s$$が得られる。今日知られている $h$ の値は
$$h=6.626\cdots \times 10^{-27} erg\cdot s$$であり、全体の推論が的を得たものであることを示していると解釈すべきだろう。（$\nu _{紫外}$ としてほんの少し大きな値を選べば、ぴったり合わせることは可能。）
写真乾板に光が当たると臭化銀分子 AgBr は Ag と Br に分解する。その反応式は
$$AgBr=Ag+Br-24 kcal$$であるから、一分子の分解に必要なエネルギーは
$$E={{24\times 4.18\times 10^{10}}\over {6.02\times 10^{23}}}=1.7\times 10^{-12} erg$$の程度である。われわれの網膜が光を感じる際の最低エネルギーもこの程度だと仮定するなら、可視光の内で最も低いエネルギーの光（すなわち赤色の光）の振動数 $\nu $ は、
$$1.7\times 10^{-12}=h\times \nu $$から得られる値におおよそ等しいはずである。$h$ として $6.6$ を使って計算すると
$$\nu ={{1.7}\over {6.6}}\times 10^{15} s^{-1}=2.6\times 10^{14} s^{-1}$$が得られる。赤色の光の実際の振動数は
$$4.3\times 10^{14} s^{-1}$$の付近にあり、大体一致している。
一方、光の運ぶエネルギーが粒々の状態ではなく、連続的に空間に分布していると仮定するとどういう結論が得られるだろうか。例えば普通のろうそくの光源から出るエネルギーの量は、$3$ メートルの距離離れた $1cm^2$ の面積を $1$ 秒間に $1$ エルグが通過する程度である。原子の半径は約 $10^{-8} cm$ だから、ろうそくから $3$ メートルの距離に写真乾板を置く時、その表面の臭化銀の分子一つを毎秒通過するエネルギーは
$$\pi \times 10^{-16} erg$$である。そのエネルギーすべてが蓄積され臭化銀の分子の分解に使われるとしても、その蓄積に要する時間は
$${{1.7\times 10^{-12}}\over {\pi \times 10^{-16}}}=5000 s$$となる。つまり $100$ 分近くシャッターを開いた状態にしておかないと、ろうそく一本の写真も撮れないことになる。
われわれの目の網膜上の細胞が光を感知する仕組みも、大体同じであると考えられるので、もし光がそのエネルギーを粒々の状態で運ぶことをしないのであれば、夜空の星を見ることは一生かかっても決して出来ないことに、おそらくなるだろう。
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