四方山話 (アインシュタイン曰く『量子力学は不完全である』-その弐)(2021年12月27日）
前回、『量子力学は不完全な理論である』と結論したアインシュタインと二人の共同研究者の論文を紹介した。非常に大事な内容なので、私なりにできるだけ平易な言葉でまとめておきたい：二つの粒子に相関を持たせて正反対の方向へ飛ばすことを考える。ここでは、二つの光子から成る対に、偏極の方向が互いに直交するように相関を持たせる場合を取り上げる。つまり、右方向へ飛ぶ光子をアリスが検出器にかけて、例えば水平方向へ偏極していることがわかれば、対を成す左方向へ飛ぶ光子をボブが検出器に通すと必ず垂直方向へ偏極している、という具合である。この時、測定する偏極の方向は水平とは限らない、例えば $+45$ 度の方向でもよい。アリスのもとへ飛んできた光子が $+45$ 度の方向へ偏極して検出器を通過したのであれば、ボブの光子は必ず $+135$ 度の方向に偏極して測定器を通過するのである。
この条件を満たす二つの光子の状態を ${\bf a}$ で表すと（７月７日の記事で書いたが）、量子力学では
\begin{equation} {\bf a}={1\over {\sqrt 2}}\left( {\bf b}_A\otimes {\bf b}'_B-{\bf b}'_A\otimes {\bf b}_B\right) \label{eq:anohyougen} \end{equation}と書ける。但し ${\bf b}, {\bf b}'$ は、光子の進行方向に垂直な平面上の、長さ $1$ の互いに直交するベクトルとする。
$${\bf b}_A\otimes {\bf b}'_B$$は、アリスのもとへやって来る光子が ${\bf b}$ 方向に偏極し、ボブのもとへ行く光子が ${\bf b}'$ 方向へ偏極する状態を表す。
$${\bf b}'_A\otimes {\bf b}_B$$は、アリスの光子が ${\bf b}'$ 方向に偏極し、ボブの光子が ${\bf b}$ 方向へ偏極する状態を表す。${\bf a}$ はその二つの和だが、中間にあるマイナスのお陰で、${\bf b}$ がどんな方向のベクトルであっても同じ ${\bf a}$ が得られる。
念のために実験の設定をもう一度説明する：このような光子対をいくつも作り左右に飛ばす時、アリスは水平方向と垂直方向の偏極を調べる、つまり
の装置に光子を通す。その結果を見ることにより、ボブの光子の振る舞いを正確に予言することができる。アリスの光子がもし水平方向へ偏極して出てくれば、『ボブさん、あなたが私と同じ方向の装置を使うなら、光子は垂直方向に偏極して通過しますよ』と予言できる。もし垂直方向へ偏極して出てくれば、『ボブさん、今度の光子は水平方向へ偏極して通過するはずですよ』と言い切れる。しかもその予言が必ず当たる。図の装置を $z$ 軸の周りに任意の角度回転して用いる場合も、このことは言える。
以上の状況からアインシュタイン達は次のように推論した：
(1) アリスがボブから十分遠く離れているなら、アリスが彼女の光子に対してする測定行為がボブの光子を攪乱するとは、どんな意味においてもあり得ない。特に、彼女の行為によってボブの光子の何らかの性質が失われたり、あるいは新たな性質が付け加わるというようなことはないはずである。従って、ボブの光子が水平に偏極して装置を通過するか、あるいは垂直に偏極して通過するかは、光子一つ一つに確定している属性だと考えられる。もしそうでなくて、少しでも不確定であるなら、アリスの予言は完全には的中しないはずだからである。
(2) 更に、測定する偏極の方向はどちら向きでもよい。つまり、任意の角度 $\theta $ について、上の図の装置を $\theta $ だけ回転してボブが用いるなら、$\theta $ 方向に偏極して出てくるか、$\theta +90 度$ 方向に偏極して出てくるかは、光子一つ一つについて確定している属性のはずである。ここで簡単の為に、$\theta =45$ 度に着目しよう。(1) の結論によれば、ボブの各光子にとって水平に偏極するか垂直に偏極するかは確定した属性である。$45$ 度に偏極するか $135$ 度に偏極するかも確定した属性である。しかも - この点が極めて大事なことだが - 各光子はこれら二つの属性を共に（同時に）持つはずである。何故ならば、もし前者が失われるというのであれば、アリスが装置の向きを変えることによって失われたと考えざるを得ないからである。それは、アリスの測定行為がボブの光子を攪乱することがないのだから、あり得ないことである。
(3) もし量子力学が光子の振る舞いを記述する物理理論としても完全であるなら、量子力学は光子のこの性質を過不足なく記述するものでなくてはいけない。一方、光子の偏極の状態を量子力学で記述する時には、平面ベクトルを使う。水平方向に偏極して方解石を通過する光子の状態は $x$ 軸方向の長さ $1$ のベクトル
$${\bf e}_x=\pmatrix{ 1 \cr 0}$$で表され、$45$ 度の方向へ偏極して方解石を通過する、あるいは $135$ 度の方向へ偏極して装置を通過する光子の状態は、それぞれ
$${\bf f}_+={1\over {\sqrt 2}}\pmatrix{ 1 \cr 1}, \hskip 2mm {\bf f}_-={1\over {\sqrt 2}}\pmatrix{ -1 \cr 1}$$で表される。従って、もし量子力学が完全であるなら、せいぜい定数倍を除いて
$${\bf e}_x={\bf f}_+, \hskip 2mm {\bf e}_x={\bf f}_-$$のどちらかが成立しなくてはいけない。しかしこれは明らかにあり得ないことである。
こうしてアインシュタインとその共同研究者たちは、『物理的実在を記述する理論として、量子力学は完全ではない』と結論した。実は、分かりやすいようにと思い、ここでは光子の偏極方向を取り上げたのだが、彼らの論文では運動量と位置に着目して推論している。つまり、運動量と位置が共に相関している二つの粒子対を考えている。これまで、水平方向の偏極と $45$ 度方向の偏極が共に相関している光子の対を、考えてきたのと同様である。
彼らが考えた相関を少し正確に説明すると以下のようである：右方向へ飛ぶ粒子の運動量（$=質量\times 速度$）をアリスが測り、値 $p$ を得たとする。この時、その粒子対の片割れの運動量をボブが測れば、必ず
$$-p$$が得られる。また、アリスが粒子を捕まえてその位置を測定し、値 $x$ を得たとする。この時、対を成す粒子の片割れの位置をボブが測ると
$$x+x_0$$が得られる。但し $x_0$ は何らかの定数とする。
このように相関している粒子の対の状態をベクトルで表すと
\begin{equation} \psi (x_A, x_B)=\int _{-\infty }^{\infty }e^{i(x_A-x_B+x_0)p/{\hbar }}dp \label{eq:psixaxB} \end{equation}と書ける。$x_A, x_B$ はそれぞれアリスとボブのもとへ飛ぶ粒子の座標である。積分が現れ難しそうに見えるが、光子の場合の (\ref{eq:anohyougen}) 式
$${\bf a}={1\over {\sqrt 2}}\left( {\bf b}_A\otimes {\bf b}'_B-{\bf b}'_A\otimes {\bf b}_B\right) $$式に相当する式である。相関の内容さえ理解すれば、(\ref{eq:psixaxB}) 式から引き出すべきものは他にないので、この積分式についての詳しい説明は省略して先へ進むことにする。
論文でなされている推論は、光子の場合にわれわれがしたものとほとんどまったく同じであって、次のようなものである：
(1) アリスは自分のところへやって来る粒子の運動量を測定することにより、ボブのもとへ飛んでいく粒子の運動量を正確に予言することができる。この時、アリスがボブから十分遠く離れているなら、アリスの測定行為がボブの粒子を攪乱することはあり得ない。従って、ボブの粒子の運動量は、粒子一つ一つに確定している属性だと考えられる。もしそうでなくて、少しでも不確定であるなら、アリスの予言は完全には的中しないはずだからである。
(2) 更にアリスは、測定装置を取り換えることにより、自分のところへやって来る粒子の位置を測定することもできる。そうすることにより、今度はボブの粒子の位置を正確に言い当てることができる。従って、上と同じ理由により、ボブの粒子の位置も、一つ一つの粒子にとって確定している属性のはずである。しかも - この点が大事だが - 各粒子はこれら二つの属性を共に（同時に）持つはずである。何故ならば、もし片方の性質が失われるというのであれば、アリスが装置を置き換えることによってその性質が失われたと考えざるを得ないからである。従って、ボブのところへやって来る各粒子はそれぞれ、確定した運動量と位置の両方を備えていることになる。
(3) もし量子力学が粒子の振る舞いを記述する物理理論として完全であるなら、量子力学は粒子のこの性質を過不足なく記述できなくてはいけない。つまり、粒子の状態ベクトルは、それを見て粒子の運動量と位置の双方を正確に予言できるものでなくてはいけない。しかし、10月6日の記事で導いたことだが、ハイゼンベルグの不確定性関係
$$\Delta x\cdot \Delta p\geq {{\hbar }\over 2}$$によって、このような予言は量子力学ではあり得ない。位置を正確に予言できる状態では運動量の値はまったく不確かになる。逆も同様である。こうして再び、量子力学の不完全性が結論される。
アインシュタインとその共著者たちの論法の基盤は、ただ一つ、『アリスがボブから十分遠く離れているなら、アリスの測定行為がボブの粒子を攪乱することはあり得ない』という前提である。彼らの推論はこの一点にかかっている。この前提がもし正しいなら、量子力学が不完全であるという結論を覆すことは相当難しい。そもそもハイゼンベルグの不確定性関係自体が否定されることになる。従ってもし、ハイゼンベルグの不確定性関係を認め、その上に成り立っている量子力学の正当性を是認するなら、上に述べた前提の正当性を疑わざるを得ないことになる。
EPR 論文が出版されたのは 1935 年だが、その二年前のアインシュタインが次のような実に率直な疑問を、ローゼンフェルトという人にたずねたという記録が残っている：
次のような状況についてあなたは何とおっしゃるでしょうか。２個の粒子が同じ非常に大きな運動量でお互いに向き合って運動しているものとしましょう。さらにこの２個の粒子はそれらがある分かっている位置を通過する時ごく短い時間お互いに相互作用するとします。さて、相互に作用する領域から遠く離れたところで２個の粒子の内の一つを捕まえてその運動量を測定する一人の観測者を考えます。その場合彼は、この実験の条件からして、もう一方の粒子の運動量を推論することができることになります。但しもしも彼が第一の粒子の位置を測定する方を選ぶ場合には、もう一方の粒子がどこにあるかを告げることができるはずです。このことは量子力学の諸原理からの完全に正しい直接的な演繹なのです。しかしそれは極めてパラドキシカルではありませんか。２個の粒子間ではすべての物理的相互作用がやんでしまった後で、第二の粒子の終わりの状態が第一の粒子に対して行われた測定によって影響されるということがどのようにしてできるのでしょうか。（ヤンマー著「量子力学の哲学上」 pp.202-3）
すべての物体や信号、影響、あるいは情報まで込めて、それらの移動の速さは決して光速を超えない、という原理の発見者はアインシュタインである。その原理に従えば、アリスとボブの間の距離が十分大きくて、かつアリスの測定行為のすぐ後でボブが測定する限り、アリスの行為はボブの光子に何らの影響も及ぼさないはずである。この原理の発見者である彼にとって、量子力学の意味する奇怪さは、人一倍強く感じられたものと思われる。
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