四方山話 (アインシュタイン曰く『量子力学は不完全である』)(2021年12月22日）
1935 年、アインシュタインはポドルスキーとローゼンという二人の研究者と一緒に、「物理的実在の量子力学的記述は完全と考えられ得るか？」という題の論文を書いた。結論は『考えられない』というものだった。今回はこれについて紹介する。
まず論文の論理の進め方を、ある程度正確に紹介しておく。ただ、こういった種類の文章に慣れていない人にはいかにもとっつきにくいと思われる言葉遣いをしている。実は、文章そのものを書いた人はアインシュタインではないらしく、『あまりに才気に走った』文章だと、後にアインシュタインが批判していたとどこかで読んだ記憶がある。この方面の定評ある文献としては「量子力学の哲学」（ヤンマー著）という本があるので、それも参考にしてできるだけ平易な言葉で書き直すことを、後にしてみようと思う。
(I) あるひとつの粒子とか、あるいはいくつかの粒子からなる体系についての、何らかの物理量 $A$ を考える。論文では彼らはまず次のように言う：『もしその系をまったく攪乱することなく（すなわちその系に何の影響も及ぼすことなく）、$A$ の値を予測できて、しかもその予測が必ず的中するのであれば、$A$ に対応する物理的実在の一つの要素（an element of the physical reality corresponding to $A$）が存在する。』
(II) 更に、その系についてのある物理理論を考える時、その理論が完全であるための必要条件を次のように提案する：『物理的実在のあらゆる要素がその理論に中に対応物を持つ。』
(III) 最後に、対応する実在の要素が存在する二つの物理量 $A, B$ の例を提示する。よって、もし量子力学が完全であるならば、$A, B$ に対応する実在の要素は、共に量子力学の中に対応物を持たねばならない。しかし現実の量子力学ではそうなっていないことを示す。こうして、量子力学は完全でないと結論する。
まず『物理量に対応する実在の要素が存在する』という表現が何か近寄りがたい響きを持ち、どう接近していいものか、その状況をどう解釈していいものか、おそらく多くの人が戸惑うと思う。ヤンマーも曲解しないよう苦労している様子が垣間見えるのだが、ただ、『物理量が実在性を持つ』という言葉で置き直している箇所が一ヶ所だけある。本論文の中にも同じ表現を使っている箇所がある（それならそうで、最初から回りくどい言い方をするなと言いたい）、この表現ならかなり身近に感じることができるのではなかろうか。例えば、ある一つの粒子について、『エネルギーが実在性を持つ』というのであれば、その粒子が実際にある決まったエネルギーの値を持つと解釈してよかろう。よってこれ以後、ヤンマーのこの表現を使うことにする。
次に分かりにくいのは、理論の完全性の条件として挙げている、『物理的実在のあらゆる要素がその理論に中に対応物を持つ』という部分である。要するに、『物理量 $A$ が実在性を持つのであれば、$A$ に対応する何かがその理論の中に存在しなくてはいけない』というのが、理論が完全であるための必要条件だというのである。この部分について論文をよく読むと、『実在性を持つ物理量 $A$ については、理論による系の記述からその値を予測できなくてはいけない』と表現している箇所がある（p.778 の右段、下あたり）。この表現の方が少しイメージを描きやすいので、われわれは完全性の条件としてこの表現を採用する。
例えば、量子力学によって系を記述するとは系の状態をベクトルで書き表すことに他ならない。従って、量子力学が完全であるためには、『実在性を持つ物理量については常に、その値を予測することが状態ベクトルから可能でなくてはならない』ということになる。
よってもし、二つの物理量 $A, B$ があって、両方ともに実在性を持ち、しかも、どんな状態ベクトルを用いても $A$ と $B$ の値を両方ともに予測することはできない、例えば、一方を正確に予測できる状態ベクトルを使う限り必ず他方の予測が不可能になる、というのであれば、量子力学は不完全な理論だと結論できる。
さて、上記の条件を満たす物理量 $A, B$ は次のようにして構成できる。論文では一つの粒子の位置と運動量を考えているが、ここでは一つの光子の偏極について考える。6月29日の記事で説明したことだが、ある条件を満たす原子は、エネルギーを放出する過程で、二つの光子を正反対の方向へ射出する。しかも、二つの光子の偏極の方向が常に互いに垂直になっている、つまり、左へ飛んだ光子がもし水平方向に偏極していれば、右へ飛んだ光子は必ず垂直方向に偏極している。これは水平と垂直方向に限られることではない。右へ進んだ光子が、例えば水平方向から $+45$ 度の方向へ偏極しているなら、左へ進んだ光は必ず $+135$ 度の方向へ偏極しているという具合である。
そこで、左へ飛ぶ光子がボブのもとへやって来るとして、その進行方向に垂直な平面上で水平に偏極しているならば $A=1$、垂直に偏極しているならば $A=-1$ と定めよう。また同じ平面上で、$+45$ 度方向に偏極しているなら $B=1$、$+135$ 度方向に偏極しているなら $B=-1$ と定めよう。
つまり、それを通過後の光子が水平方向、もしくは垂直方向に偏極する図のような方解石が、物理量 $A$ を測定するための装置である。この装置を $z$ 軸を軸として $+45$ 度回転して得られる装置が $B$ のための測定装置である。
こうして定めた物理量 $A$ が実在性を持つことは次のように考えるとわかる：右方向に飛ぶ光子がアリスのもとへやって来るとして、アリスは方解石の装置を用い、その光子が水平に偏極しているか垂直に偏極しているかを測るとする。もし水平に偏極していると分かれば、ボブのもとへ飛んでいく光子は必ず垂直に偏極しているはずである。もし垂直に偏極していると分かれば、ボブの光子は必ず水平に偏極しているはずである。しかも、アリスとボブの間の距離を十分大きく取っておけば、アリスの行う測定行為はボブの光子には何の影響も与えないはずである。よって、ボブの光子をまったく攪乱することなく $A$ の値を予測できて、しかもその予測が必ず的中することになる。従って、最初に (I) で述べた判定条件が満たされ、$A$ に対応する物理的実在の一つの要素が存在することになる、つまり $A$ は実在性を持つ。
まったく同様に、すなわちアリスが $+45$ 度方向の偏極を調べることにより、物理量 $B$ の値を $1$ の確率で当てることができる、しかもボブの光子には何の攪乱も与えずにである。よって物理量 $B$ も実在性を持つ。
ところで一方、物理量 $A$ の値が $+1$ である状態を表す状態ベクトルは $x$ 軸方向の長さ $1$ のベクトル、成分で書くなら
$${\bf e}_x=\pmatrix{ 1 \cr 0}$$である。また、$B$ の値が $+1$ である状態は $+45$ 度方向のベクトル
$${\bf f}_+={1\over {\sqrt 2}}\pmatrix{ 1 \cr 1}$$で、$-1$ である状態は
$${\bf f}_-={1\over {\sqrt 2}}\pmatrix{ -1 \cr 1}$$で表される。ここで
$$\vert ({\bf e}_x, {\bf f}_+)\vert ^2=\vert ({\bf e}_x, {\bf f}_-)\vert ^2={1\over 2}$$である。
従って、量子力学の公理は、ベクトル ${\bf e}_x$ によって表される状態では $B$ の値が $1/2$ の確率で $+1$、あるいは $-1$ であることを教えてくれる、しかし、量子力学が教えてくれることはそれだけであって、それ以上のことを ${\bf e}_x$ から引き出すことはできない。つまり、$A$ の値が $1$ であることを確実に予測できる状態をベクトルで表すと、そのベクトルから $B$ の値を予測しようにも、まったく不可能なのである。
こうして、物理的実在を記述する理論としては量子力学は完全な理論ではないと、彼らは結論した。
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