前回は、粒子の運動について、どんな状況下でなら量子力学とニュートン力学が同じ結論を導くかを考えた。ただかなり直観的な議論をしたので、今回は少し厳密性を増したい。われわれが見たり触ったりできる物体、いわゆる「巨視的物体」と言い得る物体について、量子力学がニュートン力学と同じ結論を導くかどうかを、はっきりさせたい。
少し復習をする：特に記号を簡単にするためだが、粒子の運動を一次元の数直線上に限定する。従って粒子の状態は、$x$ の関数 $\psi (x)$ で、$x$ が遠方に行くにつれて $\vert \psi (x)\vert $ が急激に $0$ に近づくものによって表される。運動量を表す作用素は
$${\hat p}:\psi (x)\rightarrow {{\hbar }\over i}{d\over {dx}}\psi (x)={{\hbar }\over i}\psi '(x)$$である。但し、ダッシュは $x$ に関する微分を表す。粒子の $x$ 座標を表す作用素は
$${\hat x}: \psi (x)\rightarrow x\psi (x)$$である。また内積は
$$(\psi , \phi )=\int _{-\infty }^{\infty }\psi (x)\phi (x)^*dx$$によって定義される。$\phi (x)^*$ は複素数 $\phi (x)$ の共役複素数を表す。
以前紹介した「量子力学の公理」によれば、任意の状態 $\psi $ において任意の物理量 $A$ を測定して測定値 $a$ が得られたとすると、$a$ は作用素 ${\hat A}$ の固有値である。但し物理量 $A$ を表す作用素を ${\hat A}$ で表した。更に、$a$ に属する ${\hat A}$ の固有関数を $\phi $ とするならば
$$\vert (\psi , \phi )\vert ^2$$が測定値 $a$ が得られる確率に等しい。但し
$$(\psi , \psi )=(\phi , \phi )=1$$であるベクトル $\psi , \phi $ を使うとする。
作用素 ${\hat A}$ の固有値を全部集めて
$$a_1, \hskip 2mm a_2, \hskip 2mm \cdots $$とし、それぞれに属する固有関数を $\phi _j$ とするならば、$\phi _j$ は今考えている関数空間の正規直交基底になる、つまり任意の $\psi $ が
$$\psi =c_1\phi _1+c_2\phi _2+\cdots $$の形で書ける。但し $c_j$ は $\psi $ によって決まる複素数である。この時
$$(\psi , \phi _j)=c_j$$だから、上の公理によれば、$\vert c_j\vert ^2$ は「状態 $\psi $ にある粒子に対し物理量 $A$ の値を測定する場合、測定値 $a_j$ が得られる確率」に一致する。 よって
$$\sum _j\vert c_j\vert ^2a_j=({\hat A}\psi , \psi )$$は測定値の平均値に等しい。
従って、粒子の運動量や位置についても、その測定値の平均は
$$({\hat p}\psi , \psi )=\int _{-\infty }^{\infty }{{\hbar }\over i}{d\over {dx}}\psi (x)\times \psi (x)^*dx$$ $$({\hat x}\psi , \psi )=\int _{-\infty }^{\infty } x\psi (x)\psi (x)^*dx$$で得られる。
ところで状態は、一般には時間的に変化する。その変化まで表すには時間変数 $t$ も入れて、二変数関数 $\psi (t, x)$ を考える必要がある。時間 $t$ に関する変化はシュレデインガー方程式
$$i{\hbar }{\partial \over {\partial t}}\psi (t, x)={\hat H}\psi (t, x)$$に従う。
ここで ${\hat H}$ は粒子の全エネルギーを表す作用素で、われわれは一つの粒子を考えているから運動エネルギーと位置エネルギーの和
\begin{equation} {\hat H}={1\over {2m}}{\hat p}^2+V({\hat x}) \label{eq:Hhatundo} \end{equation}を使うことにする。$V(x)$ は位置エネルギーを表す、よって、ニュートン力学の言葉で言えば、粒子が点 $x$ にいる時
$$-V'(x)$$だけの力がその粒子にかかる。
例えば、天井からバネでつるした錘を考え、鉛直に $x$ 軸を定めて、バネの引き上げる力と重力による引き下げる力とが釣り合って錘が静止する点を $x=0$ とする。バネをむやみに伸縮させない限り、$x$ の位置にいる錘には原点からの距離に比例する引力 $-kx$ がかかる（$k$ はバネによって決まる定数である。このケースでは
$$V(x)={k\over 2}x^2$$である。
(\ref{eq:Hhatundo}) 式で $V({\hat x})$ と書いた作用素は、「$x$ の関数 $V(x)$ の $x$ の箇所に、作用素 ${\hat x}$ を代入して得られる作用素」を意味する。例えば上の例の
$$V(x)={k\over 2}x^2$$ならば、
$$V({\hat x})={k\over 2}{\hat x}^2$$である。要するに、一般に
$$V({\hat x}): \psi (x)\rightarrow V(x)\psi (x)$$である。
さて復習はこれくらいにして、$\psi (t, x)$ の状態にある粒子の位置を測定する際、見い出される位置の平均値
$$({\hat x}\psi , \psi )=\int _{-\infty }^{\infty }x\vert \psi (t, x)\vert ^2dx$$が、時間的にどう変化するかを見てみよう。ニュートン力学では、位置は時間 $t$ を変数とする関数 $x(t)$ だと考えられ、運動法則
$$m{{d^2}\over {dt^2}}x(t)=-V'(x(t))$$のもとで変化した。量子力学でこの $x(t)$ に対応するものが、位置の平均値
$$({\hat x}\psi , \psi )$$だと考えることは自然であろう。よってこの平均値が $t$ の変化と共にどう変わるかは興味深い。
まず $t$ で一回微分してみると
\begin{eqnarray*} &&{d\over {dt}}({\hat x}\psi , \psi ) \\ &&={d\over {dt}}\int x\psi (t, x)\psi (t, x)^*dx\\ &&=\int \left[ x{\partial \over {\partial t}}\psi (t, x)\times \psi (t, x)^*+x\psi (t, x)\times \left( {\partial \over {\partial t}}\psi (t, x)\right) ^*\right] dx\\ &&=-{i\over {\hbar }}\int \left[ x{\hat H}\psi (t, x)\times \psi (t, x)^*-x\psi (t, x)\times \left( {\hat H}\psi (t, x)\right) ^*\right] dx\\ &&=-{i\over {\hbar }}\left[ ({\hat x}{\hat H}\psi , \psi )-({\hat x}\psi , {\hat H}\psi )\right] \end{eqnarray*}である。
ここで ${\hat H}$ は自己共役作用素であるから
\begin{eqnarray} {d\over {dt}}({\hat x}\psi , \psi )&=&-{i\over {\hbar }}\left[ ({\hat x}{\hat H}\psi , \psi )-({\hat H}{\hat x}\psi , \psi )\right] \nonumber \\ &=&-{i\over {\hbar }}(({\hat x}{\hat H}-{\hat H}{\hat x})\psi , \psi ) \label{eq:ddtxpspsi} \end{eqnarray}さて、一般に二つの作用素 ${\hat A}, {\hat B}$ について、それらの「交換子」 $[{\hat A}, {\hat B}]$ を
$$[{\hat A}, {\hat B}]={\hat A}{\hat B}-{\hat B}{\hat A}$$によって定義する。計算ですぐわかることだが
$$[{\hat A}, {\hat B}{\hat C}]=[{\hat A}, {\hat B}]{\hat C}+{\hat B}[{\hat A}, {\hat C}]$$である。このことから
\begin{eqnarray*} {\hat x}{\hat H}-{\hat H}{\hat x}&=&[{\hat x}, {\hat H}]={1\over {2m}}[{\hat x}, {\hat p}^2]\\ &=&{1\over {2m}}\left( [{\hat x}, {\hat p}]{\hat p}+{\hat p}[{\hat x}, {\hat p}]\right) \end{eqnarray*}だとわかる。但し、一行目の変形では
$$[{\hat x}, V({\hat x})]=0$$であることを使った。
ここで
\begin{eqnarray*} {\hat p}{\hat x}\psi (x)&=&{{\hbar }\over i}{d\over {dx}}\left( x\psi (x)\right) \\ &=&{{\hbar }\over i}\left( \psi (x)+x\psi '(x)\right) \\ &=&{{\hbar }\over i}\psi (x)+{\hat x}{\hat p}\psi (x) \end{eqnarray*}である。つまり
$$[{\hat x}, {\hat p}]=i{\hbar }$$である。但し左辺は、定数 $i\hbar $ をかけるという作用素を表す。
以上の結果を (\ref{eq:ddtxpspsi}) の右辺に代入すれば
\begin{equation} {d\over {dt}}({\hat x}\psi , \psi )={1\over m}({\hat p}\psi , \psi ) \label{eq:dovedtx} \end{equation}が得られる。
もう一度微分すると
$${{d^2}\over {dt^2}}({\hat x}\psi , \psi )={1\over m}{d\over {dt}}({\hat p}\psi , \psi )$$だが、
\begin{eqnarray*} &&{d\over {dt}}({\hat p}\psi , \psi ) \\ &&={d\over {dt}}\int \left( {\hat p}\psi (t, x)\right) \psi (t, x)^*dx\\ &&=\int \left[ {\hat p}{{\partial }\over {\partial t}}\psi (t, x)\times \psi (t, x)^*+{\hat p}\psi (t, x)\times \left( {{\partial }\over {\partial t}}\psi (t, x)\right) ^*\right] dx\\ &&=-{i\over {\hbar }}\int \left[ {\hat p}{\hat H}\psi (t, x)\times \psi (t, x)^*-{\hat p}\psi (t, x)\times \left( {\hat H}\psi (t, x)\right) ^*\right] dx\\ &&=-{i\over {\hbar }}\left[ ({\hat p}{\hat H}\psi , \psi )-({\hat p}\psi , {\hat H}\psi )\right] \end{eqnarray*}である。但し、${\hat p}$ は $x$ に関する微分であり、$t$ に関する微分とは順番を入れ替えてよいことを二度ほど使った。
ここで ${\hat H}$ は自己共役だから、最後の項の大括弧の中身は
$$([{\hat p}, {\hat H}]\psi , \psi )$$である。更に
\begin{eqnarray*} [{\hat p}, {\hat H}]&=&[{\hat p}, {1\over {2m}}{\hat p}^2+V({\hat x})]\\ &=&[{\hat p}, V({\hat x})]={{\hbar }\over i}V'({\hat x}) \end{eqnarray*}である。最後の変形は
\begin{eqnarray*} {\hat p}V({\hat x})\psi (x)&=&{{\hbar }\over i}{d\over {dx}}\left( V(x)\psi (x)\right) \\ &=&{{\hbar }\over i}\left[ V'(x)\psi (x)+V(x)\psi '(x)\right) \\ &=&{{\hbar }\over i}V'({\hat x})\psi (x)+V({\hat x}){\hat p}\psi (x) \end{eqnarray*}であることからわかる。よって
$${d\over {dt}}({\hat p}\psi , \psi )=-(V'({\hat x})\psi , \psi )$$である。
ここまでで
\begin{equation} m{{d^2}\over {dt^2}}({\hat x}\psi , \psi )=-(V'({\hat x})\psi , \psi ) \label{eq:heikinnougoki} \end{equation}が得られたことになる。
ここで、推論を見通しよくするためだが、任意の作用素 ${\hat A}$ に対し
$$\langle {\hat A}\rangle =({\hat A}\psi , \psi )$$と置く。この記号を使うと (\ref{eq:heikinnougoki}) 式は
$$m{{d^2}\over {dt^2}}\langle {\hat x}\rangle =-(V'({\hat x})\psi , \psi )$$である。従ってもし
\begin{equation} (V'({\hat x})\psi , \psi )=V'(\langle {\hat x}\rangle ) \label{eq:Vdashxkakko} \end{equation}であるならば、粒子の平均位置 $\langle {\hat x}\rangle $ は、加速度と力に関するニュートンの運動法則に従って変化することになる。よって更に、もし粒子が見い出される位置の分散が十分小さくて、粒子の発見場所が散らばっていることを事実上認識できない場合には、位置と速度の時間的変化に関する限り、量子力学もニュートン力学も同じ結論を導くと言える。
では (\ref{eq:Vdashxkakko}) 式が成り立つのはどういう場合だろうか。例えば、先に挙げた例、天井からバネでつるす錘の例では、
$$V(x)={k\over 2}x^2$$だった。この時 $V'(x)=kx$ であり、
$$(V'({\hat x})\psi , \psi )=(k{\hat x}\psi , \psi )=k\langle {\hat x}\rangle =V'(\langle {\hat x}\rangle )$$つまり (\ref{eq:Vdashxkakko}) は成り立つ。
一般の $V(x)$ について見るためにベキ級数展開
$$V'(x)=V'(\langle {\hat x}\rangle )+V''(\langle {\hat x}\rangle )(x-\langle {\hat x}\rangle )+{{V'''(\langle {\hat x}\rangle )}\over 2}(x-\langle {\hat x}\rangle )^2+\cdots $$を考える。この時
\begin{equation} (V'(\langle {\hat x}\rangle )\psi , \psi )=V'(\langle {\hat x}\rangle )+{{V'''(\langle {\hat x}\rangle )}\over 2}\langle ({\hat x}-\langle {\hat x}\rangle )^2\rangle +\cdots \label{eq:kakoVdashx} \end{equation}である。従って、(\ref{eq:kakoVdashx}) 式の右辺の第二項以降の和が第一項に比して 十分小さい場合、 (\ref{eq:Vdashxkakko}) 式が高い精度で成り立つことになる。$n\geq 3$ についての $V^{(n)}(\langle {\hat x}\rangle )$ が十分小さければこのケースが起こり得る。特に $V(x)$ が二次の多項式の場合は
$$V^{(n)}(\langle {\hat x}\rangle )=0 \hskip 2mm (n\geq 3)$$だから、厳密に (\ref{eq:Vdashxkakko}) 式が成り立つ。天井からバネでつり下げた錘はこのケースである。もちろん $V(x)=0$ の場合もこのケースである。
では次に粒子の見い出される位置がどの程度散らばるかを見るために分散
$$\chi =\langle ({\hat x}-\langle {\hat x}\rangle )^2\rangle =\langle {\hat x}^2\rangle -\langle {\hat x}\rangle ^2$$について考える。
$d\langle {\hat x}\rangle /dt$ 等を求めた時と同様な計算をすれば
$${{d\chi }\over {dt}}={1\over m}\left( \langle {\hat x}{\hat p}\rangle +\langle {\hat p}{\hat x}\rangle -2\langle {\hat x}\rangle \langle {\hat p}\rangle \right) $$が得られ、更に
\begin{equation} {{d^2\chi }\over {dt^2}}={{2\eta }\over {m^2}}-{1\over m}\left( \langle V'({\hat x}){\hat x}\rangle +\langle {\hat x}V'({\hat x})\rangle -2\langle {\hat x}\rangle \langle V'({\hat x})\rangle \right) \label{eq:d2dt2chi} \end{equation}となる。但し
$$\eta =\langle {\hat p}^2\rangle -\langle {\hat p}\rangle ^2$$と置いた、つまり運動量の値の散らばり具合を示す分散である。
かなり複雑になってきたので、一息入れるためにも、バネでつるされた錘の場合、つまり
$$V(x)={k\over 2}x^2$$の場合と $V(x)=0$ の場合を考えてみる。まず最も簡単なはずの $V(x)=0$ の場合を：
この場合は先に見たように
$$m{{d^2}\over {dt^2}}\langle {\hat x}\rangle =-V'(\langle {\hat x}\rangle )=0$$が成り立つ。つまり、粒子の平均位置は等速直線運動をする。では位置の散らばり具合はと言うと (\ref{eq:d2dt2chi}) によれば
$${{d^2\chi }\over {dt^2}}={{2\eta }\over {m^2}}$$である。
ここで
$$\eta =\langle {\hat p}^2\rangle -\langle {\hat p}\rangle ^2$$について知る必要があるが、
$${\hat H}={1\over {2m}}{\hat p}^2$$なので
$${d\over {dt}}\eta =0$$つまり
$$\eta =\eta _0\ (定数)$$である。よって
$${{d^2\chi }\over {dt^2}}={{2\eta _0}\over {m^2}}$$であり、
\begin{equation} \chi =\chi (0)+{\dot \chi }(0)t+{{\eta _0}\over {m^2}}t^2 \label{eq:chigat2} \end{equation}である。ドットは $t$ による微分を表す。
ハイゼンベルグの不確定性関係により、常に
$${\sqrt {\chi }}\times {\sqrt {\eta }}\geq {{\hbar }\over 2}$$であり、今われわれは $\chi $ が有限な場合を考えているので常に $\eta \not= 0$。よって (\ref{eq:chigat2}) 式は ${\sqrt {\chi }}$ が時間と共に限りなく大きくなることを示している。 - 次回に続く -
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