元素の周期律表へ進む前に、測定値が離散的に現れる物理量の例をもう一つ挙げておく。今回の話は水素原子内の電子に限らず、ずっと一般の粒子に適用できる：ニュートン力学では
$$L_x=yp_z-zp_y, \hskip 2mm L_y=zp_x-xp_z, \hskip 2mm L_z=xp_y-yp_x$$と置き、これらの組をベクトルとみなして
$${\bf L}=(L_x, L_y, L_z)$$を「（軌道）角運動量」と呼ぶ。粒子の座標と運動量をそれぞれベクトルで表し
$${\bf r}=(x, y, z), \hskip 3mm {\bf p}=(p_x, p_y, p_z)$$と置くならば、${\bf L}$ はそれらのベクトル積
$${\bf L}={\bf r}\times {\bf p}$$に一致するが、ここではベクトル積の知識は一切使わないことにする。
角運動量の顕著な性質は時間的に保存すること、すなわち
$${d\over {dt}}L_x={d\over {dt}}L_y={d\over {dt}}L_z=0$$が成り立つことである。但し粒子に働く力が中心力であること、つまりその力の方向が原点方向であることを仮定する。実際
\begin{eqnarray*} {d\over {dt}}L_z&=&m{d\over {dt}}\left( x{\dot y}-y{\dot x}\right) \\ &=&xF_y-yF_x=0 \end{eqnarray*}である。但し、$\dot x$ 等は時間 $t$ に関する微分 $dx/dt$ を表し、$F_x, F_y$ は粒子にかかる力の $x, y$ 成分を表すとする。力が原点方向を向くと仮定したので
$$(F_x, F_y)=C(x, y)\hskip 5mm (C は定数)$$であり、最後の等号が成り立つ。
ところで
\begin{equation} x=r\sin \theta \cos \phi , \hskip 3mm y=r\sin \theta \sin \phi , \hskip 3mm z=r\cos \theta \label{eq:xyztorthetaphi} \end{equation}によって極座標 $(r, \theta , \phi )$ を導入し角運動量をこれらの座標で表すと、例えば $L_z$ については
$$L_z=m\left( x{\dot y}-y{\dot x}\right) =m(r\sin \theta )^2{\dot \phi }$$である。$r\sin \theta $ は $z$ 軸から粒子までの距離を表し、${\dot \phi }$ は $z$ 軸の周りでの回転角の時間的変化（「角速度」と呼ばれる）を表す。従って
\begin{equation} L_z=質量\times (z 軸からの距離)^2\times 角速度 \label{eq:Lznosiki} \end{equation}と書ける。もちろん $L_x$ や $L_y$ はそれぞれ、$x$ 軸や $y$ 軸の周りの角速度に結び付く。
アイススケートの選手が氷の上でくるくる回る時、手を縮めると速く回転するが、あの現象は角運動量の保存に他ならない。何故ならば：こぶしを一つの粒子と考え、身体の軸を $z$ 軸とみなせば、手を縮めることによってその粒子に中心力が及ぼされることになる。この時 $L_z$ は時間的に不変だが、一方で (\ref{eq:Lznosiki}) 式によれば $L_z$ は、 $z$ 軸からこぶしまでの距離の二乗とこぶしの角速度、それにこぶしの質量の積に等しい。従って、こぶしが身体に引き寄せられれば、（質量は一定だから）必然的に角速度が増さねばならない。これは選手の身体の回転が速くなることを意味する。
ニュートン力学でこのような意味を持つ角運動量という物理量も、量子力学に移ると作用素で表される。置き換えは簡単で、$x, y, z$ は、状態ベクトル $\psi (x, y, z)$ にそれぞれを掛ける作用で置き換え、$p_x, p_y, p_z$ はそれぞれ
$${\hat p}_x={\hbar \over i}\partial _x, \hskip 2mm {\hat p}_y={\hbar \over i}\partial _y, \hskip 2mm {\hat p}_z={\hbar \over i}\partial _z$$で置き換える。
つまり、例えば
\begin{equation} {\hat L}_z=x{\hat p}_y-y{\hat p}_x={\hbar \over i}\left( x\partial _y-y\partial _x\right) \label{eq:Lzhatno} \end{equation}である。
かなり天下り的だが、まず角運動量ベクトル
$${\bf L}=(L_x, L_y, L_z)$$の長さの二乗を表す作用素
$${{\hat L}_x}^2+{{\hat L}_y}^2+{{\hat L}_z}^2$$の固有値を求める（この作用素を以下では記号 $\Vert {\hat {\bf L}}\Vert ^2$ で表す）。その為には
\begin{eqnarray*} \partial _x&=&\sin \theta \cos \phi \partial _r+{1\over r}\cos \theta \cos \phi \partial _{\theta }-{1\over r}{{\sin \phi }\over {\sin \theta }}\partial _{\phi }\\ \partial _y&=&\sin \theta \sin \phi \partial _r+{1\over r}\cos \theta \sin \phi \partial _{\theta }+{1\over r}{{\cos \phi }\over {\sin \theta }}\partial _{\phi }\\ \partial _z&=&\cos \theta \partial _r-{1\over r}\sin \theta \partial _{\theta } \end{eqnarray*}を使って
\begin{eqnarray} {\hat L}_x&=&-{\hbar \over i}\left( \sin \phi \partial _{\theta }+{{\cos \theta \cos \phi }\over {\sin \theta }}\partial _{\phi }\right) \label{eq:Lxnosiki} \\ {\hat L}_y&=&{\hbar \over i}\left( \cos \phi \partial _{\theta }-{{\cos \theta \sin \phi }\over {\sin \theta }}\partial _{\phi }\right) \label{eq:Lynosiki} \\ {\hat L}_z&=&{\hbar \over i}\partial _{\phi } \label{eq:hatLznosiki} \end{eqnarray}を求め、それぞれを二乗して加えればよい。少し長い計算になるが、例えば
$$\partial _{\phi }\sin \phi \partial _{\theta }=\sin \phi \partial _{\phi }\partial _{\theta }$$ではなくて、
$$\partial _{\phi }\sin \phi \partial _{\theta }=(\partial _{\phi }\sin \phi )\partial _{\theta }+\sin \phi \partial _{\phi }\partial _{\theta }$$であること等に注意すれば、
$$\Vert {\hat {\bf L}}\Vert ^2=-{\hbar ^2}\left[ {1\over {\sin \theta }}\partial _{\theta }(\sin \theta \partial _{\theta })+{1\over {\sin ^2\theta }}\partial _{\phi }^2\right] $$が得られる。
この最後の形は実は前々回に既に現れた。その際、$0$ でない関数 $Y(\theta , \phi )$ が存在して
$${1\over {\sin \theta }}\partial _{\theta }(\sin \theta \partial _{\theta }Y)+{1\over {\sin ^2\theta }}\partial _{\phi }^2Y=CY$$が成り立つとすれば $C$ は
$$C=-l(l+1), \hskip 5mm (l=0, 1, 2, \cdots )$$しかないことを述べた。従って、作用素
$$\Vert {\hat {\bf L}}\Vert ^2$$の固有値は
$$l(l+1){\hbar ^2}\hskip 4mm (l=0, 1, 2, \cdots )$$だけだとわかる。
前回見たように、水素原子核からの電気的な引力に捕らえられた電子のエネルギーは離散的に分布している。連続的にすべての値を取ることはできない。エネルギーのみならず、角運動量の長さの二乗もまた、その測定値が離散的に分布することが上の計算によってわかった。
実は角運動量のそれぞれの成分、例えば $z$ 成分
$${\hat L}_z={\hbar \over i}\partial _{\phi }$$の固有値も離散的に分布する。何故ならば：
$${\hbar \over i}\partial _{\phi }X(\phi )=\alpha X(\phi )$$と置くと
$$X(\phi )=定数 \times e^{i\alpha \phi /{\hbar }}$$だが、$\phi $ が $0$ から $2\pi $ まで変化すると対応する空間の点は元に戻るので
$$X(2\pi )=X(0)$$でなくてはいけない。よって
$$e^{2\pi i\alpha /\hbar }=1$$つまり
$$\alpha ={\hbar }k, \hskip 3mm (k=0, \pm 1, \pm 2, \cdots )$$である。
${\hat L}_z$ の固有値は等間隔で離散的に分布することがわかったが、その間隔は
$$\hbar ={h\over {2\pi }}=1.1\times 10^{-34} J\cdot s$$である。 先に (\ref{eq:Lznosiki}) 式で見たように $L_z$ は、$z$ 軸から粒子までの距離の二乗と角速度、それに粒子の質量の積に等しい。従って、それらの積の値は離散的な値しか許されず、連続的に任意の値を取ることがないという結論になる。しかし、アイススケートの選手の動きを見ていて、あるいは何かを振り回すような経験の中で、このような離散性を感じたことのある人は、おそらくいないと思う。何故だろうか？
そもそも日常生活の中で経験できる $L_z$ の値はどの程度の大きさなのだろうか。例えば $100$ グラムの物体を身体の周りで振り回すとして、半径 $1$ メートルの軌道上を一秒間に五回の割で回すと
$$L_z=(0.1 kg)\times (1 m)^2\times (10\pi s^{-1})=3.1 J\cdot s$$となる。従って、角運動量の値としてわれわれが日常生活の中で感じ取ることのできる大きさは、$J\cdot s$ の単位で $1$ のオーダー、小さい場合でせいぜい数百分の一、大きい場合でせいぜい数百といったところだろう。ところが離散的に分布する角運動量の間隔 $\hbar $ は $10^{-34}$ の小ささである。こんな小さな間隔をわれわれの五感が感じ取ることは、おそらくあり得ない。角運動量に現れる離散性をわれわれが見落としてきた理由は、この辺にあるのではなかろうか。
では、ミクロの世界での典型的な $L_z$ の値を同じような立場（ニュートン力学の立場）から求めてみよう。電子が水素原子核からのクーロン力 $e^2/r^2$ を受けてボーア半径 $r_0$ の円運動をするとみなし、その $L_z$ を求めてみる。角速度を $\omega $ で表すと、ニュートンの運動方程式から
$$mr_0\omega ^2={{e^2}\over {r_0^2}}$$が得られる。よって
$$\omega ={\sqrt{{e^2}\over {mr_0^3}}}$$であり
$$L_z=mr_0^2\omega ={\sqrt{mr_0e^2}}$$となる。
$$m=9.1\times 10^{-31} kg$$ $$r_0=0.53\times 10^{-10} m$$ $$e^2=2.3\times 10^{-28}kg\cdot m^3\cdot s^{-2}$$を代入すると
$$L_z=1.0\times 10^{-34} J\cdot s$$である。これはほとんど $\hbar $ の値に等しい。
よって、一つの電子が関与するようなミクロの世界での角運動量の大きさは、$\hbar $ の大きさと同程度であると判断してよかろう。先に計算したように、日常生活でわれわれが関与し得る運動の角運動量は $1 J\cdot s$ のオーダーであった。もし仮に角運動量の値が $1 J\cdot s$ 程の間隔で並んでいるのであれば、われわれは容易にその離散性を感知するであろう。しかし如何せん、その間隔は
$$\hbar =1.1\times 10^{-34} J\cdot s$$であって、われわれの五感が認識し得る大きさではない。しかし、電子にとっては、そもそも電子が関与する運動の角運動量が $\hbar $ のオーダーなのだから、この間隔の存在は大きな意味を持つことになると思われる。
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