四方山話（量子力学とニュートン力学の関係 - その弐） (2021年11月2日）
前回の最後に留保した件だが、どこにも間違いはなかった：前回は、粒子の最初の状態を、確率密度が正規分布になる状態 $\psi _G(x)$ とし、エネルギー作用素
$${\hat H}={1\over {2m}}{\hat p}^2=-{{\hbar ^2}\over {2m}}{{d^2}\over {dx^2}}$$のもとで起きる時間的変化を計算した。
$$e^{-it{\hat H}/{\hbar }}\psi _G(x)$$を計算したのだが、その結果、$t$ 秒後の状態の確率密度も正規分布であり、標準偏差は
$$\sigma _t=\sigma {\sqrt{1+\left( {{\hbar t}\over {2m\sigma ^2}}\right) ^2}}$$であることがわかった。但し $\sigma $ は最初の確率密度の標準偏差とする。ここまでの計算に間違いはなかった。
従って時間の経過とともに確率密度の標準偏差は増加することになるが、その速さが、$t$ が十分大きいという条件下では
\begin{equation} {{\hbar }\over {2m\sigma }} \label{eq:kakusanyasa} \end{equation}であることになる。
そもそも、位置の不確定度が $\Delta x=\sigma $ であれば、ハイゼンベルグの不確定性関係
$$\Delta x\cdot \Delta p\geq {{\hbar }\over 2}$$によって運動量の不確定度は
$$\Delta p\geq {{\hbar }\over {2\sigma }}$$であり、粒子の速度が光速に比して大きくない限り $p=mv$ によって速度の不確定度に直しても支障はないと考えられるので
$$\Delta v\geq {{\hbar }\over {2m\sigma }}$$が得られる。従って、$\sigma _t$ の増加の速さが (\ref{eq:kakusanyasa}) 式に一致するのはうなずける。
$\sigma $ を原子のサイズ
$$\sigma =10^{-10} m$$質量 $m$ を電子の質量
$$m=9.1\times 10^{-31} kg$$とすると
$${{\hbar }\over {2m\sigma }}=6.0\times 10^5 m\cdot s^{-1}$$となる。つまり秒速六百キロ！前回はこの速さに驚いてしまい、どこかに間違いがあったのではと思ったのだが、そんなことはなさそうである。
実際、陽子からのクーロン力のもとで電子が半径 $10^{-10} m$ の円運動をしているとして、その速さをニュートン力学に従って計算すると
$$v=1.5\times 10^6 m\cdot s^{-1}$$となる。すなわち、その大きさに私は思わず驚いてしまったけれども、上で求めた
$${{\hbar }\over {2m\sigma }}$$の値は、ニュートン力学の見地から見ても、ごく自然なものだと言える。私の驚きは、単に無知が故のものだったようである。
さて今回は、ニュートンの「力と加速度」に関する法則が（ある妥当な条件下では）量子力学からも導くことができること、その意味で二つの力学が一致することを示したい。もっと厳密な証明は次回にまわすことにして、今回はかなり直観的な証明を紹介する。数学を好む人の中には、つまり厳密性を非常に好む人の中には、このような証明を忌み嫌う人がきっと相当数いらっしゃる。何を隠そう、かく言う私自身が、二十歳前まではそのような感覚の持ち主だった。ただ、今にして思うと、もう少し、何と言うか、いい加減な性格であったなら、見えるものも違っていたろうと、思わないでもない。とにかく確かなことは、こういう証明は本質的な部分だけをつまみ出し見せてくれる、その為か読んでいて実に楽しいということである。アイデイアの出処は「ファインマン物理学」である。「量子力学」の巻の 僅か 2 ページに書いてあることを何倍かに増幅した。その分、楽しさを半減させることになったかもしれない。
粒子の運動する範囲を平面に制限して考えても本質は説明でき、何より図が描きやすい。従って $(x, y)$ を座標とする二次元ユークリッド空間を考え、その上で定義された関数 $\psi (x, y)$ が各々粒子の状態を表すとして話を進める。もちろん、運動量の $x, y$ 成分を表す作用素はそれぞれ
$${\hat p}_x={{\hbar }\over i}\partial _x, \hskip 2mm {\hat p}_y={{\hbar }\over i}\partial _y$$座標 $x, y$ を表す作用素はそれぞれ
$${\hat x}\psi (x, y)=x\psi (x, y), \hskip 2mm {\hat y}\psi (x, y)=y\psi (x, y)$$である。
図の斜線部の領域はポテンシャル $V$ が存在する領域を指す。但し $V$ は $y$ のみの関数で
$$\partial V(y)/\partial y < 0$$を仮定する。つまり、ニュートン力学の言葉で言うなら、この領域に粒子が入ると上向きに
$$-\partial V(y)/\partial y$$だけの力を受ける。
そこでこの領域の左側から $x$ 軸の正の方向へ
$${\bf p}_0=(p, 0), \hskip 2mm p=mv$$の運動量でもって入射する粒子を考える。もちろん $m$ は質量、$v$ は速さである。まずニュートン力学に従って、この粒子のその後の運動を追ってみる：
この粒子は斜線部の領域を通過する間に上向きの力を受け、$y$ 方向の速度を、つまり $y$ 方向の運動量を獲得する。従って通過後の運動量は
$${\bf p}_1=(p, q)$$の形をしているはず。力を受けている時間間隔は、斜線部の領域の幅を $w$ で表すと $w/v$ であり、よって
$$q=-{{\partial V}\over {\partial y}}\times {w\over v}$$である。$V(y)$ は $y$ の関数であり一般には $\partial V/\partial y$ も $y$ に依存して変化する。しかしここでは「上向きにかかる力」だけに着目したいので、そのような変化には注意を払わない。気持ちが悪いようであれば、$V(y)$ は一次関数であるとして $\partial V/\partial y$ が定数であると仮定すればよい。
よって、ポテンシャルを通過後、粒子は斜め上方向へ運動する。進行方向の変化を $\delta \theta $ で表すと
\begin{equation} p\delta \theta =q \label{eq:pdeltathe} \end{equation}である。但し、$V(y)$ の勾配が十分小さいと仮定し、従って粒子が受ける力も弱くて、$q$ が $p$ に比して十分小さい状況で考えた。
(\ref{eq:pdeltathe}) により
\begin{equation} \delta \theta ={q\over p}=-{{\partial V}\over {\partial y}}{w\over {vp}} \label{eq:newtonkara} \end{equation}が得られる。以上が、ポテンシャル $V$ からの力を受けて粒子がどの程度進行方向を変えるかという点についての、ニュートン力学から得られる結論である。同じ結論が果たして量子力学からも得られるだろうか？
入射粒子の運動量は
$${\bf p}_0=(p, 0)$$である。よってこの入射粒子の状態を表す関数を $\psi _0(x, y)$ で表すと、これは二つの作用素
$${\hat p}_x, \hskip 2mm {\hat p}_y$$の、それぞれ固有値 $p, \ 0$ に属する固有関数でなくてはいけない。つまり、定数倍を除いて、
\begin{equation} \psi _0(x, y)=e^{ipx/{\hbar }} \label{eq:psixyeipx} \end{equation}である。
一方、状態の時間的変化がシュレデインガー方程式
$$i{\hbar }{d\over {dt}}\psi (t)={\hat H}\psi (t)$$に従うことを、既にわれわれは知っている。但し
$${\hat H}={1\over {2m}}\left( {\hat p}_x^2+{\hat p}_y^2 \right) +V(y)$$である。
入射粒子の状態 (\ref{eq:psixyeipx})
$$\psi _0(x, y)=e^{ipx/{\hbar }}$$に対しては、この領域では $V(y)=0$ だから、
$${\hat H}\psi _0={1\over {2m}}\left( {\hat p}_x^2+{\hat p}_y^2 \right) \psi _0={1\over {2m}}p^2\psi _0$$である。従って、入射粒子の状態ベクトルは時間的変化まで込めると
$$\psi _0(t, x, y)=e^{-i\left[ (p^2/2m)t -px\right] /{\hbar }}$$と書ける。
すなわち、時間的には一秒あたり
\begin{equation} \nu _0={1\over {2\pi \hbar }}{{p^2}\over {2m}} \label{eq:nu0} \end{equation}回振動し、空間的には $x$ 方向に波長
\begin{equation} \lambda _0={h\over p} \label{eq:lambda0} \end{equation}で振動する波である。
次に、ポテンシャルが存在する斜線部の領域での状態ベクトルの形を考えよう：この領域全体で考えるのは、$V(y)$ が変化するので難しい。そこで、図の $V_a$ を記入した近辺（図の経路 $a$ を含むある程度狭い領域）と、$V_b$ を記入した近辺（経路 $b$ を含むある程度狭い領域）とを別々に考える。
まず、経路 $a$ の近辺を考える。先に仮定したように $V(y)$ の変化の勾配は緩やかである、従ってこの近辺では $V(y)$ の値は定数だとしてよい。その定数を $V_a$ で表す。また、ポテンシャルが定数だから、この領域で運動量を変化させる要因は何もない。従って、状態ベクトルのこの領域での形を $\psi _a$ で表すならば（定数倍を除いて）
$$\psi _a=e^{i{\bf p}_a\cdot {\bf x}/{\hbar }}$$と書けるはず。但し ${\bf p}_a$ はこの領域での運動量を表す定ベクトル、${\bf x}$ は $(x, y)$ を示す略記号であり、$\cdot $ は内積を表す。
更に
$${\hat H}\psi _a=\left[ {1\over {2m}}\left( {\hat p}_x^2+{\hat p}_y^2 \right) +V(y)\right] \psi _a=\left[ {{p_a^2}\over {2m}}+V_a\right] \psi _a$$である。但し、ベクトル ${\bf p}_a$ の長さを $p_a$ で表した。よって $\psi _a$ は ${\hat H}$ の固有関数であり、従って時間的な変化も込めると
$$\psi _a(t, x, y)=e^{-i\left[ \left( (p_a^2/2m)+V_a\right) t -{\bf p}_a\cdot {\bf x}\right] /{\hbar }}$$と書ける。
従って、この領域での波の波長を $\lambda _a$ で表すなら
\begin{equation} \lambda _a={h\over {p_a}} \label{eq:lambdaa} \end{equation}である。一秒あたりの振動数は
\begin{equation} \nu _a={1\over {2\pi \hbar }}\left( {{p_a^2}\over {2m}}+V_a\right) \label{eq:nua} \end{equation}である。
経路 $b$ に沿う領域でもまったく同じように考えると、状態ベクトルのこの領域での形が
$$\psi _b(t, x, y)=e^{-i\left[ \left( (p_b^2/2m)+V_b\right) t -{\bf p}_b\cdot {\bf x}\right] /{\hbar }}$$であることがわかる。もちろん、この領域での $V(y)$ の値を定数 $V_b$ で近似し、${\bf p}_b$ はこの領域での運動量を表す定ベクトル、$p_b$ はその長さとした。よってこの領域での波の波長は
\begin{equation} \lambda _b={h\over {p_b}} \label{eq:lambdab} \end{equation}である。振動数は
\begin{equation} \nu _b={1\over {2\pi \hbar }}\left( {{p_b^2}\over {2m}}+V_b\right) \label{eq:nub} \end{equation}である。
さて、ニュートン力学によれば粒子の経路は上側にそれる。従って、量子力学を使っても
\begin{equation} \lambda _a > \lambda _b \label{eq:lamagalambb} \end{equation}が証明できると予想される。しかも、もしこの差がどの程度かがわかれば、波の進む向きがどの程度上側にそれるかも知れるだろう。その角度 $\delta \theta $ を求めて、先にニュートン力学から出した (\ref{eq:newtonkara}) 式
\begin{equation} \delta \theta =-{{\partial V}\over {\partial y}}{w\over {vp}} \label{eq:newtonkara-2} \end{equation}と一致すれば、（ポテンシャルの変化が緩やかであるという状況下でだが）これら二つの力学の一致を結論できたことになる。
$V(y)$ は時間には依存しない。すなわちこの粒子が置かれている環境は時間的にはまったく変化しない。従って粒子の状態ベクトルの時間的な振動数も終始一定で不変のはずである。これは、(\ref{eq:nu0})、(\ref{eq:nua})、(\ref{eq:nub}) により
$${{p^2}\over {2m}}={{p_a^2}\over {2m}}+V_a={{p_b^2}\over {2m}}+V_b$$を意味する（いわゆる、エネルギーの保存を意味する）。これからすぐに
$${p\over m}(p_b-p_a)=V_a-V_b$$が結論できる。但し、微小量の $2$ 乗以上は無視した。この関係を (\ref{eq:lambda0})、(\ref{eq:lambdaa})、(\ref{eq:lambdab}) を使って波長の関係に焼き直すと
$${p\over m}\left( {h\over {\lambda _b}}-{h\over {\lambda _a}}\right) =V_a-V_b$$であり、$V_a > V_b$ だから先に (\ref{eq:lamagalambb}) で予想したように、
$$\lambda _a > \lambda _b$$である。
図の $\delta x$ を求めることができれば
$$\delta x=D\delta \theta $$だから、$\delta \theta $ が求まる。但し $D$ は波の広がりを表す。図では $w$ がちょうど $\lambda _b$ の二倍に一致する場合を描いたが、その場合には $\lambda _a$ の二倍は $w$ を超えているはずである。その差が $\delta x$ に等しい。
一般の場合には
$$\delta x={w\over {\lambda _b}}\lambda _a-w$$であり、整理すると
$$\delta x={w\over v}{1\over p}(V_a-V_b)$$が得られる。何度も繰り返すが、微小量の二次以上は無視した。ここで
$$V_b-V_a={{\partial V}\over {\partial y}}D$$ $$D\delta \theta =\delta x$$を代入すると
$$\delta \theta =-{w\over v}{1\over p}{{\partial V}\over {\partial y}}$$となる。この結果はニュートン力学から得られた (\ref{eq:newtonkara-2}) 式と一致している。
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