以前書いたが、昨年暮れ、七十にして一念発起し、自動車学校へ入学した。仮免前に二回、仮免取得後二回、公道での最終試験で一回、合わせて五回の延長教習で、計三万ほどの追加料金を払ったが、四月末には卒業し、公安委員会の試験も一発合格で、今では、自分で言うのも何だが、同じ年代のお爺さんには負けない、上手の域に入った、と内心思っている。
最近は、三週ごとの家内の病院通いの、送迎の任に当たるようになっている。自宅から京都市内の病院まで、片道一時間余りの距離だが、途中にちょっとしたヘアピンカーブが続く峠道もあり、ハンドルを握っていてなかなか楽しい。ただ、如何せん、助手席から小言が盛んに飛んできて、折角のいい気分に水を差されることが多い。彼女のブレーキのタイミングと私のそれとが違うらしく、『ブレーキ！』という叫び声を聞くたびに、何か差し迫った危険が生じたのかと、あわてふためいてブレーキを踏む。後ろの車にはおそらくいい迷惑だと思う。
そういう特殊事情もあって、その上、上手だと言いながら、やはりまだ高齢者マークの隣に初心者マークも付けて走る新米ドライバーであり、重責を果たして家へ帰ると、正直、かなり疲れを感じる。しかも、こちらは歳のせいだと思うが、一旦疲れるとなかなか抜けず、一日二日はだらだらと過ごしてしまう。実は今日もそういう日で、気分転換に少し違ったことを書こうと思った：
いつ頃から始まったことなのか知らないが、子どもたちや学生に数学の話をする時には、数学の範囲を逸脱してはいけないという暗黙の了解が、教師の間で広く行き渡っているように思う。例えば微分積分の話は、大概の教科書、あるいは多くの学校現場において、曲線に引いた接線の傾き、図形の面積の最大最小、色々な計算規則や公式、そういった話題に終始する。この分野の発展の歴史を眺めてみると、数学者が仮にそのような題材だけを追ってきたとしても、現在ある微分積分学の体系はそっくり見い出されていたであろうと、相当な確信をもって断言できる。ただ、その発展を助けた事柄、あるいはそれが生み出した事柄は、数学以外の分野にも広く拡がっていて、しかも、人々の自然観を根本から変えたものも含まれる。微積分一つを取ってみても、それを通して子どもたちや学生に見せることのできる視界は、限りなく拡がっていると感じる。そこから敢えて目をそらすことを、世の数学の先生方がもししているのであれば、子どもたちの笑顔や感動に接する機会をむざむざ逃しているという意味でも、非常に残念なことだと思う。
これは単なる個人的経験だが、誰かの話を聞く時、そこから見えて来るものが多い程、そしてまた、自身の興味や経験を基にして想像や思索を羽ばたかせる余地が、広く深く開けていればいる程、聞いていて浮き浮きと楽しい。逆に、数学の話にしても、例えば問題集の問題を解いて終わりで、それ以後、われわれの想像や遊び心をかき立てるものが何もない場合は、聞いていて気持ちが高鳴ることはない。
もちろん、いわゆる数学の問題と呼ばれるものを解くことに、この上ない喜びを感じる人がいる、しかも沢山いることは、私もよく知っている。学校の入学試験の類はもちろん、私の家内が時々一生懸命になっている数学パズルなどである。更にまた、例えば四色問題、つい最近まで難問中の難問として君臨し続けてきた問題だが、アマチュアから玄人まで、多くの数学者がこれに挑戦してきた。しかし、この問題、あるいはその証明が他の多くの事柄に関連していて、何らかの意味で実り多い沃野へわれわれを導いてくれることは - こう断言するのはかなり勇気のいることだが - おそらくないと私には思える。
もちろん、そのように孤立した問題であっても、私の家内も含めて、そこに興味や関心を感じる人がいるということは、数学としての、あるいは教育素材としての存在意義はある。
ところで、微分積分学が完成したのは、「無限小」という数（概念と言う方がいいかもしれない）を人々が自由に使いこなせるようになった時だったと言える。敢えて言うなら、「どんな正数よりも小さい、ゼロでない正数」を意味するのだが、もちろん、そんな数は現実には存在しない。現実に存在しない数を使いこなすのは難しいはずで、実際そこに至るまでに人類は二千年を要した。しかしそれを成し遂げた時の褒美は大きく、いわゆる近代科学革命を成就し、月より上の天上界と、月より下の地上界の区別を、人々の意識から追い払うことができた。
また、物体の持つエネルギー $E$ とその質量 $m$ の間の等式
$$E=mc^2$$は、知らぬ人がいないほど有名である。しかしその証明に使われる数学が、ピタゴラスの定理、つまり、直角三角形の直角を挟む二辺の平方和が斜辺の平方に等しいという、あの三平方の定理だけだということを知っている人は、きっと、それほど多くない。しかし、実際そうであって、この有名な等式の理解に、難しい数学は一切必要ない。必要なのは、自分の常識が限られた経験から形成されたものであるかもしれない、その結果ひょっとしたら重大な間違いを含んでいるかもしれない、そんな可能性を認める、素直な気持ちだけである。
この等式は有名なだけでなく、極めて重大な意味を持つ。われわれ人類の祖先が初めて火を使うようになったのはホモ・エレクトスの時代であり、百五十万年前の焚火の跡がアジアとアフリカで確認されている。おそらく、雷か何かで起きた山火事に、恐る恐る近づいた冒険好きの若者が、燃えさしを持ち帰ったのが始まりであろう。二百万年経った1905 年に、アインシュタインによって発見されたこの等式 $E=mc^2$ は、言うなれば新たな火を、われわれ人類にもたらしたと言える。われわれが慣れ親しんできた火は、水をかければ消える。しかし $E=mc^2$ によって燃え出す火は、一旦ついてしまうと、水をかけて簡単に消せるような代物ではない。古くからの火は電磁気の力に関係しているが、新たな火は、原子の奥の原子核の内部で働いている、われわれにとってまったく不慣れな、非常に強い力に関係している。福島第一原発の敷地内に、今現在も増え続ける巨大なタンクの群れは、その差を如実に物語っている。
物理学に「等価原理」と呼ばれる、知る人ぞ知る面白い原理がある。発見者は再びアインシュタインだが、内容は簡単で、今すぐ誰でもその正しさを確認できる。重いものも軽いものも、石でできていようが紙でできていようが、とがっていても丸くても、同じ時に同じ高さから手放せば、すべて同時に地面に到達するという内容である。『重いものが速く落ちて、軽いものより先に地面に達するはずだ』と疑うのであれば、実際に確かめてみればよい。もちろんテイッシュと石ころでは、テイッシュはひらひらと、石ころはさっと落ちる。しかしそれは、テイッシュは石ころより、空気の抵抗力をより受けやすい形をしているからであり、それを減らす工夫をして、例えばテイッシュを小さく丸めるなどして落とせば、二つは同時に地面を打つ。つまり、重力が物体に与える加速度は、その物体の質量、組成、形、等々によらず同じである、という事実を「等価原理」と呼ぶ。
われわれが「重力」を感じるのは、身の回りの物が「落ちる」からである。つまみ損ねたコインが、加速しながら下方に向かって落ちる時、われわれはそれを重力のせいにする。もし、手から放したものがすべて、そのまま、落ちることなく、その位置に浮かび続けるのであれば、われわれは「重力」の存在を感じようがない。
等価原理によればそのような状況を実現することは、少なくとも頭の中に描くことは、容易にできる。エレベーターのケーブルが切断され、箱全体が落下を始めたと想像すればよい。地面に立っている人（A 君と呼ぶ）から見れば、エレベーターの箱と、その中にいる人（B 君と呼ぶ）とは同じ加速度を得て落下する。従って B 君の足が床からの反発を感じることは一切ないはずである。また B 君が手にコインを持ち静かに手放したとすると、A 君から見れば B 君とコインは同じ加速度を得て落下する。従って、B 君からコインを見れば、コインは目の前にじっと動かず浮いているはずである。よって、B 君が地球の重力を感じることは一切ない。つまり、時間的空間的にある程度狭い領域の中では、適当な運動状態の観測者にとって重力は消えてしまう。この性質は重力だけに特有な性質であり、他の力、例えば風力には等価原理はない。実際帆の形を変えるだけでヨットは速くも遅くもなる。
観測者の運動状態によって、現れたり消えたりするのが重力である。従って、観測者間の物理量の変換が、重力を記述する際の重要な数学的道具になる。その変換は、アインシュタインがその必要性を認識する少し前に、ガウスやリーマンといった幾何学者によって発見されていた。アインシュタインはその論理体系を使って、ニュートンの万有引力の法則を精密化し、重力の幾何学的理論を作り上げることができた。
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