三次元ユークリッド空間 ${\bf R}^3$ 上で定義された複素数を値に取る関数 $\psi (x, y, z)$ で、各変数に関して何度でも微分可能、しかもその絶対値が遠方で急速に減少し $0$ に近づくものの全体を $S$ と置く。$S$ は複素数体上のベクトル空間だが、$S$ 内の任意の $\psi (x, y, z), \phi (x, y, z) $ に対し
$$(\psi , \phi )=\int _{{\bf R}^3}\psi (x, y, z)\phi (x, y, z)^*dxdydz$$と置く。但し $\alpha ^*$ は複素数 $\alpha $ の複素共役を表す。$\psi , \phi $ 両方ともに遠方で急速に減少する関数だから、積分が収束し有限値が得られることは心配ない。また
$$(\psi _1+\psi _2, \phi )=(\psi _1, \phi )+(\psi _2, \phi ), \hskip 2mm (\alpha \psi , \phi )=\alpha (\psi , \phi )$$ $$(\psi , \psi )\geq 0, \hskip 2mm (\psi , \psi )=0 \Leftrightarrow \psi =0$$ $$(\phi , \psi )=(\psi , \phi )^*$$であり、従ってこの $(\cdot , \cdot )$ は $S$ での「内積」である。
$S$ から $S$ への写像 $A$ が
$$A(\psi +\phi )=A\psi +A\phi , \hskip 2mm A(\alpha \psi )=\alpha A\psi $$を、すべての $\psi , \phi $、それに複素数 $\alpha $ に対して満たす時、線型作用素であるという。更に、すべての $\psi , \phi $ に対して
$$(A\psi , \phi )=(\psi , A\phi )$$を満たす時、「自己共役」であるという。
例えば
$$A: \psi (x, y, z)\rightarrow i\partial _x\psi (x, y, z)$$は自己共役である（$\partial _x$ は $x$ についての偏微分を表す）。何故ならば
\begin{eqnarray*} &&(i\partial _x\psi , \phi )\\ &&=i\int \partial _x\psi (x, y, z)\times \phi (x, y, z)^*dxdydz\\ &&=i\left( \Bigl[ \psi (x, y, z)\phi (x, y, z)\Bigr] _{x=-\infty }^{x=+\infty }-\int \psi (x, y, z)\times \partial _x\phi (x, y, z)^*dxdydz\right) \\ &&=\int \psi (x, y, z)\times \left( i\partial _x\phi (x, y, z)\right) ^*dxdydz\\ &&=(\psi , i\partial _x\phi ) \end{eqnarray*}だから。但し、一行目から二行目に移る際には、変数 $x$ に関する部分積分を使った。ここで扱っている関数はすべて遠方で急速に $0$ に近づくことに注意されたし。
$$A: \psi (x, y, z)\rightarrow x\psi (x, y, z)$$も自己共役である。これはほとんど明らか。
自己共役な作用素の固有値は必ず実数である。この証明は簡単である：$\alpha $ を固有値としてそれに属する固有ベクトルを $\psi $ とすれば
$$A\psi =\alpha \psi $$だが
$$(\alpha \psi , \psi )=(A\psi , \psi )=(\psi , A\psi )=(\psi , \alpha \psi )$$となって、
$$\alpha (\psi , \psi )=\alpha ^*(\psi , \psi )$$が従う。$\psi \not= 0$ だから
$$(\psi , \psi )\not= 0$$であり、よって $\alpha =\alpha ^*$ でなくてはいけない。
また自己共役な作用素の相異なる固有値に属する固有ベクトルは互いに直交する。つまり
$$A\psi =\alpha \psi , \hskip 2mm A\phi =\beta \phi $$であって、$\alpha \not= \beta $ であるなら
$$(\psi , \phi )=0$$である。何故ならば
$$(\alpha -\beta )(\psi , \phi )=(A\psi , \phi )-(\psi , A\phi )=0$$だから。
一つの粒子を扱う時の量子力学の公理は、次の (I)〜(III) のようにまとめることができる：
(I) 粒子の物理的な状態は、すべて何らかの $\psi \in S$ によって表される。その意味で、各 $\psi \in S$ は「状態ベクトル」と呼ばれる。その意味は以下の通り；
(II) 任意の物理量（運動量や位置など）は、状態ベクトルに作用する自己共役な作用素で表される。物理量を測定する際に現れる測定値は、対応する作用素の固有値に一致する。一つの固有値に属する固有ベクトルは、測定値としてその固有値が得られる時の粒子の状態（固有状態と呼ぶ）を表す。
(III) $A$ をある物理量を表す作用素とし、$\alpha $ をその固有値、$\phi$ を $\alpha $ に属する固有ベクトルとする。この時、任意の状態ベクトル $\psi $ に対し
$$\vert (\psi , \phi )\vert ^2$$が、「$\psi $ の状態にある粒子について物理量 $A$ を測定する際、測定値が $\alpha $ である確率」を表す。但し、$\psi $ や $\phi $ としては、適当に定数倍して $(\psi , \psi )=1$、あるいは $(\phi , \phi )=1$ であるものを使う。
$\psi \in S$ を考える（但し $(\psi , \psi )=1$ とする）。$\psi $ が粒子の「状態」を表すという意味を、公理に従ってもう少し考えてみる。$\psi $ の状態にある粒子に対し、物理量 $A$ を測定する際、もし $\psi $ が $A$ の固有値 $\alpha $ に属する固有ベクトルであるなら、上の公理の三番目によって常に測定値 $\alpha $ が得られる。しかし当然、$\psi $ が $A$ の固有ベクトルでない場合もある。その場合は、上の公理によれば、いつでも決まった測定値が得られることにはならない。逆に言えば、そのような状態も一つの物理的状態として許容することを、上の公理は認めていることになる。巨視的な物体のみを見てきたわれわれの経験では、「状態」と言えば必ず決まった測定値によって指定されるものであった。例えば、『大谷さんの投げたボールは、今、どこそこの位置を、これこれの速度で通過した』という具合に。でも微視的な粒子を扱う力学では、そのような状態だけでは足りないことをこの公理は示唆している。では、新しく加わる状態とはどんなものだろうか。
$A$ の固有値を全部集めて
$$\alpha _1, \hskip 2mm \alpha _2, \hskip 2mm \alpha _3, \hskip 2mm \cdots $$とし、それぞれに属する固有ベクトルを
$$\phi _1, \hskip 2mm \phi _2, \hskip 2mm \phi _3, \hskip 2mm \cdots $$とする。但し適当に定数倍して $(\phi _i, \phi _i)=1$ であるようにしておく。
上で証明したように、相異なる固有値に属する固有ベクトルは直交するから、$\phi _i$ は互いに直交するとしてよい。ここでもし $S$ が有限次元であれば、$\phi _i$ は $S$ の基底になる。つまり $\psi \in S$ が何であっても
\begin{equation} \psi =c_1\phi _1+c_2\phi _2+c_3\phi _3+\cdots \label{eq:psinobunkatu} \end{equation}となる複素数 $c_i$ が存在する。しかし実は $S$ は有限次元ではない。従って、厳密には、離散的な和ではなく積分に置き換える必要がある。ただ、少なくとも直観的な描像は間違っていないので、上の離散的な展開式をそのまま使って推論を続ける。
$\phi _i$ は
$$(\phi _i, \phi _j)=\cases{ 1 & $i=j$ の時 \cr 0 & $i\not= j$ の時} $$を満たすので、(\ref{eq:psinobunkatu}) 式から
$$(\psi , \phi _i)=c_i$$が導かれる。よって、上の公理の三番目により、$\vert c_i\vert ^2$ は「$\psi $ の状態にある粒子について物理量 $A$ を測定する際、測定値が $\alpha _i$ である確率」を表す。つまり、$\psi $ の状態にある粒子を物理量 $A$ を測る測定装置に通すと色々な測定値が現れるのだが、$\vert c_i\vert ^2$ の確率で $\alpha _i$ が現れる、ということになる。
「確率」という言葉を使っている以上、『どの $\alpha _i$ が現れるかをあらかじめ予測することは不可能である』という考え方が、その背景にある。測定装置との相互作用も一つの物理過程に他ならない、それにも関わらず、生じる結果を確率的にしか予言できない理論は、物理理論としては不完全であると考えることもできる。実際そのように主張し、もっと完全な理論を探す努力を続けた著名な物理学者もいたのだが、現在までのところ誰も成功していない。
量子力学で言う「状態」というのはそのような状態である。(\ref{eq:psinobunkatu}) 式
$$\psi =c_1\phi _1+c_2\phi _2+c_3\phi _3+\cdots $$のように、色々な固有状態の和で表される状態を、重ね合わせの状態と呼ぶ。その状態で得られる測定値の平均値（期待値）は
$$\sum _i\vert c_i\vert ^2\alpha _i=(A\psi , \psi )$$に一致する。
さて、以前説明したことだが、われわれが波だと考えている光も、例えば光電効果のような現象では粒子としての側面を見せる。逆に粒子として考えてきた電子なども、時として波としての側面を見せる。これら二つの側面は、アインシュタイン-ド・ブロイの関係式
$$\nu=E/h, \hskip 3mm \lambda =h/p$$によって結び付けられている。ここで $\nu $ と $\lambda $ は波としての振動数と波長をそれぞれ表し、$E$ と $p$ は粒子としてのエネルギーと運動量を表す。9月17日の記事で見たように、この関係式を使うと、一つの粒子の位置を正確に決めると運動量が不確定になることがわかった。例えば $x$ 座標の不確定の程度を $\Delta x$ で表し、運動量の $x$ 成分の不確定の程度を $\Delta p_x$ で表すならば、
$$\Delta x\cdot \Delta p_x\approx h$$が成り立つことが結論された。$y, z$ 座標についても同様である。この関係をハイゼンベルグの不確定性関係と呼んだが、位置や運動量などの物理量を線型空間 $S$ に作用する作用素で表すことによって、この不確定性関係を導いてみよう：
粒子の位置座標 $x$ は作用素
$$\psi (x, y, z)\rightarrow x\psi (x, y, z)$$で表す。この作用素も記号 $x$ で書き表す。運動量の $x$ 成分 $p_x$ は作用素
$$\psi (x, y, z)\rightarrow {h\over {2\pi i}}\partial _x\psi (x, y, z)$$で表す。この作用素も $p_x$ で書き表す。
ところで任意の作用素 $A, B$ に対し、その「交換関係」 $[A, B]$ を
$$[A, B]=AB-BA$$によって定める。但し、$AB$ とは $B$ に引き続いて $A$ を作用させる作用を表す。つまり任意の $\psi \in S$ に対し
$$[A, B]\psi =A(B\psi )-B(A\psi )$$である。特に
$$[x, p_x]\psi =i{h\over {2\pi }}\psi $$である。今後この関係を、$\psi $ を略して
\begin{equation} [x, p_x]=i{h\over {2\pi }} \label{eq:xpxkoukan} \end{equation}で表しても、誤解は生じないであろう。
任意のベクトル $\psi \in S$ に対し、$\psi $ の状態にある粒子について物理量 $A$ を測定する時、得られる測定値の平均値を $\langle A\rangle $ で表すと
$$\langle A\rangle =(A\psi , \psi )$$であることは既に示した。その平均値からの測定値のばらつきを表す指標として、標準偏差を採用し $\Delta A$ であらわすと
$$\Delta A={\sqrt {\langle (A-\langle A\rangle )^2\rangle }}$$である。
以下で、二つの任意の物理量 $A, B$ に対し
\begin{equation} \Delta A\cdot \Delta B\geq {1\over 2}\vert \langle -i[A, B]\rangle \vert \label{eq:deltaAdeltaB} \end{equation}が成り立つことを示す。もしこれが証明できれば
$$A=x, \hskip 2mm B=p_x$$と置いて
$$\Delta x\cdot \Delta p_x\geq {h\over {4\pi }}$$が得られる。これはハイゼンベルグの不確定性関係（最も精密な形の）に他ならない。
以下は (\ref{eq:deltaAdeltaB}) 式の証明である：
$$A_1=A-\langle A\rangle , \hskip 3mm B_1=B-\langle B\rangle $$と置けば、
$$\langle A_1\rangle =\langle B_1\rangle =0$$であり
$$\Delta A=\Delta A_1, \hskip 2mm \Delta B=\Delta B_1, \hskip 2mm [A, B]=[A_1, B_1]$$である。従って (\ref{eq:deltaAdeltaB}) 式を証明するのに最初から
$$\langle A\rangle =\langle B\rangle =0$$を仮定してよい。
$\lambda $ を任意の実数とし、作用素
$$D=i\lambda A+B$$を導入する。後の便宜のために
$$C=-i[A, B]$$と置く。$i$ があるお陰で $C$ は自己共役である。すると
\begin{eqnarray*} 0&\leq &(D\psi , D\psi ) \\ &=&(i\lambda A\psi +B\psi , i\lambda A\psi +B\psi ) \\ &=&\lambda ^2(A\psi , A\psi )+i\lambda (A\psi , B\psi )-i\lambda (B\psi , A\psi )+(B\psi , B\psi )\\ &=&\lambda ^2(A^2\psi , \psi )-i\lambda ([A, B]\psi , \psi )+(B^2\psi , \psi )\\ &=&\lambda ^2(\Delta A)^2+\lambda \langle C\rangle +(\Delta B)^2 \end{eqnarray*}これがすべての実数 $\lambda $ に対して非負であることから、不等式
$$\langle C\rangle ^2-4(\Delta A)^2(\Delta B)^2\leq 0$$が得られる。よって
$$\Delta A\cdot \Delta B\geq {1\over 2}\vert \langle C\rangle \vert ={1\over 2}\vert \langle -i[A, B]\rangle \vert $$である。これは目指していた (\ref{eq:deltaAdeltaB}) に他ならない。
目次を表示