復習を少し：三次元ユークリッド空間 ${\bf R}^3$ 上で定義された複素数を値に取る関数 $\psi (x, y, z)$ で、点 $(x, y, z)$ が原点から遠ざかるにつれて $\vert \psi (x, y, z)\vert $ が急速に $0$ に近づくものの全体を $S$ と置く。$S$ は複素数体上の線型空間であり、内積を持つ。但し、$\psi , \phi \in S$ の内積は
$$(\psi , \phi )=\int _{{\bf R}^3}\psi (x, y, z)\phi (x, y, z)^*dxdydz$$によって定義する。
量子力学では、一個の粒子の状態はこの線型空間内の各ベクトルで表され、その粒子の任意の物理量はこの線型空間に作用する自己共役作用素で表される。$\psi $ の状態にある粒子に対し、自己共役作用素 $A$ が表す物理量を測る時、$\psi $ が $A$ の固有ベクトルでない限り、測定のたびごとに違った測定値が得られる。ただそれら測定値の平均値は
$$(A\psi , \psi )$$に一致する。
特に $A=x$ の場合、つまり粒子の $x$ 座標を測定する場合の平均値は
$$(x\psi , \psi )=\int _{{\bf R}^3}x\vert \psi (x, y, z)\vert ^2dxdydz$$である。$y$ 座標でも $z$ 座標でも同様である。従って任意の領域 $D$ に対し
$$\int _D\vert \psi (x, y, z)\vert ^2dxdydz$$は「その粒子が領域 $D$ 内に見いだされる確率」を表すと解釈できる。従ってもちろん
$$\int _{{\bf R}^3}\vert \psi (x, y, z)\vert ^2dxdydz=1$$でなくてはいけないが、これは等式
\begin{equation} (\psi , \psi )=1 \label{eq:zenkakuritu} \end{equation}に他ならない。
つまり (\ref{eq:zenkakuritu}) の条件の下で
$$\vert \psi (x, y, z)\vert ^2$$は、粒子の存在を表す確率密度である。
ところで、状態は時間が経過するに連れて一般に変化する。従って、時間を $t$ で表すなら、「$t$ に依存して変化する状態ベクトル」という意味で $\psi (t)$ と書くべきである。この $\psi (t)$ が、シュレデインガー方程式
$$i{\hbar }{d\over {dt}}\psi (t)=H\psi (t)$$に従って変化することを前回述べた。但し ${\hbar }=h/(2\pi )$ と置き、$H$ はエネルギーを表す作用素である。
復習はこれくらいしにして、今回はこのシュレデインガー方程式を使う練習も兼ねて、波束の拡散を計算してみる。最初、粒子がある一点の周りの狭い領域だけで見出されたとしても、時間がたつにつれて徐々に広い範囲で見出されるようになると思われる。すなわち一点の周りに鋭いピークを持つ確率密度であったとしても、時間の経過とともにピークが徐々に穏やかなものになると考えられる。この様子を計算してみよう。
これまで通りの三次元でやると記号が複雑になって見にくくなる。本質的なことだけを示せば十分なので、粒子の運動の自由度を一次元の数直線上に限定する。従って状態ベクトルは一変数関数 $\psi (x)$ であり、確率密度は
$$\vert \psi (x)\vert ^2$$で与えられる。当然
\begin{equation} \int _{-\infty }^{\infty }\vert \psi (x)\vert ^2dx=1 \label{eq:ichikakuri} \end{equation}を仮定する。
高い確率で原点 $x=0$ の周りで見いだされる状態として
\begin{equation} \psi _G(x)=(2\pi \sigma ^2)^{-1/4}e^{-x^2/4\sigma ^2} \label{eq:gausupsi} \end{equation}を考える。この状態ベクトルの確率密度は
$$\vert \psi _G(x)\vert ^2=(2\pi \sigma ^2)^{-1/2}e^{-x^2/2\sigma ^2}$$であり、言わずと知れた正規分布（ガウス分布）の密度関数である。$\sigma $ は標準偏差であり
$$-\sigma < x < +\sigma $$の範囲内でこの粒子が見いだされる確率は $70 \%$ 近くになる。
エネルギーとしては運動エネルギーだけを考えることにして、作用素は
$${\hat H}={{{\hat p}^2}\over {2m}}$$である。但し、以下、作用素を表すためにハットの記号を使う。例えば運動量を表す作用素は
$${\hat p}: \phi (x)\rightarrow {{\hbar }\over i}{d\over {dx}}\phi (x)$$位置を表す作用素は
$${\hat x}: \phi (x)\rightarrow x\phi (x)$$という具合。$p$ や $x$ は単なる数を表すために取っておきたい。エネルギーの作用素を具体的に書いておくと
$${\hat H}={{{\hat p}^2}\over {2m}}=-{{\hbar ^2}\over {2m}}{{d^2}\over {dx^2}}$$となる。
任意の状態ベクトル $\psi $ はシュレデインガー方程式
$$i{\hbar }{d\over {dt}}\psi (t)={\hat H}\psi (t)$$に従って時間経過とともに変化する。$t=0$ での粒子が (\ref{eq:gausupsi}) 式の $\psi _G$ の状態にあったとして、シュレデインガー方程式に従ってその後の時刻 $t$ での状態ベクトルを求めたい。つまり
$$\psi (0, x)=(2\pi \sigma ^2)^{-1/4}e^{-x^2/4\sigma ^2}$$を $t=0$ における初期条件として、微分方程式
$$i{\hbar }{d\over {dt}}\psi (t, x)={\hat H}\psi (t, x)=-{{\hbar ^2}\over {2m}}{{d^2}\over {dx^2}}\psi (t, x)$$を満たす $\psi (t, x)$ を求めることが、今回の目的である。
ここで少しだけ線形代数学の復習をする：任意の自己共役作用素 ${\hat A}$ に対し、新たな作用素 ${\hat U}(t)$ を
\begin{eqnarray} {\hat U}(t)&=&I+it{\hat A}+{{(it)^2}\over {2!}}{\hat A}^2+{{(it)^3}\over {3!}}{\hat A}^3+\cdots \label{eq:Utnodef} \\ &=&\sum _{n=0}^{\infty }{1\over {n!}}(it{\hat A})^n \nonumber \end{eqnarray}によって定義する。$t$ は勝手な実数だが、後には時間を表す変数として使う。$I$ は恒等作用素、つまり
$$I: \phi \rightarrow \phi $$を表す。${\hat U}(t)$ は自己共役な作用素ではないが、すべての $\psi , \phi $ に対して
$$({\hat U}(t)\psi , {\hat U}(t)\phi )=(\psi , \phi )$$を満たす。この条件を満たす作用素をユニタリ作用素と呼ぶ。定義を見れば了解できると思うが、
$${\hat U}(t)=e^{it{\hat A}}$$と、形式的に書き表してもよいであろう。
(\ref{eq:Utnodef}) 式の右辺を $t$ で微分してみると
$${d\over {dt}}{\hat U}(t)=i{\hat A}{\hat U}(t)$$である。
線型代数学の復習はここまでとして、ここで作用素
$$e^{-it{\hat H}/{\hbar }}$$を考える。${\hat A}$ が
$${\hat A}=-{\hat H}/{\hbar }$$の場合である。この時
$$i{\hbar }{d\over {dt}}e^{-it{\hat H}/{\hbar }}={\hat H}e^{-it{\hat H}/{\hbar }}$$である。よって任意の状態ベクトル $\psi $ に対し
$$\psi (t)=e^{-it{\hat H}/{\hbar }}\psi $$によって $\psi (t)$ を定義すれば
$$i{\hbar }{d\over {dt}}\psi (t)={\hat H}\psi (t)$$が満たされる、つまり $\psi (t)$ はシュレデインガー方程式を満たす。
従って、ガウス分布の状態ベクトル
\begin{equation} \psi _G(x)=(2\pi \sigma ^2)^{-1/4}e^{-x^2/4\sigma ^2} \label{eq:psigausu} \end{equation}を $t=0$ での初期状態とすると、その後の時刻 $t$ での状態は
\begin{equation} \psi (t, x)=e^{-it{\hat H}/{\hbar }}\psi _G(x) \label{eq:psitxgapG} \end{equation}である。
よって (\ref{eq:psitxgapG}) 式の右辺を計算できれば目的は達成できる。このためには
$${\hat H}^n\psi _G(x)=\left( {1\over {2m}}{\hat p}^2\right) ^n\psi _G(x)$$を計算する必要が生じる。真っ正直にやってもうまくいかないので少し工夫を要する。(\ref{eq:psigausu}) 式の $\psi _G(x)$ に対し、新たな変数 $p$ の関数を
$$f(p)=\int _{-\infty }^{\infty }e^{-ipx/{\hbar }}\psi _G(x)dx$$によって定義する。$f(p)$ は $\psi _G(x)$ をフーリエ変換した関数と呼ばれるが、名前はどうでもよくて、大事なことはもともとの $\psi _G(x)$ が
\begin{equation} \psi _G(x)=(2\pi {\hbar })^{-1}\int _{-\infty }^{\infty }e^{ipx/{\hbar }}f(p)dp \label{eq:psigatilde} \end{equation}によって表されることである。これはガウス積分
\begin{equation} \int _{-\infty }^{\infty }e^{i\lambda x-\alpha x^2}dx={\sqrt{\pi \over \alpha }}e^{-\lambda ^2/4\alpha } \label{eq:gausuintegraL} \end{equation}を応用して得られる。ここで $\lambda $ は実数、$\alpha $ は実部が正である複素数であればよい。
ちなみに、
\begin{equation} f(p)=(8\pi \sigma ^2)^{1/4}e^{-\sigma ^2p^2/{\hbar ^2}} \label{eq:tildpsi} \end{equation}である。もちろんこれもガウス積分を使って出せる。
(\ref{eq:psigatilde}) 式
$$\psi _G(x)=(2\pi {\hbar })^{-1}\int _{-\infty }^{\infty }e^{ipx/{\hbar }}f(p)dp$$の右辺をよく見れば、変数 $x$ が現れるのは
$$e^{ipx/{\hbar }}$$の部分だけである。しかも
\begin{equation} {\hat p}e^{ipx/{\hbar }}={{\hbar }\over i}{d\over {dx}}e^{ipx/{\hbar }}=pe^{ipx/{\hbar }} \end{equation}つまり、関数 $e^{ipx/{\hbar }}$ は作用素 ${\hat p}$ の固有ベクトルであり、固有値は $p$ であるということ。
言い換えれば、(\ref{eq:psigatilde}) 式
$$\psi _G(x)=(2\pi {\hbar })^{-1}\int _{-\infty }^{\infty }e^{ipx/{\hbar }}f(p)dp$$は、関数 $\psi _G(x)$ を ${\hat p}$ の固有関数の和として表したことになっている。ここでの和は離散的な和ではなく、連続的な積分和だが、それほど区別する必要はなく、恐れるに足りず。
従って
$${\hat H}={1\over {2m}}{\hat p}^2$$なので、
$${\hat H}\psi _G(x)=(2\pi {\hbar })^{-1}\int _{-\infty }^{\infty }{{p^2}\over {2m}}e^{ipx/{\hbar }}f(p)dp$$である。一般に、自然数 $n$ に対し
$${\hat H}^n\psi _G(x)=(2\pi {\hbar })^{-1}\int _{-\infty }^{\infty }\left( {{p^2}\over {2m}}\right) ^ne^{ipx/{\hbar }}f(p)dp$$となる。
これで (\ref{eq:psitxgapG}) 式
$$\psi (t, x)=e^{-it{\hat H}/{\hbar }}\psi _G(x)$$の右辺が計算できる。
\begin{eqnarray*} e^{-it{\hat H}/{\hbar }}\psi _G(x)&=&\sum _{n=0}^{\infty }{1\over {n!}}\left( {{-it}\over {\hbar }}\right) ^n{\hat H}^n\psi _G(x)\\ &=&\sum _{n=0}^{\infty }{1\over {n!}}\left( {{-it}\over {\hbar }}\right) ^n(2\pi {\hbar })^{-1}\int _{-\infty }^{\infty }\left( {{p^2}\over {2m}}\right) ^ne^{ipx/{\hbar }}f(p)dp\\ &=&(2\pi {\hbar })^{-1}\int _{-\infty }^{\infty }e^{ipx/{\hbar }}e^{-itp^2/(2m{\hbar })}f(p)dp\\ &=&(2\pi {\hbar })^{-1}(8\pi \sigma ^2)^{1/4}\int _{-\infty }^{\infty }e^{ixp/{\hbar }-\left( \sigma ^2/{\hbar ^2}+it/(2m{\hbar })\right) p^2}dp \end{eqnarray*}最後の変形では (\ref{eq:tildpsi}) 式
$$f(p)=(8\pi \sigma ^2)^{1/4}e^{-\sigma ^2p^2/{\hbar ^2}}$$を使った。
よって、ガウス積分 (\ref{eq:gausuintegraL}) によって最後の項も計算できて、結果は
\begin{eqnarray*} e^{-it{\hat H}/{\hbar }}\psi _G(x)&=&(2\pi \sigma ^2)^{-1/4}\left( 1 +i{\hbar }t/(2m\sigma ^2)\right) ^{-1/2}\\ &&\times \exp \left( -{{x^2}\over {4\sigma ^2}}{1\over {1+i{\hbar }t/(2m\sigma ^2)}}\right) \end{eqnarray*}である。
一寸見ると非常に複雑なようだが、絶対値の二乗を取る、すなわち確率密度を求めてみると
$$\vert e^{-it{\hat H}/{\hbar }}\psi _G(x)\vert ^2=(2\pi \sigma _t^2)^{-1/2}e^{-x^2/(2\sigma _t^2)}$$すなわち、再び正規分布の形をしている。但し
$$\sigma _t=\sigma {\sqrt{1+\left( {{\hbar t}\over {2m\sigma ^2}}\right) ^2}}$$である。
つまり、$t=0$ での状態が $\psi _G$ であった粒子の、その後の時刻 $t$ での確率密度は、標準偏差が $\sigma _t$ の正規分布である。$\sigma _t$ は $t$ の増加と共に大きくなる、すなわち、最初の予想通り、確率密度のピークは時間の経過とともに崩れていく。
どのくらい速く崩れるかというと、例えば $\sigma $ を原子のサイズ
$$\sigma =10^{-10} m$$粒子の質量 $m$ を電子の質量程度
$$m=10^{-31} kg$$とすると
$${\hbar }={h\over {2\pi }}=1.1\times 10^{-34} J\cdot s$$だから
$${{\hbar }\over {2m\sigma ^2}}=5.5\times 10^{16} s^{-1}$$である。よって $t=0$ から $1$ 秒もたてば近似的に
$$\sigma _t=\sigma {\sqrt{1+\left( {{\hbar t}\over {2m\sigma ^2}}\right) ^2}}\approx {{\hbar }\over {2m\sigma }}t$$と考えてよい。
$\sigma $ と $m$ を上と同じ設定にすると
$${{\hbar }\over {2m\sigma }}=5.5\times 10^6 m\cdot s^{-1}$$となる。これは時速に直すと二千万キロであり、地球の軌道半径が約一億五千万キロだからその七分の一ほどになる。つまり、最初に原子サイズの範囲に閉じ込められていた粒子は、たちまちの内に非常に広い領域で見出されるようになる。
ただ、この時速二千万キロという数字はかなり大きい。この計算をしたのは実は私は初めてのことで、正直言ってこの大きさに驚いている。シュレデインガーは自分の方程式を考え付いた時、その方程式に従って変化する関数に、「粒子を見出す確率」を関連付けて考えることはしなかった。粒子自体の存在にもっと密に関連した実体として考えていたのだが、それが非常に速く拡散することを知って驚いた、という話をどこかで読んだ覚えがある。そんな事情があって、後の人が確率と結び付ける道を選んだということらしい。ただ、それにしても時速二千万キロは大きく、ひょっとしたらどこかで計算間違いか思い違いをしているかもしれない。次回までに点検しておく。
目次を表示