ある時刻での粒子の位置と速度を指定すれば、運動法則によってその後の位置と速度は一意的に決まる、という意味の因果律は量子力学では成立しない。電子のようなミクロな粒子に対しては、位置と速度の両方を正確に指定することが、そもそもできない。では、量子力学には因果律と呼べるものは何一つないのか、と言うとそうではない。
位置と速度を正確に指定することはできない、従ってもちろんそれによって粒子の初期状態を指定することはできない。量子力学で粒子の状態を指定するには、状態ベクトルを与える必要がある。よって、量子力学で因果律が成立するとしたら、『ある時刻での粒子の状態を一つの状態ベクトルで指定すると、その後の任意の時刻における状態が一意的に決定される』という形になると思われる。実際その形の因果律が成り立つかどうか見てみよう。
エネルギーを表す作用素を $H$ で表す。例えば運動エネルギーと位置エネルギー $V(x, y, z)$ の和が全エネルギーの場合は
$$H={1\over {2m}}\left( p_x^2+p_y^2+p_z^2\right) +V(x, y, z)$$である。$H$ の一つの固有値を $E$、その固有ベクトルを $\phi $ とする、つまり
$$H\phi =E\phi $$である（但し $(\phi , \phi )=1$ とする）。時刻 $t=0$ で、ある粒子が $\phi $ で表される状態にあったとし、その後のある時刻 $t$ ではどういうベクトルで表される状態にあるかを考える。一般の状態ベクトルの時間的変化を考えるのはその後にする：
$t=0$ で状態 $\phi $ にあった粒子の、その後の時刻 $t$ での状態ベクトルを $\phi (t)$ であらわす（但し、適当に定数倍することにより $(\phi (t), \phi (t))=1$ である $\phi (t)$ を使う）。エネルギーが保存する状況で考えるとして、$\phi (t)$ の状態にある粒子に対してエネルギーを測ると、測定値は必ず $E$ でなくてはいけない。すなわち
\begin{equation} \vert (\phi (t), \phi )\vert ^2=1 \label{eq:psiphiga1} \end{equation}でなくてはいけない。これは６日の記事で挙げた量子力学の公理 (III) から言えることである。
ところで、作用素 $H$ の固有値を全部集めて
$$E_1=E, \hskip 2mm E_2, \hskip 2mm E_3, \hskip 2mm \cdots $$とし、それぞれに属する固有ベクトルを
$$\phi _1=\phi , \hskip 2mm \phi _2, \hskip 2mm \phi _3, \hskip 2mm \cdots $$とすると、$\phi _j$ は $S$ の正規直交基底を成す（実はこれは少し不正確な言い方なのだが、正確な形で言い換えても、面倒な記号などを使う必要が生じるだけで、結果に変わりがない）。従って、何らかの複素数列 $c_j$ が存在して
$$\phi (t)=c_1\phi _1+c_2\phi _2+c_3\phi _3+\cdots $$が成り立つ。ここで
\begin{equation} 1=(\phi (t), \phi (t))=\sum _j\vert c_j\vert ^2 \label{eq:1psipsi} \end{equation}である。
ところが、(\ref{eq:psiphiga1}) 式 $$\vert (\phi (t), \phi )\vert ^2=1$$
は、$\phi =\phi _1$ だから
$$\vert c_1\vert ^2=1$$を意味し、よって (\ref{eq:1psipsi}) により
$$c_2=c_3=\cdots =0$$でなくてはいけない。つまり
$$\phi (t)=c\phi \hskip 3mm (\vert c\vert =1)$$となる複素数 $c$ が存在することになる。
ここまでの議論では、一つの時刻 $t$ を固定して推論を進めてきた。しかし $t$ は何でもよいので、この複素数 $c$ を $c(t)$ で表す。この時、勝手な $s, t$ に対し
\begin{equation} c(s+t)\phi =c(s)c(t)\phi \label{eq:cs+tcsct} \end{equation}が成り立つ。理由は以下の通り：時刻 $t$ での状態ベクトル
$$\phi (t)=c(t)\phi $$を、改めて $\phi $ とみなし、上と同じ推論を行えば、そこから更に時間 $s$ が経過した後の状態ベクトルは
$$c(s)\phi (t)=c(s)c(t)\phi $$であると結論できる。しかしこれは、最初の時刻から $s+t$ が経過した後の状態のはずであり、よって
$$c(s+t)\phi $$でなくてはいけない。こうして (\ref{eq:cs+tcsct}) 式
$$c(s+t)\phi =c(s)c(t)\phi $$は得られる。
従って
$$c(s+t)=c(s)c(t)$$が成り立つことになる。この条件が $c(t)$ の形についてどの程度の制約を課すかを見るために、$c(t)$ の満たす微分方程式を求めてみよう。
$${{c(t+\Delta t)-c(t)}\over {\Delta t}}=c(t){{c(\Delta t)-1}\over {\Delta t}}=c(t){{c(\Delta t)-c(0)}\over {\Delta t}}$$だから、$t$ についての微分をドットで表すと
$${\dot c}(t)={\dot c}(0)\times c(t)$$が成り立つ。但し $c(0)=1$ とした。一方で $\vert c(t)\vert =1$ だから、実数値を取る何らかの関数 $f(t)$ により
$$c(t)=e^{if(t)}$$と書けるはず。ただ、この条件だけでは $f(t)$ は一意的には決まらないが、$c(0)=1$ なので $f(0)=0$ と置くことは妥当なことであり、$t$ に関し連続関数であることを仮定すれば $f(t)$ は一意的に定まる。上で求めた $c(t)$ の微分方程式は
$${\dot f}(t)={\dot f}(0)$$を意味する。そこで ${\dot f}(0)=a$ と置くと
$$f(t)=at$$が得られる。
以上で、時刻 $t$ での状態ベクトル $\phi (t)$ は必ず
$$\phi (t)=e^{iat}\phi $$の形をしていることがわかった。但し、$a$ は何らかの実数である。この結果は、この状態が振動数
$$\nu ={{\vert a\vert }\over {2\pi }}$$で振動していることを示している。よって
$$\phi (t)=e^{\pm 2\pi i\nu t}\phi $$と書き直すことができる。最後に、アインシュタイン - ド・ブロイの関係式
$$E=h\nu , \hskip 3mm p={h\over {\lambda }}$$の前半によって $\nu $ を $E$ で置き直し
$$\phi (t)=e^{\pm 2\pi iEt/h}\phi $$が得られる。
この結果は、エネルギー作用素 $H$ の固有値 $E$ に属する固有ベクトル $\phi $ が、その後時間的にどのように変化していくかについて、その可能性が $\pm $ の二つしかないことを示している。ここでわれわれは、$+$ の時間的変化は存在しなくて、あるのは $-$ の変化だけ、つまり
$$\phi (t)=e^{-2\pi iEt/h}\phi $$であると仮定する。少しでも簡単に書きたいので
$$\hbar ={h\over {2\pi }}$$という記号（「エイチ・バー」と読む）を導入して
\begin{equation} \phi (t)=e^{-iEt/\hbar }\phi \label{eq:phitnohenka} \end{equation}と書き直しておこう。
以上で $H$ の固有状態の時間的変化を規定することができた。一般の状態ベクトル $\psi $ の変化についても同じことができないかを、次に考えてみよう。手がかりとしてすぐ思いつくのは、定数 $c_j$ が存在して
$$\psi =c_1\phi _1+c_2\phi _2+c_3\phi _3+\cdots $$と展開できることである。ここで各 $\phi _j$ は $H$ の固有ベクトルであるから、(\ref{eq:phitnohenka}) 式によれば
$$\phi _j(t)=e^{-iE_jt/\hbar }\phi _j$$に変化する。そこで、最も単純に考えて、$\psi $ は
\begin{equation} \psi (t)=c_1\phi _1(t)+c_2\phi _2(t)+c_3\phi _3(t)+\cdots \label{eq:psitnotenk} \end{equation}に変化すると仮定しよう。
この変化の仕方を簡潔に表現したいのだが、
$$i{\hbar }{d\over {dt}}\phi _j(t)=E_j\phi _j(t)=H\phi _j(t)$$に着目し、(\ref{eq:psitnotenk}) 式の両辺を $t$ で微分してみると
\begin{eqnarray*} i{\hbar }{d\over {dt}}\psi (t)&=&c_1\times H\phi _1(t)+c_2\times H\phi _2(t)+\cdots \\ &=&H\psi (t) \end{eqnarray*}が得られる。
こうして得られた等式
\begin{equation} i{\hbar }{d\over {dt}}\psi (t)=H\psi (t) \label{eq:shrodingereq} \end{equation}を、任意の状態ベクトル $\psi $ の時間的変化を規定する方程式とみなして、シュレデインガー方程式と呼ぶ。この方程式もいくつかの仮定の下に得られたものであり、粒子の状態がこの方程式の通りに変化しているかどうかは、これを用いて導くことのできる結論が現実の現象とよく合うかどうかで判定されるべき事柄である。ニュートンの運動法則に適用限界があったのと同じように、シュレデインガー方程式にも適用限界がある。しかし、非常に広い範囲の現象に対して有効であることが知られている。
シュレデインガー方程式
$$i{\hbar }{d\over {dt}}\psi (t)=H\psi (t)$$は、任意の時刻 $t$ と短い時間間隔 $\delta t$ について近似式
$$\psi (t+\delta t)\approx \psi (t)-i{{\delta t}\over {\hbar }}H\psi (t)$$が成り立つことを意味している。もちろん近似の精度は $\delta t$ が短くなればなるほど良くなる。よって、ある時刻の粒子の状態を何らかのベクトルによって指定すると、その後の（あるいはそれ以前の）すべての時刻における状態が一意的に決まる。
ニュートン力学では、粒子の状態は「位置と速度」によって指定され、ある時刻における状態を初期状態として定めれば、その後の状態の変化は一意的に決定された。ところが量子力学では、「位置と速度」はもはや粒子の状態を特徴づけるものではない。それに代わって状態を表すものは、線型空間 $S$ 内のベクトルである。シュレデインガー方程式によれば、ある時刻における初期状態を何らかのベクトルによって指定すれば、その後の状態は一意的に決まる。その意味で、量子力学でも因果律は確かに成立する。
しかしこの因果律はニュートン力学における因果律と比べると少し込み入っている。そう感じる主な原因は、未来の状態が因果的に定まると言っても、その状態に対していざ色々な物理量を測ると、それらの値が一斉にすべて確定するとは言えないことにある。一部は確定しても、他は確定せずに分散する、つまり同じ状態で測っても時によって違う測定値が得られる。
このことは作用素の積（行列の積と言ってもよい）が必ずしも可換でないことに関係している：10月6日の記事で説明したように、状態ベクトル $\psi $ と自己共役作用素 $A$ に対し
$$\langle A\rangle =(A\psi , \psi )$$と置けば、これは測定値の平均を表す。すなわち $\psi $ が、$A$ の何らかの固有値 $\alpha $ に属する固有ベクトルにたまたま一致している場合は、$\psi $ の状態にある粒子に対し物理量 $A$ を測る時、いつでも同じ値 $\alpha $ が測定値として得られる。しかしそうでない場合は、測定値は散らばる、ただそれらの平均値は上記の $\langle A\rangle $ で与えられる。
この辺の事情をもう少し詳しく理解するために、測定値の散らばり具合を表す量として標準偏差 $\Delta A$ を導入する、すなわち
$$\Delta A={\sqrt{\langle (A-\langle A\rangle )^2\rangle }}$$と置く。念のために注意しておくが、勝手な自己共役作用素 $A$ に対し、
$$\langle A^2\rangle =(A^2\psi , \psi )=(A\psi , A\psi )\geq 0$$である。
$B$ をもう一つの自己共役作用素とすると、6日の記事で証明したように、$\Delta A$ と $\Delta B$ の間に
\begin{equation} \Delta A\cdot \Delta B\geq {1\over 2}\vert \langle -i[A, B]\rangle \vert \label{eq:deltAdeltaBh} \end{equation}の関係が成り立つ。ここで $[A, B]$ は「$A, B$ の交換子」と呼ばれる作用素で、任意の $\phi \in S$ に対し
$$[A, B]\phi =A(B\phi )-B(A\phi )$$によって定義される。容易にわかるが $i[A, B]$ は自己共役である。
作用素（あるいは行列）の間の積は、単なる数の間の積と違い、一般に可換でない。すなわち
$$[A, B]\not= 0$$である $A, B$ が存在する。例えば
$$A=x, \hskip 2mm B=p_x={{\hbar }\over i}\partial _x$$と置けば、
$$[x, p_x]=i{\hbar }\not= 0$$である。
状態を用意する場合、一つのやり方として何らかの物理量 $A$ の固有状態を用意する方法がある。公理 (II) によれば、その物理量を測る測定器に粒子を通せばよい。何らかの測定値が得られ、粒子はその値に属する固有ベクトルの状態になって出てくる。$\psi $ をこのような方法によって用意された $A$ の固有状態であるとする。$\psi $ の状態にある粒子に対して $A$ を測るといつでも同じ値が得られる。つまり $\Delta A=0$ である。
ここで $A$ と可換でない物理量、つまり $[A, B]\not= 0$ である $B$ を考える。この時当然
$$\langle -i[A, B]\rangle \not= 0$$の場合があり得る。もしそうなら (\ref{eq:deltAdeltaBh}) 式によって
$$\Delta A\cdot \Delta B\geq {1\over 2}\vert \langle -i[A, B]\rangle \vert >0$$であり、$\Delta B=+\infty $ でなくてはいけない。つまりこの $\psi $ の状態にある粒子に対して物理量 $B$ を測る時、得られる測定値は一つに確定するどころか、測定するたびごとに無限に広い範囲に散らばることになる。
ニュートン力学においては、現在の位置と速度を指定すれば、運動方程式によってその粒子のその後の位置も速度も一意的に決まる。すべての物理量も、特に点粒子であれば位置と速度の関数なので、確定した値を取る。言い換えれば、位置や速度も含めて、すべての物理量の時間的な変化を法則に従って追うことができる。
しかしながら、量子力学になると少し様子が異なる。状態は線型空間 $S$ 内のベクトルによって表され、現在の状態をベクトル $\psi $ によって指定すれば、その後の状態ベクトルはシュレデインガー方程式によって一意的に決まる。その意味での因果律は確かに成立する。
ただ、状態が決まったとしても、すべての物理量の測定値を確定的に予言することはできない。その状態が固有状態に一致する物理量については測定値は確定的だが、そうでない物理量については、その状態を物理量の固有状態 $\phi _j$ によって展開し
$$\psi =c_1\phi _1+c_2\phi _2+c_3\phi _3+\cdots $$である $c_j$ を求め、『$\vert c_j\vert ^2$ の確率でいろいろな測定値が得られる』という、確率的な予言しかできない。
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