この宇宙で起きるすべての出来事には - 無用な混乱を避けるために「物理的な出来事」と言い換えた方がよいかもしれないが - それぞれ原因が存在するという、いわゆる因果律を、われわれの多くは今でも信じている：
その昔、この信念を非常にわかりやすい言葉で表現してくれた人に、ピエール=シモン・ド・ラプラスがいた。彼は1812 年に、ある「知性」について書き記している。彼の「知性」は、後の世の人々はそれを「ラプラスの魔」と呼んだが、宇宙のすべての物質の配置を知っている。そして、それを初期条件とし、物理法則を適用することによって宇宙の過去も未来もすべて知ることができる。ラプラスがこのような存在を思い描いた背景には、因果律と決定論がこの宇宙を支配しているという確信があったに違いない。
ニュートンが「自然哲学の数学的諸原理」を刊行したのが 1687 年であり、ラプラスの頃にはニュートン力学は円熟期を迎えていた。宇宙のすべての物体について、それが何であれ、今現在の位置と速度を知ることができれば、物理法則、つまり微分方程式の形で書き表される自然のルールによって、未来のいついかなる時の位置も速度も、予言できると信じられるようになっていた。「ラプラスの魔」は、人々のそのような信念の、実に的確な表現になっている。
ところが、1905 年になされた、光電効果のアインシュタインによる解釈以来、粒子と波は同一のものの相異なる側面であることがわかってくると、そのことから、位置の不確定度と運動量の不確定度の間に
$$\Delta x\Delta p_x\approx h$$の関係があることが導かれた。ここでは $x$ 方向の不確定度だけを書いたが、もちろん $y, z$ 方向も同様である。ハイゼンベルグが発見したこの不確定性関係は、物体の位置を高い精度で測定すると、あるいは高い精度で位置の決まった物体を用意すると、必然的に、その運動量の不確定性が増すことを意味する。逆も真である。従って、位置と速度の両方を任意の精度で決めようとしても、それは不可能なのである。
この言明に対しては、『そんなことはないはずだ、実際今、目の前に、一ヶ所に、しかもじっと静止している物体が、いくつもある』という反論を、誰でもしたくなる。この辺の事情を理解するために、今私の目の前にある消しゴムについて考えてみよう。質量 $m$ はおそらく
$$m=10 g=10^{-2} kg$$程度であろう。この消しゴムの位置を重心の位置と解釈することにして、試しに、水素の原子核（陽子）の直径
$$1.8\times 10^{-15} m (メートル)$$程度の精度で測定した、あるいはその精度で位置を確定したとしよう。すると、ハイゼンベルグの不確定性関係によれば運動量の不確定度は
$$\Delta p\approx {h\over {1.8\times 10^{-15} m}}$$である。プランクの定数
$$h=6.6\times 10^{-34} J\cdot s$$と、エネルギーの単位
$$J=kg\cdot m^2\cdot s^{-2}$$を考慮すると
$$\Delta p\approx 3.7\times 10^{-19} kg\cdot m\cdot s^{-1}$$が得られる。ここで質量 $10 g$ で両辺を割ると、速さ $v$ の不確定度が得られて
$$\Delta v=3.7\times 10^{-17} m\cdot s^{-1}$$となる。
つまり、水素の原子核程度の精度で消しゴムの位置を測定し、かつ、その時の速さについても、メートル毎秒で測って、百万分の一の百万分の一の、更に百万分の一程度だと言うことができる。この速さがどのくらい小さいかは、この速さで例えば一万年の間直進した場合、どの程度の距離を移動するかを計算すればわかる。結果は
$$1 万年=10^4\times 365\times 24\times 60\times 60=3.2\times 10^{11} s$$であるから
$$(3.7\times 10^{-17} m\cdot s^{-1})\times (3.2\times 10^{11} s)=1.2\times 10^{-5} m$$すなわち、百分の一ミリメートルである。従って、位置も速度も、両方ともに正確に定まっていると判断して、『一ヶ所に、じっと静止いている』とみなしたとしても、消しゴムに関しては、まったく正当である。
では、電子に関してはどうであろうか。一つの電子の位置を水素の原子核の大きさ程度の精度で測定したとしてみよう。すると、ハイゼンベルグの不確定性関係により、運動量の不確定性は
$$\Delta p\approx {h\over {1.8\times 10^{-15} m}}$$であり、プランクの定数の値を代入して
$$\Delta p\approx 3.7\times 10^{-19} kg\cdot m\cdot s^{-1}$$が得られる。ここまでは消しゴムの場合と寸分変わらない。しかし、質量が随分変わる。電子は大変軽いものであり
$$m=9.1\times 10^{-31} kg$$である。よってこれで上の式の両辺を割ると
$$\Delta v\approx 4.1\times 10^{11} m\cdot s^{-1}$$が得られる。光の速さが
$$3.0\times 10^8 m\cdot s^{-1}$$であり、$\Delta v$ は数値の上では光速を超える。これではとても、位置と速度を正確に知ることができるとは言えない。
つまり、電子のようなミクロな物体に対しては、『現在を正確に知ることができれば、未来のすべてを予測することができる』という因果律と決定論は、その前提が満たされ得ないがために、適用できないのである。留意すべきことは、間違っているのが、その帰結ではなく、その前提であることである。
10月6日のページで「量子力学の公理」として述べたように、量子力学で一つの粒子について考える場合は、以下のように考える：三次元ユークリッド空間 ${\bf R}^3$ 上で定義された複素数を値に取る関数 $\psi (x, y, z)$ で、$(x, y, z)$ が原点から離れるに従い $\vert \psi (x, y, z)\vert $ が急速に小さくなり、$0$ に近づくものの全体を $S$ と置く。$S$ は複素数体 ${\bf C}$ 上のベクトル空間であって、内積を
$$(\psi , \phi )=\int _{{\bf R}^3}\psi (x, y, z)\phi (x, y, z)^*dxdydz$$により定義する。
(I) 一つの粒子の物理的な状態は、すべて何らかの $\psi \in S$ によって表される。各 $\psi \in S$ は「状態ベクトル」と呼ばれるが、その意味は以下の通りである；
（II) 任意の物理量（位置や運動量など）は、状態ベクトルに作用する自己共役な作用素で表される。その作用素の固有値が、物理量を測定する際に測定値として現れる。一つの固有値に属する固有ベクトルは、測定値としてその固有値が得られる時の粒子の状態（固有状態と呼ぶ）を表す。
(III) $A$ をある物理量を表す作用素とし、$\alpha $ をその固有値、$\phi$ を $\alpha $ に属する固有ベクトルとする。この時、任意の状態ベクトル $\psi $ に対し
$$\vert (\psi , \phi )\vert ^2$$が、「$\psi $ の状態にある粒子について物理量 $A$ を測定する際、測定値が $\alpha $ となる確率」を表す。但し、$\psi $ や $\phi $ としては、適当に定数倍して
$$(\psi , \psi )=(\phi , \phi )=1$$であるものを使う。
この理論がハイゼンベルグの不確定性関係を取り込んだ論理体系になっていることは、6日のページで証明したが、念のためにもう一度おさらいしておく：$\psi \in S$ を任意の状態ベクトルとし（但し $(\psi , \psi )=1$ とする）、$\psi $ の状態にある粒子に対し、任意の物理量（すなわち自己共役な作用素） $A$ の値を測る場合を考える。もし、状態 $\psi $ が $A$ の固有状態であるなら、測定値としてはいつでもその固有値が得られる。しかし一般には固有ベクトルでない、その時にはいろいろな測定値が得られる。そしてその平均値を $\langle A\rangle $ で表すと
$$\langle A\rangle =(A\psi , \psi )$$となる。
一方で、粒子の $x$ 座標の値は一つの物理量だが、作用素
$$x: \phi (x, y, z)\rightarrow x\phi (x, y, z)$$で表される。$x$ 方向の運動量は作用素
$$p_x: \phi (x, y, z)\rightarrow {h\over {2\pi i}}\partial _x\phi (x, y, z)$$によって表される。$y, z$ 座標に関しても同様である。この時 $\Delta x$ を、作用素 $x$ の測定値の、平均値からのずれの標準偏差と置く、つまり
$$\Delta x={\sqrt{\langle (x-\langle x\rangle )^2\rangle }}$$と置く。$\Delta p_x$ も
$$\Delta p_x={\sqrt{\langle (p_x-\langle p_x\rangle )^2\rangle }}$$と置く。この時
$$\Delta x\cdot \Delta p_x\geq {h\over {4\pi }}$$が証明できる。これは確かに、ハイゼンベルグの不確定性関係に他ならない。
こうしてハイゼンベルグの関係が取り込まれている以上、ラプラスの意味での因果律は量子力学の論理体系の中では成り立たない。先に述べたように、『現在を正確に知ることができれば、未来のすべてを予測することができる』という言明の、前提部分がそもそも成立し得ないのである。因果律と決定論がこの意味で破綻していることの帰結として、「確率」が理論の中に現れることになったと解釈できる。
では、あらゆる意味での因果律がすべて放棄されるのかというと、実はそうではない。
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