10月2日のページで示したことだが、量子力学によれば、水素原子内の電子は、エネルギー準位と呼ばれる飛び飛びのエネルギー
$$E_n=-{{2\pi ^2me^4}\over {h^2}}{1\over {n^2}} \hskip 2mm (n=1, 2, \cdots )$$を取ることしか許されない。そして、電子は一つの準位から他の準位へ飛び移る（遷移する）こと、$E_n$ から $E_{n-k}$ へ遷移する折りには
\begin{equation} \nu ={{E_n-E_{n-k}}\over h} \label{eq:nunoryou} \end{equation}だけの振動数を持つ光を放出することを前提とすれば、実際に観測される光の振動数とぴったり合致することも示した。従って、少なくとも光の放出という現象に関しては、量子力学の正しさは疑い得ようがない。
一方、水素原子内の電子がニュートン力学に従って運動すると仮定するなら、原子核からのクーロン力は距離の二乗の逆数に比例する力だから、太陽系の惑星と同じように楕円運動をすることになる。それはもちろん周期的な運動であり、よってその運動状態の電子から光が放出されるのであれば、その振動数は算出できるはずである。量子力学による振動数と、ニュートン力学による振動数の間の関係を見ることにより、量子力学とニュートン力学の間の関係について何か新しいことがわかるかもしれない：
ニュートン力学による電子の運動を考えてみる。いきなり楕円運動は大変なので、まず最も簡単な円運動を考える。
半径 $r$ の円運動は平面座標で表して $${\bf r}(t)=r(\cos 2\pi \nu t, \sin 2\pi \nu t)$$
と書ける。$\nu $ は振動数、つまり $1$ 秒間に何回回るかを表す。この時の速度ベクトルは
\begin{equation} {\dot {\bf r}}(t)=2\pi \nu r(-\sin 2\pi \nu t, \cos 2\pi \nu t) \label{eq:sokudovec} \end{equation}加速度ベクトルは
$${\ddot {\bf r}}(t)=-(2\pi \nu )^2r(\cos 2\pi \nu t, \sin 2\pi \nu t)$$従って加速度ベクトルの大きさを $a$ と置くと
$$a=(2\pi \nu )^2r$$である。
従って、水素原子の中の電子が核からのクーロン力を受けて半径 $r$ の円運動をしているとすると、力の大きさは $e^2/r^2$ （但し、電子の電荷を $-q_e$ として、$e^2=q_e^2/4\pi \epsilon _0$）だから、ニュートンの運動法則によれば
$$ma={{e^2}\over {r^2}}$$である。よって上で得た結果により
$$m(2\pi \nu )^2r={{e^2}\over {r^2}}$$が得られる。これを整理すると
\begin{equation} (2\pi \nu )^2={{e^2}\over {mr^3}} \label{eq:omegano2} \end{equation}が得られる。従って
\begin{equation} \nu ={\sqrt {{e^2}\over {4\pi ^2mr^3}}} \label{eq:nunohyousiki} \end{equation}である。
一方この回転運動のエネルギー、つまり運動エネルギーと位置エネルギーの和は (\ref{eq:sokudovec}) と (\ref{eq:omegano2}) により
\begin{equation} E={m\over 2}(2\pi \nu r)^2-{{e^2}\over r}=-{{e^2}\over {2r}} \label{eq:Emslash2} \end{equation}である。この式と (\ref{eq:nunohyousiki}) 式
$$\nu ={\sqrt {{e^2}\over {4\pi ^2mr^3}}}$$から $r$ を消去して $\nu $ を $E$ で表すと
\begin{equation} \nu ={\sqrt{2\over {\pi ^2me^4}}}\vert E\vert ^{3/2} \label{eq:nuwoEde} \end{equation}が得られる。
原子は円軌道を毎秒 $\nu $ 回回っている。従って、この電子の運動から光が放出されるのであれば、その光の振動数も (\ref{eq:nuwoEde}) 式の $\nu $ に一致すると考えることは、ごく自然なことであろう。
ところで一方、量子力学によれば、水素原子内での電子は、飛び飛びのエネルギー準位
$$E_n=-{{2\pi ^2me^4}\over {h^2}}{1\over {n^2}}$$を取ることしか許されず、$E_n$ から $E_{n-k}$ へ電子が遷移する折りには
\begin{equation} \nu ={{E_n-E_{n-k}}\over h} \label{eq:nunoryou-1} \end{equation}だけの振動数を持つ光が放出される。実際その結果は実験事実とよく合っている。
すると当然次のことが疑問に浮かぶ：ニュートン力学によれば、エネルギー準位 $E_n$ の状態にある電子の運動から放出される光の振動数は、(\ref{eq:nuwoEde}) により
\begin{equation} \nu ={\sqrt{2\over {\pi ^2me^4}}}\vert E_n\vert ^{3/2} \label{eq:nuwoEde-2} \end{equation}である。ところが量子力学によれば (\ref{eq:nunoryou-1}) の言うように
$$\nu ={{E_n-E_{n-k}}\over h}$$の振動数の光が放出される。これらは等しいのだろうか、それとも違っているのだろうか？これらの間の関係がわかれば、ニュートン力学と量子力学の間の関係について、何か言えるかもしれない。
(\ref{eq:nuwoEde-2}) 式と比較するために、(\ref{eq:nunoryou-1}) 式
$$\nu ={{E_n-E_{n-k}}\over h}={{2\pi ^2me^4}\over {h^3}}\left( {1\over {(n-k)^2}}-{1\over {n^2}}\right) $$から無理やり
$$\vert E_n\vert ^{3/2}$$を前へ引っ張り出すと
\begin{equation} \nu =\vert E_n\vert ^{3/2}{\sqrt{2\over {\pi ^2me^4}}}k{{1-(k/2n)}\over {1-(2k/n)+(k^2/n^2)}} \label{eq:ryousirinu} \end{equation}と書ける。
よって、エネルギー準位 $E_n$ にある電子が、すぐ下の準位 $E_{n-1}$ に転移する際に放出される光の振動数を考えると、$1/n$ が $1$ に比べて無視できるほどに $n$ が大きいならば
$$\nu =\vert E_n\vert ^{3/2}{\sqrt{2\over {\pi ^2me^4}}}$$に一致する。これはニュートン力学から得られる (\ref{eq:nuwoEde-2}) 式の振動数に他ならない。
以上の結果は何を意味するのだろうか：$n$ が大きいということは、電子のエネルギーが $0$ に近い負の値を取ることを意味する。従って、少しばかりのエネルギーを加えてやれば正のエネルギーを持つ、つまり、どんな遠方にも自由に行けるようになる。言い換えれば、$n$ が大きい運動状態とは、電子が原子核からかなり離れて、相当広い空間をかなり自由に運動している状態だと言える。そのような状態の時に放出される光は、電子が量子力学に従って運動していると考えてもニュートン力学に従って運動していると考えても、同じものになる。そういう結論をわれわれは得た。
一方、$n$ が小さい場合、つまり電子の運動が核の近くの狭い空間に限定される場合には、そうではない。例えば $E_2$ から $E_1$ への遷移の際に放出される光の振動数は、(\ref{eq:ryousirinu}) 式
$$\nu =\vert E_n\vert ^{3/2}{\sqrt{2\over {\pi ^2me^4}}}k{{1-(k/2n)}\over {1-(2k/n)+(k^2/n^2)}}$$で $n=2, k=1$ と置いて
$$\nu =3\times \vert E_2\vert ^{3/2}{\sqrt{2\over {\pi ^2me^4}}}$$となる。これはもはや、ニュートン力学から得られる (\ref{eq:nuwoEde-2}) 式の振動数とは一致していない。
9月21日のページで見たように、エネルギー準位 $E_n$ にある電子は、核から
$$r_n={{h^2}\over {4\pi ^2me^2}}n^2\hskip 3mm (n=1, 2, \cdots )$$の距離にいるだろうと、ボーアは推測した。ボーアの推論は完成された量子力学に基づいたものではなかったが、量子力学に従って計算しても大体似たような値が出るので、この値を採用することにする。$r_1$ はボーア半径と呼ばれていて
$$r_1=0.53\times 10^{-10} m (メートル)$$であり、実際の原子のサイズはこの程度である。
従って、これまでの計算結果からは次のことが言えそうである：原子のサイズに閉じ込められた電子から放出される光についてはその性質をニュートン力学で説明することはできない。しかし、より広い範囲を動き回り得る電子を考えると、その範囲が広くなるにつれて、その電子から放出される光の性質は、徐々にニュートン力学によって説明可能なものとなる。この意味で、量子力学は漸近的にニュートン力学に一致すると言える。これは、放出される光の振動数だけに着目して得た結論であって、二つの力学が関係する現象は他にも無数にあり、それらすべてを精査して得た結論ではない。しかし巨視的な領域でのニュートン力学の正しさはよく確認されている。よって、二つの力学がすべての現象においてこのようにつながっていることは、十分あり得ることだと思える。
以上で今回書きたいと思っていた結論は書いた。ただ、途中の推論でごまかした箇所があり、少し気持ちが悪いのでもう少し正確に書いておく：準位 $E_n$ から $E_{n-1}$ への遷移の際放出される光の振動数が、$n$ が十分大きい時にはニュートン力学によっても説明できることから、量子力学とニュートン力学との間の関係について一つの結論を導き出した。しかし、$n$ が十分大きくて $k$ がさほど大きくない場合も、$E_n$ から $E_{n-k}$ への遷移の際放出される光について、ニュートン力学で説明できることを示しておかないと、この結論を導き出す際の推論は十分とは言えない。そういう場合に関わる電子は原子核から十分離れた位置にいるはずだからである。
$n$ が十分大きくて、かつ、$k/n$ が $1$ に比べて無視できるほどに $k$ が小さい場合には、$E_n$ から $E_{n-k}$ への量子力学的遷移で放出される光の振動数は、(\ref{eq:ryousirinu}) からわかるように
\begin{equation} \nu =\vert E_n\vert ^{3/2}{\sqrt{2\over {\pi ^2me^4}}}\times k \label{eq:nuEnk} \end{equation}である。すなわちある基本的な振動数の $k$ 倍である。
一方、ニュートン力学に従うならば、水素の原子核からクーロン力を受けて運動する電子の軌道は、太陽系の惑星とまったく同じで、一般に楕円である。
そこで、電子の楕円軌道が含まれる平面を定めて、時刻 $t$ におけるその座標を
$$(x(t), y(t))$$であらわす。$x(t), y(t)$ は周期関数だから、周期 $T$ が存在する、つまり
$$x(t+T)=x(t), \hskip 3mm y(t+T)=y(t)$$がすべての $t$ に対し成立する。周期関数であればいつでも、特別な周期関数である三角関数によって展開することができる。言い換えれば
\begin{eqnarray} &&x(t)=a_0+a_1\cos {{2\pi }\over T}t+\cdots +a_k\cos {{2\pi k}\over T}t+\cdots \nonumber \\ &&\hskip 1cm +b_1\sin {{2\pi }\over T}t+\cdots +b_k\sin {{2\pi k}\over T}t+\cdots \label{eq:xtnobunkai} \end{eqnarray}が成り立つ定数
$$a_0, \hskip 2mm a_1, \hskip 2mm a_2, \hskip 2mm \cdots , \hskip 2mm b_1, \hskip 2mm b_2, \hskip 2mm \cdots $$が存在する。 $y(t)$ についても同様である。
この展開はフーリエ級数の理論から言えることだが、厳密に証明しようと思うと少し手間がかかる。証明は省略するが、最近の録音は音の強弱や高低の変化を上のような三角関数で展開し、その係数 $a_i, b_j$ を記録するという方法で行われていると聞いたことがある。
(\ref{eq:xtnobunkai}) 式は、電子の位置の変化が、振動数
$${1\over T}, \hskip 2mm {2\over T}, \hskip 2mm , \cdots , \hskip 2mm {k\over T}, \hskip 2mm \cdots $$を持つたくさんの正弦的な変化の重ね合わせであることを意味する。従って、楕円軌道を回る電子から放出される光は、ある基本的な振動数の光と、その $k$ 倍の振動数の光から成ると考えられる。
これで、量子力学から得られた (\ref{eq:nuEnk}) 式が示していること、すなわち、$n$ が十分大きい場合、$E_n$ からすぐ下の準位への遷移で放出される光の振動数は、ある基本的な振動数の倍数であることがニュートン力学でも説明できたことになる。
原子核から十分離れた電子の運動を記述する際、離れれば離れるほど、量子力学による結果がニュートン力学による結果に漸近的に近づくことは、確かなことだと思ってよさそうである。
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